Cette manière d'escompter n'est pas celle qu'emploient

Ariih, B, 20

3o6 RÈGLE d'escompte.

les banquiers et les commerçants. Ordinairement, îlsescomptent à tant pour 100 par an ou par mois ; c'est-à-dire qu'ils établissent un igux ^escompte comme ils ont établi des taux dintérét.

Reprenons l'exemple ci -dessus, pour le traiter par cette autre

méthode.

On demande d escompter un billet de 485o', payable dans iS**** \, à raison de \pour 100 par mois ?

Analyse, — Éomme, d'après l'énoncé, on est censé devoir re-

tenir pour 100', j par mob, il s'ensuit que pour i3"^^ ^, on re-

tiendra -T X i3~, ou -5-, c'est-à-dire, en réduisant en déci-

maies, lo'yiaS. Ainsi, pour savoir ce qu'il faut retenir sur 485o', on devra établir la proportion

„ , „ 485o X io,i3i5 / c , . ,

d ou Ion tire x = ^ =40i ,00 , a un centime près.

Or, si de 485o on 6tc 491 >o6, on obtient le reste 4358^,94* qui représente alors là valeur actuelle du billet.

En comparant ce résultat 4358' 94*9 à celui qu'on a obtenu d'après la première méthode, on reconnaît que la 44^4»^ personne reçoit 45' i5*^ de moins par la seconde 4^^) 9^

méthode que par la première 4^» '^

, Pour expliquer cette différence , il faut observer que tes banquiers, en prélevant 491 '1 06 sur 485o', prélèvent l'intérêt que cette dernière somme rapporterait au bout de i3**''^, tandis qu'ib ne devraient rigoureusement retenir que l'intérêt de la somme qui revient actuellement au possesseur du billet; et cette condition est remplie par la première méthode.

Ce nombre 491 906 que le banquier retient d'après la seconde méthode, se compose réellement de deux parties, savoir : Tintérèt de la valeur actuelle du billet, c'est-à-dire 44^99^ > P'"^ riniéréi de cet intérêt, comme il est aisé de le vérifier.

HÈGLE D £SCOill>T£. 807

En effet , la proportion loo : io,i25 :: 44^»9i • ^ <ionne

c'e8t-à-*dire 45,i5, k un centime \nhs:

Il résulte de là que ces 4S' i5* sont en pure perte pour le possesseur du billet; c'est un be'néûce que s'attribue le ban-. quier, iDdëpendamment de celui qui lui appartient de droit en raison de l'anticipation du paiement.

Quoi qu'il en soit, la seconde méthode est généralement reçue dans le commerce , parce qu'elle est plus expéditive et plus commode sous le rapport des calculs.

En effet, désignons toujours par a le montant du billet, par Me temps qui doit s'écouler jusqu'à soo échéance , et par £ 1« taux d'intérêt , ou plutôt le taux (f escompte; ce qui donne ixt pour la somme à retenir sur loo francs prêtés pendant le temps /.

Gela posé, afin d'obtenir l'escompte du billet a, il ne s'agit que d'établir la proportion

100 l it II a l X ; d ou j: :=

formule semblable à celle de la règle d'intérêt; elle ne reni^erine que des multiplications et une simple division à effectuer, tandis que les deux formules relatives à la première i^éthode donnent lieu à des divisions qui sont même assez compliquées.

11 y aurait bien un moyen de concilier les deux méthodes : ce serait d'établir un taux d'escompte un peu moins fort que le taux d'intérêt. Mais la difficulté serait de les proportionner ^'un à l'autre dans toutes les circonstances habituelles. Aussi s en tient-on à la méthode la plus simple , ce qui, d'ailleurs , ^ est qu'une affaire de convention entre ie possesseur du billet et le banquier qui le lui escompte.

N, B, —Pour distinguer les deux manières d'escompter, on

3o8 RÈGLE D*ESCOilPTC.

désigne la première sous le nom d*escofnpie en dedans, et la seconde sous celi^i d'escompte en dehors.

Ces dénominations sont vicieuses ; et il y aurait peut-être plus de raison d'appeler la première, escompte en dehors, et la seconde , escompte en dedans : c'est l'opinion de plusieurs arithméticiens ; mais l'usage contraire a prévalu.

SS7. Voici quelques exemples traités par Tune et par l'autre méthode :

Second exei^le. — On demande la valeur actuelle dun billet de aSSo^ ^5^, payable dans a*"* 8"'*'S en supposant le taux d'intérêt àS^'jS^ pour i oo par an ?

Escompte en dedans, — D'abord, puisque loofr. rapportent 8^ 75« dans i*" , l'intérêt , au bout de 2"' 8"^'' , doit être égal à

8,75 X a"" S*"*'*, ou8,75x-âfOU^. Ainsi la valeur actuelle

du billet est exprimée par

la somme à retenir est d'ailleurs exprimée par

Effectuant les deux divisions indiquées , on trouve

I® —5 =23lI,IO I

Donc la valeur actuelle du billet est 23i t'i8®; et la retenue à faire est 539' 27*.

Escompte en dehors. — La somme à retenir sur 100' pour

2»ns S*"**" étant ^, Vescompte de t&So^ ^5l^ sera

iVËGLE d'escompte:. 3og

La valeur actuelle du billet est donc égale à 2850,45*— 665^1 o, ou bien à 2i85,35. ^

Ainsi, le possesseur du billet reçoit ^25' 83* de 23i i , i8 moins par la seconde me'thode que parla pre- 21 85, 35 mière. i25,83

Cette perte qu*il éprouve est d'ailleurs, comme nous l'avons déjà fait observer, l'intérêt de 539', 27.

En effet, on a pour cet intérêt, à raison de ^ p* 100 pour

100 3oo

Troisième exemplc* — Un banquier apajré pourun billet de 5600', payable dans 1 4 mois, une somme de 5 1 29^45*. On demande iTaprès quel taux d'intérêt par mois le billet a été escompté?

Escompte en ^^fa/ij.— Puisque 5 1 29^ 4^^ ex pri ment la valeur actuelle de 56qo', on obtiendra d'abord la somme dont 100 représente la valeur actuelle , par la proportion

5129,45 i 56oo :: 100 : x\

Ainsi, l'intérêt de 100' pendant i4 niois est 9', 1735.

Divisant cette expression par 14» on a o',6552 pour le taux d'intérêt par mois : résultat qu'on peut aisément vérifier en es* comptant le billet de 56oo' d'après ce taux d'intérêt.

(Nous avons poussé jusqu'aux loooo^""' la valeur de ce taux d'intérêt , afin quç la vérification fût plus exacte.)

Escompte en dehors, — Si l'on retranche 5 1 29,45 de 56oo, on obtient 470,55 pour la somme que le banquier retient sur 56oo.

dia RÈGLE OE SOCIÉTÉ.

Ce qui prouve que» pour obtenir chacune des parts ^ il suffit 'de mulliplier le nombre à partager, A y respectivement par chacun des nombres m,n,pyq....y e/ de diviser le produit par la somme in -|- n + p-^q... éU ces mêmes nombres. Faisons quelques applications.

930. PasMiEA EXEMPLE. — Trois personnes se sont réunies pour un commerce; la première a placé iSooo', la seconde 33540', et la troisième 356oo'; au bout dun an, elles ont fait un bénéfice de tsooo' ; on demande ce qui revient à chacun des associés?

Anafyse, — 11 résulte des considérations précédentes (ce qui d'ailleurs est évident en soi-même), que la mise totale (ou la somme des trois mises), es/ au gain total, conune une mise particulière est au gain qui lui correspond.

Donc chaque gain particulier est égal au produit du gain total et de la mise particulière , divisé par la mise totale.

Cela posé, laisant d'abord la somme des trois mises, on obtient pour cette somme , 63i4o'.

Ainsi Ton a successivement pour les expressions des trois gains particuliers , '

^ isoooXiSooo ^« ^

,, . iaoooXa5 6oo .^ ^ " = ©T45 =*?b«î38.

C'est ce que Von peut vérifier d'ailleurs en laisant la somme de

RÈGLE DE SOCIÉTÉ. 3l3

ces gains : car si ro|)ératîon est exacte, cette somme doit être égale au gain total laooo.

Second exemple. — Un particulier commence une entreprise avec un fonds de aSooo'. Cinq mois plus tard, voulant étendre son entreprise , iljr intéresse un capitaliste qui lui fournit un fonds de 4oooo^ Six mois après ce premier emprunt, il trouve un second capitaliste qui lui prête une somme de 6eooo'. jiu bout de deux ans, r entreprise a rapporté un bénéfice de 80000' ; il est (tailleurs convenu que le particulier, qui reste seul chargé de l'entreprise, aura une pribib de Sp, 100 sur le bénéfice total, outre la part qui lui revient proportionnellement aux fonds quil a placés.

On demande la part de chacun des trois co-associés? *

Analjrse. — Puisque le particulier doit, pour prix de son travail, commencer par prélever 5 pour 100 du bénéfice total, il re-

tirera les ou le — de 80000', savoir : 4ooo'.

100 ao

Il ne reste donc plus que 76000' à partager entre les trois

personnes , proportionnellement aux produits de leurs mises

par les temps pendant lesquels ces mises ont été placées dans

lentreprise.

Gek posé , 1^. les aSooo' du particulier, placés pendant 24 mois , donnent pour produit 25ooo' X a4 > ^^ 600000'.

2^ Les 40000' du premier capitaliste, ayant été ^^^^Sy on 19 mois, dans la société, donnent 40000' X 19} ou •}6oooo'.

3®. Enfin , les 60000' du second capitaliste , placés pendant 24— 5 «—6, ou pendant i3 mois , donnent 60000' X i3, on 780000'.

Donc , la question revient à partager 76000' proportionnel* iement aux trois nombres 600000, 760000 , et 780000, ou, ce qui revient évidemment au même, proportionnellement aut trois nombre 66, 76, et 78.

Or, on trouve d'abord pour la somme de ces trois derniers nombi*es, 214. Ainsi, Ton obtiendra successivement pour les trois parts ,

3i4 RicLE DE sociir^..

^•pari... ' ; ^=2i3o8,4i:

ou bien , ajoutant la prime de 4ooo' qui revient à celui qui est

charge' de l'entreprise. 253o8y4i

76ooo2<j6 5776000

^ 2t4 "~ 214 — ^^^ggo^'^

Vérification. . • 80000', 00

S5i. La règle de socie'té est une des opérations les plus usuelles chez l'homme civilisé.

Les contributions que les individus d'un même royaume paient au gouvernement, se déterminent par de véritables règles de société.

On appelle contribution, la aomme que doit payer annuellement chaque individu, à raison de son revenu présumé; c'est une sorte àe perte pour lui , mais une perte à laquelle il se sou- ' met pour aider le gouvernement dans sa marche et dans ses efforts pour l'intérêt et le bonheur de tous.

La question qui a pour objet de fixer le montant des contributions proportionnelles , sur un nombre d'individus aussi grand que celui d'un État , de la France par exemple, peut sembler, au premier abord, très-compliquée; mais les considérations suivantes suffiront pour faire concevoir combien sa solution eu est simple.

Supposons , pour fixer les idées , qu'il ne s'agisse que des contributions yôiiciiènsf> c'est-à<-dire des contributions que l'on perçoit sur les res^enus territoriaux.

Les besoins «fuit gouvetTtemeni pendant une année exigent une coniribuiionfoncière dont la valeur est A. De quelle manière en opérera-^M le recouvrement? .

Solution, — On commence par répartir, au ministère des fi* nances, U somme A entre tous les départements qui composent le territoire, proportionnellement aux revenus présumés de ces différents dc|KirtcmcRts.

RÈGLE DE SOCllSTé. 3l5

Soii B la semme que l'un quelconque des dëpartemenls doit payer pour sa quote-part.

Ce département étant divisé en trois ou quatre arrondisseinents dont les revenus territoriaux sont connus , on partage, à la préfecture de ce département , la somme B entre les arron- Aïs9e!meiiX& <f propofponnellement à leurs revenus.

Soit C la somme que l'un des arrondissements doit payer pour sa quote-part.

Cet arrondissement se subdivisant en plusieurs communes ^ on fait à la sous- préfecture de cet arrondissement, la répartition de la somme C, entre toutes les communes qui le composent , proportionnellement à leurs revenus présumés.

Soit D la quote-part de Tune des communes.

Enfin y cette commune se compose d'un certain nombre de propriétés 9 soit en maisons, soit en terres ou en prairies, soit en bois, dont les revenus sont évalués ; et l'on partage la contribution D entre les proprié taires,/7/vpor/zon/ie//eme/i/ à leurs revenus présumés.

Les rôles de.contribution de tous les propriétaires étant une fois établis, chaque contribuable verse le montant de sa conitribution entre les mains du receveur de la commune. Celui-ci verse ses fonds dans la caisse du receveur d'arrondissement ; ce dernier verse les siens dans la caisse du receveur général de département; enfin, tous les receveurs de département envoient leurs fonds à la Trésorerie ; et le gouvernement se trouve ainsi avoir perçu le montant général de la contribution.

252. Voici de nouvelles questions qui se rattachent à la règle de société.

Troisième exemple. — Partager une somme de 36ooo' entre quatre personnes , de manière que la seconde ait deux fois autant que la première; que la troisième ait autant, à elle seule, que les deux premières ensemble; et que la quatrième ait trois fois plus que la troisième ?

Pour peu qu'on réfléchisse sur la nature de cette question , on verra que la part de la première personne étant prise pour unité , ou désignée par i , celle de la seconde est 2 ; la part de

3l6 REGLE DE SOCIÉTÉ.

la trobième , 2 4* > ou 3 ; enfin celle de la quatrième ,3X3 ou 9 ; donc la question est ramenée à partager 36ooo en quatre parties qui soient entre elles comme les nombres i , 2, 3, 9; elle rentre par conséquent dans la question générale du n« 9«9>

Faisant d'abord la somme des quatre nombres 1,2, 3, et 9, on trouve i5 pour cette somme.

Ainsi , l'on obtiendra successivement pour les quatre parts,

!'• part y = 2400 ;

Quelquefois, les nombres proportionnellement auxquels ou doit partager une somme donnée, sont des fractions ou des nombres fractionnaires.

Mais on peut aisément ramener ce cas à celui où les nombres sont entiers, en réduisant ces fractions au même dénominateur.

Ainsi , pour diviser une somme donnée, a, en parties propor-

tionnelles aux fractions x , t 9 ;^i réduisez d'abord ces fractions

au même dénominateur: elles deviennent — , -^, — . Or les

fractions qui ont même dénominateur, étant proportionnelles à

leurs numérateurs (n** 817) , tout se réduit à partager la somme

proportionnellement aux nonibres donnés 8,9,10, ce qui

donne — , —, , pour les trois parts demandées.

Quatrième exemple. — Une personne laisse en mourant quatre héritiers; et elle a fait ce singulier testament : le premier

RÈGLE DE SOCIÉTÉ. Si 7

kéniicrdoit avoir ^^ le second l, le troisième 5, elle quatrième -Jdu bien total.

On demande ce qui revient à chacun d'eux , rhéritage mon* tant bailleurs à 40000 Jrancs ?

5o/i/tiV>/i.— Si la somme des quatre fractions ^, -z. -. etx«

était égale à i , les conditions du testament seraient facilement

remplies ; il n'y aurait qu'à prendre alternativement le 6^ de

40000 1 les f de 40000 , etc. ; et l'on aurait les quatre parts.

Mais en réduisant ces fractions au même dénominateur, on

i5 36 4o 3o , ^ , *^ 1 A 121 trouve — , — , ■^, — , dont la somme est égale à ,ou

I — , résultat plus grand que Tunité; d'où l'on voit que le

bien se trouverait plus qu'absorbé par les trois premières parts, établies suivant les propres termes du testament.

Cependant , si l'on réfléchit sur l'énoncé , on voit que les intentions du testateur ont été de distribuer son bien entre les quatre héritiers , de manière que leurs parts fussent proportionnelles aux nombres 79 7. -» ô«

Ainsi , l'on remplira ses intentions en partageant les 4oooo en parties proportionnelles à ces quatre fractions , et par conséquent, aux quatre nombres i5, 36, 409 et 3o.

La somme de ces nombres étant 121 , on obtiendra successivement pour ces parts,

.«p.rt...:i><i2£2£= 4958',œ,

*. laf 40000,00

3i5 UÈGLE DE SOCIÉTÉ.

CiNQOlàME EXEMPLE. — O/iy^iV ufie remonte de 1200 chevaux qu'on doit distribuer à trois régiments de dragons, en twson de leur force; la force du premier régiment est à celle du second comme 11 esta 8; la force du premier régiment est à celle du troisième comme gestà*]. On demande combien chaque régiment aura de chevaux?

Il résulte évidemment de l'énoncé, que le nombre de chcvaux du second régiment doitètre les — de celui du premier, et pareillement, que le nombre de chevaux du troisième doit ctre tes - de celui du premier. Donc les trois nombres demandés

sont entre eux comme les nombres i , — , - ; ou bien, si 1 on

réduit l'entier et les fractions au même dénominateur, comme les trois nonabres 99, 72,77.

Ainsi, l'on obtiendra

OQ X 1^00 , 1

pour le i" régiment "^"^ .g = 479 3^1