Considérons, par exemple, la fraction-» ei supposons
qu'on veuille l'évaluer en décimales à un dixième près, ou à un centième près, ou eic. Il faudra, dans ces différents cas, appliquer la règle du n** 115 aux nombres 5,oet7 ou5,oo et 7, ou etc.,
lO
et Ton trouvera que les valeurs approchées de -à 0,1 près,
0,01 près, ào.ooi près, etc., sont respectivement
. En opérant ainsi, on arrive quelquefois à un reste nul ; dans ce cas, l'opération se termine et la fraction proposée est exac- .tement réductible en fraction décimale. Mais, en général, on n'arrive pas à un reste nul, la fraction proposée n'est pas alors exactement réductible en décimales et on ne peut en obtenir, par cette voie, que des valeurs approchées.
119. Lor^ue le dénominateur d'une fra^ction ordinaire irréductible ne renferme aucun facteur premier dijférent de 2 ou de 5, la fraction est exactement réductible en une fraction décimale, et le nombre des chiffres décimaux de celle-ci est égal au plus grand des exposants avec lesquels les facteurs 2 et S figurent dans le dénominateur de la fraction ordinaire.
Soit en effet la fraction -^ qui a pour dénominateur le produit 8 de trois facteurs égaux à 2. Si l'on multiplie le numérateur 29 par trois facteurs égaux à 10, on introduira dans le produit trois facteurs 2 et trois facteurs 5 ; le résultat 29000 sera donc divisible par 8. Il suit de là que si l'on applique la règle du n* 115 aux nombres 29,000 et 8, l'opération se fera exactement. 11 n'en serait pas ainsi si l'on appliquait la même règle aux nombres 29,00 et 8, parce que le nombre 2900 ne contient que deux facteurs 2, tandis que le diviseur en contient
trois. La fraction -^ est donc exactement réductible en une fraction décimale et celle-ci a trois chiffres décimaux.
do CHAPITBE IX.
Le même raisonnement s'applique évidemment au cas d^une fraction dont le dénominateur renferme les deux facteurs 2 et 5.
120. Lorsque le dénominateur d'une fraction ordinaire irréductible renferme un facteur premier différent de 1 et de 5, la fraction ne peut être convertie exactement en fraction décimale.
Car en multipliant le numérateur de la fraction par lo, 100, loooo, etc., on n'introduit dans le produit que les facteurs premiers 2 et 5; donc aucun des résultats obtenus ne pourra être divisible exactement par le dénominateur de la fraction. Il suit évidemment de là que l'on peut, dans ce cas, poursuivre indéBniment l'application de la règle du n* 115, sans jamais
arriver à un reste nul ; la fraction - considérée au n*» 118 en
offre un exemple. On exprime ce fait en disant que la fraction ordinaire se réduit en une fraction décimale d^un nombre illimité de chiffres décimaux. Si, dans cette fraction décimale illimitée, on prend une décimale, puis deux, puis trois, etc., on aura des valeurs de plus en plus approchées de la fraction ordinaire. L'erreur commise en prenant successivement ces diverses valeurs à la place de la fraction ordinaire pouvant ainsi devenir moindre que telle fraction que l'on voudra, on dit que la fraction ordinaire est la limite de la fraction décimale illimitée lorsqu'on prend dans celle-ci un nombre de décimales de plus en plus grand.
