DES FRACTIONS DÉCIMALES PÉRIODIQUES
121. On nomme fraction décimale périodique une fraction décimale d'un nombre illimité de chiffres décimaux dans laquelle ces chiffres se reproduisent périodiquement et dans le même ordre à partir d'un certain rang.
L'ensemble des chiffres qui se reproduisent ainsi périodiquement se nomme la période»
Une fraction décimale périodique est dite périodique simple si la première période commence immédiatement après la vir-
ras MOVIIBES DéOMAlIX. St
gùle; elle est dite périodique* mixte dans le cas conUaire et alors les chiffres qui précèdent la première période constituent la partie non périodique.
Ainsi, 0,267267167. . . est une fraction décimale périodique simple dont la période est 267.
Pareillement 0,73267267267. . . est une fraction périodique mixte dont la période est 267. La partie non périodique est 73,
122. Lorsqu'une fraction ordinaire se réduit en une fraction décimale d'un nombre illimité de chiffres, cette fraction dé^ cimale est périodique.
Soit la fraction — Pour la réduire en fraction décimale, on opère de la manière suivante :
On divise 5 par 7, ce qui donne pour quotient o et pour reste 5. On écrit un zéro au quotient et Ton place une virgule à sa droite. On écrit ensuite un zéro à la droite du reste 5 et Ton divise le résultat 5o par 7 ; le quotient 7 est la première décimale. On écrit un zéro à la droite du reste i et Ton divise le résultat 10 par 7 ; le quotient i est la deuxième décimale ; et Ton continue ainsi indéfiniment. Or, dans toutes les divisions partielles, le diviseur est constamment 7 ; par conséquent les restes que Ton obtient sont tous plus petits que 7 ; d'ailleurs
aucun d'eux ne peut être nul, car s'il en était ainsi la fraction -
serait réductible en une fraction décimale d'un nombre limité dé
chiffres. Donc, dans le cours de l'opération, on ne peut obtenir, au plus, que 6 restes différents, savoir i, 2, 3, 4, 5, 6. Il résulte de là qu'après avoir écrit, au plus, 6 chiffres décimaux au quotient, on obtiendra un reste déjà obtenu. Alors on sera évidemment dans les conditions où l'on était la première fois qu'on
8a CHAFiTfte IX.
a trouvé C6 reste : en d'autres termes, on sera conduit à exécuter^ à partir de ee moment, la même série d'opérations qu'on avait à effectuer antérieurement; d'où il suit que les restes et les chiffres du quotient se reproduiront périodiquement.
RECHERCHE DE LA FRACTION GÉNÉRATRICE D'UNE FRACTION DÉCIMALE PÉRIODIQUE DONNÉE.
123. Nous allons maintenant chercher à revenir d'une fraction décimale périodique à la fraction ordinaire génératrice. Nous ne considérerons que des fractions périodiques sans partie entière; lorsqu'il y a une partie entière, on en fait abstraction d'abord et on l'ajoute ensuite à la fraction génératrice trouvée.
Soit, en premier lieu, une fraction décimale périodique simple, sans partie entière ; par exemple
Considérons d'abord la valeur approchée que l'on obtient en prenant un nombre de périodes limité, que je supposerai égal à 3 pour fixer les idées. Cette valeur approchée sera
Si l'on transporte la virgule après la première période, on obtiendra la nouvelle fraction décimale
qui sera 1000 fois plus grande que la fraction (^], puisque la période de celle-ci a trois chiffres; la différence des frac* tiens (3) et (a) vaut 1000 — i foison 99g fois la fraction (a)^ or celle différence est évidemment égale à l'excès de la partie entière de la fraction ( 3 ) sur la dernière période de la fraclion (2)^ c'estr^-dire égale à 067 — 0,000000267; donc 267 est égal au produit de la fraction {2) par 999 augmenté ^ de 0,000000267. Ainsi
en divisant par 999 ces deux nombres égaux, on aura des résultats égaux; donc
— - = 0,267267267 H ^ d'unité du o" ordre décimal.
Il résulte de là que la fraction {2) est la valeur approchée de
— - à. une unité près du neuvième ordre décimal. Et l'on voit
DES NOBimBS DÉGIMAUX. 83
parce raisonnement, que» si l'on prend scteeesèlfeaient, dans la fraction illimitée (i), une, deux, trois, quatre, etc., périodes,
on obtiendra les valeurs approchées de — - à une unifé pt^ès
du troisième, du sixième, du neuvième, du douzième, etc.,
ordre décimal. D'où Fon peut conclure que — ^ est la limite
ou ta fràctioft génératrice de la fraction périodique (i).
On voit que généralement : La f radian ordinaire génératrice d'une fratàtiùri dêeiniale péri&di^ue simple, sans pattie entière,, a pour numérateur la période et pour dénominateur un nombre formé d'autant de 9 qu^il y a de chiffres dans la période.
1^. Soit maintenant une fraction décimale périodique mixt« sans partie entière; par exemple
Ckmsldérons d'abord la valeur approchée que l'on obtient en prenant un nombre de périodes linnté, que je supposerai égal à 3 pour fixer les idées. Cette valeur approchée sera
Si l'on transporte successivement la virgule après la partie non périodique et après la première période, on obtiendra Tes deux nouvelles fractions suivantes :
(3) 34,267267267 et
qui sont respectivement loo fois et looooo fois plus grandes que la fraction (2). La différence des fractions (4) et (3) contient donc looooo — 100 fois ou 99900 fois la fraction (2) ; or cette différence est évidemment égale à la différence des parties entières des mêmes fractionè (4) et (3) diminuée de la dernière période de la fraction (3); c'est-à-dire égale à
donc la différence 34267 — 34 est égale au produit de la fraclion (2) par 99900, augmenté de 0,000000267. Ainsi
en divisant par 99900 ces deux nombres égaux, on aura des
84 eHAPlTBB IX.
résultats égaux; donc
-î — ^~ = 0,34267267267 H d'unité du 1 1* ordre décim.
Il résulte de là que la fraction décimale (2) est la valeur ap-^
prochée do la fraction — — 2 — — z à une unité près du i r® ordre ^ 99900
décimal. Et Ton voit par ce raisonnement que si Ton prend
sucessivement dans la fraction illimitée (i), une, deux, trois,
quatre, etc., périodes, on obtiendra les valeurs approchées de
— — à une unité près du cinquième, du huitième, du
onzième, du quatorzième, etc., ordre décimal. D'où Ton peut
conclure que -^^ — est la fraction génératrice de la frac-
tion périodique (i).
On voit que généralement :
La fraction ordinaire génératrice d'une fraction décimale périodique mixte sans partie entière a pour numérateur l'ensemble de la partie non périodique et de la période diminué de la partie non périodique ^ et pour dénominateur un nombre formé d'autant de 9 qu'il f a de chiffres dans la période, suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la partie non périodique.
125. Le dénominateur de 1^ fraction génératrice d'une fraction périodique simple est formé de chiffres 9 et il ne renferme, par conséquent, ni le facteur 2 ni le facteur 5; il en sera donc de même, à plus forte raison, quand oh aura réduit cette fraction à sa plus simple expression. Au contraire, le dénominateur de la fraction génératrice d'une fraction périodique mixte çst terminé par autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la partie non périodique; ce dénominateur renferme donc un pareil nombre de facteurs 2 et de facteurs 5; d'ailleurs le numérateur ne peut admettre que l'un des facteurs 2 et 5, car s'il les admettait tous deux, il serait terminé par un zéro et la période commencerait un rang plus tôt qu'on ne l'a supposé. Donc la fraction génératrice étant réduite à sa plus simple expression, son dénominateur conservera l'un des facteurs 2 et 5, ou tous deux autant de fois qu'il y a de chiffres à la partie non périodique de la fraction décimale. On peut évidemment conclure de là les deux propositions suivantes :
V01IMB8 Déc!lMA1JX . 85 '
1^ Lorsque le dénominateur d* une fraction ordinaire irréductible ne renferme ni le facteurs, ni le facteur 5, cette fraction engendre une fraction décimale périodique simple.
2" Lorsque le dénominateur d 'une fraction ordinaire irréductible renferme l'un des facteurs net S ou tous les deux, avec d'autres facteurs premiers, la fraction engendre une fraction décimale périodique mixte, et le nombre des chiffres non périodiques est égal au plus grand des exposants avec lesquels figurent les facteurs 2 et 5 dans le dénominateur de la fraction ordinaire,
QUESTIONS PROPOSÉES
1. Un marchand achète deux pièces d'étoffe; la première, qui a 6g mètres de largeur» coûte i3 fr. 35 c. le mètre; la deuxième, qui a 87°',7 de longueur, coûte 1 1 fr. aS c, le mètre. Comme le marchand paye comptant, on lui fait une remise de 6 pour loo sur te prix; combien aura-t-il à payer?
IL Le diamètre des pièces de 5 francs est o^joBy, combien faut-il mettre de ces pièces bout à bout pour faire une longueur de loo mètres? *
IIL Trouver les fractions génératrices des fractions décimales périodiques
IV* Démontrer que le produit de deux fractions décimales périodiques simples moindres que Tunité est une fraction décimale périodique simple.
