DE LA RÈGLE D*ALLIAGE

255. Les questions qui appartiennent à cette règle sont de deux espèces :

Ou Ton a pour but de trouver la valeur moyenne de plusieurs sortes de choses , connaissant le nombre et la valeur particu" libre de chaque sorte ^ >

Ou bien, il s'agit de déterminer les quantités de chaque sorte 1 de choses qui doivent entrer dans un mélange ou alliage, connaissant déjà le prix ou la valeur de chaque espèce, et le prix ou la valeur totale du mélange.

Nous ne nous occuperons que de la première espèce, la seconde étant tout à fait du ressort de l'Algèbre.

Premier exemple. — Un marchand de vin a mêlé ensemble des vins de différentes qualités , savoir, 25o litres à iz'^ le li' tre, 180 litres à iS'^y et 200 à \&^; on demande le prix du li' tre de mélange.

Observons d'abord que 25o litres à 12*^ donnent, pour le prix de ces a5o litres , sSo X 1 2 ou Sooo*'

De même, i8o litres à iS*^ font 180 X i5 ou 2700

Ën6n 200 litres à 16*^ font 200 X 16 ou 32oo

ce qui donne, pour le prix total des trois quantités de 8900 vins mélangées, 8900*^.

JiÈGLE d'alliage. 3i3

Si maintenant on fait la somme des aSo

irois nombres 25o, i8o, et 200, ce qui 180

donne 63o, la question sera e'videmment 200

ramenée à celle-ci : 63o

63o litres de vin coûtent 8900 sous; à combien re\^ient le

litre?

Pour obtenir ce prix , il suffit de diviser 8900 par 63o ; et le quotient i4*^ 1^ exprime le prix demandé.

Règle oiNinALE. — Pour avoir le prix de Tunité de mélange, il faut, 1**. multiplier le prix de l'unité de chaque sorte de choses que ton veut mêler, par le nombre d'unités de cette sorte, et ajouter tous e^ 9 produits; %^. faire la somme des nom'» bres d'unités des différentes sortes de choses; 3®- diviser la somme des produits , ou le prix total, par la somme des nom^ bres df unités

Second exemple. — On veut fondre ensemble a3 kilogrammes à! argent à SsS millièmes de fin; i4 kilogrammes à ^10 \ 19 ât 845; et Von demande le titre de /'alliage de ces trois lingots?

A^. B, — Pour comprendre cet énoncé, il faut savoir que, dans l'orfèvrerie y Por et l'argent sont toujours combinés avec d'autres métaux , tels que le cuivre.

Cela posé ,. on dit qu'un lingot d'or ou d'argent est à tel titre ou à tel degré de fin , lorsque , sur un poids déterminé , par exemple sur un kilogramme , il contient tel poids d'or ou d'argent pur.

Ainsi, un lingot est ^ ~ de fin , ou bien , est au titre de-^y

lorsque sur i kilogramme de ce lingot, il se trouve-^ dekil.

d'or ou d'ar^nt pur. (^Ce titre est celui des monnaies actuelles. )

De même, un lingot estàSaS millièmes de fin, lorsque, sur

i kilogramme, il contient d'or ou d'argent pur.

3^4 nÉGLE d'alliage.

Mainlenant il résulte de Ténoncé, que

I •. 23* k 82S ""'. . . . font 23 X 825 ou 18975"'"

2^ i4 à 910 14X910 ou 12740,

3^ 19 a 845 19x845 ou i6o55;

Donc, les 56 kilogrammes alUcs ensemble, contiennent 47*,77o d'argent pur.

Ainsi, le titre du nouveau lingot sera exprimé par ^^*^^

on 0,853 ; c'est-à-dire que le lingot résultant de l'alliage des trois premiers, est à 853 millièmes de fin.

Troisième exemple. — On a employé 5oo ouvriers, dont 160 à raison de 7f par jour, 200 à 1*75*, et 140 <i i'5o*. On de^ mande à combien, Vun dans Vautre , chaque ouvrier rewent par jour.

lôo'***' à 2^, produisent 820

200 II 1' 75* 35o

6ÔÔ 88Ô

Donc, puisque 5oo ouvriers ont coûte 880', un seul ouvrier

880 f /jcoûte TT— ou 1*70".

856. La détermination des videurs moyennes de plusieurs clioses de valeurs différentes, est un cas particulier de la règle d'alliage de la première espèce.

On appelle valeur moyenne de plusieurs choses dont les valeurs particulières sont déjà connues, /a somme des valeurs de ces choses , divisée par la somme et autant et unités quHly a de choses, plus simplement , divisée par leur nombre,

• Ainsi , dans le cas où l'on n'a que deux choses , la valeur moyenne est la deini-soniine des valeurs de ces choses; en d'autres termes, c'est (n** 205) la moyenne différentielle entre les valeurs de ces deux choses.

Quatrième exemple. — On a mesuré, à quatre reprises dififé^ rentes, la lenteur d'un parc. On a trouvé la première fois,

AOTRES QUESTIONS. 3^5

pour celle longueur, a5o'"'''",439 ; ^« seconde, aSS^^ôgS ; la troisième, 249"*, 76; enfin la qualrieme, 25i",i58. On de^ mande la longueur du parc»

Puisque, dans les quatre opérations , les mesures obtenues ne s'accordent pas , il est clair que le seul moyen de re'péndre à la question, est d'établir la mesure moyenne entre toutes ces mesures.

On trouve d'abord pour la somme des quatre mesures , le résultat 1002,042; divisant ce résultat par 4> ^^ obtient 25o,5io5 pour la mesure moyenne (*).

De quelques autres questions qui peuvent se résoudre par le

secours seul du raisonnement.

857. Dans les questions précédentes, les moyens de parvenir à la solution cherchée étaient fixes et généraux, c'est-àdire susceptibles d'être appliqués à toutes les questions de même espèce. Mais on peut en proposer une infinité d'autres qui ue se rattachent à celles-là quVn partie» ou qui n'en dépendent en aucune manière. Dans ce cas, l'Algèbre fournit seule dtfs méthodes 9Ûres et directes de résolution. Cependant , comme on ne saurait trop exercer l'intelligence des commençants , nous allons traiter quelques questions par le secours du seu raisonnement ; c'est ce qu'on appelle résoudre un problème arithmétîquemenl.

Rappelons-nous (n° 197) que résoudre ou analyser un pro* blême, c'est, en réfléchissant sur son énoncé, tâcher de décou'vrir dans les relations établies entre les nombres qui en font partie , la suite des opérations à effectuer sur les nombres con'^ nus, pour en tirer les valeurs des nombres inconnus.

Premier problème. — On demande un nombre dont la moi^

(*) Vg^esTooTra^qa^a pabliéM« Fravgsur, Tff cmbre de l*Aca<WiiiÙ! des Sciencet, soiu ce titre : Traité d'Arithmétique appliquée à la Banqucg au Ccnnmerce, h V industrie , etc., ooTrage doot nous ne saurions trop recommander la lecture aux jeunes gens qui se destinent h des spccoiationt commefciales ou industrielles.

3ab AUTRCS QDESTIOIIS.

tié, le tiers, le quart, elles--, réunis forment en somme 576.

Pour résoudre cette question, commençons par observer que

prendre successirement la moitié, le tiers, le quart, eties - d'un

nombre , puis ajouter toutes ces parties , revient à multiplier ce

nombre par la somme des fractions 7 y ^, -7, —, c'est-à- ^ 1 a 4 7

dire par -^7- (en efEectuant la somme de toutes ces frac- »4

ii5 tions). Or, puisque le produit du nombre cherché, par -^7- ,

doit être égal à S^S, il s'ensuit , d'après la définition de la division , que ce nombre est égal au quotient de 576 divisé par

-^, et par conséquent (n*69) à 575 X -^*

Effectuant le calcul indiqué, on trouve enfin -4^0 pour le nombre demandé.

Vérification 4^o

la moitié =2 10 le tiers = 140 le quart = io5 le 7* r=: 60

le 7* = 60

Total..,. 575 «

Second problème. — On demande trois nombres dont la somme soit égale à cfi, et tels que le second surpasse le premier de 2, que le troisième surpasse de 4 ^^ somme des deux autres.

Il est d'abord évident que, si l'on diminuait le secondnombre de a, il deviendrait égal au premier, et que si l'on diminuait le troisième de 2+4 ou de 6 unités, il deviendrait égal au double du premier; ainsi , la somme des trois nombres serait, après ces deux soustractions, quadruple du premier nombre.

D'ailleurs, si Ton retranche de 96, la somme 2 + 6, il reste

AUTUES QU£SriOJIS. 827

88; d'où Von voit que le quacjruple du premier nombre est égal

Donc^ ce premiernombre a pour valeur -7- .... ou 22.

Par Gonséquenty le second est ^al à 2a + 2 ou 24

et le .troisième, à 4^^4ou5^

Vérification g6

Troisième problème. — Trouver deux nombres tels que, si Von ajoute m au premier, la somme résulianie soit quintuple du second, et que, si l'on ajoute tli au second, la somme ré' sultante soit triple du premier.

On conclut d'abord de cet énoncé, que la diffiérence entre le

quintuple du deuxième et le premier est égale à la différence

entre le triple du premier et le deuxième, lly a donc equi-diffé"

renée entre le quintuple du deuxième nombre, le premier

nombre • le triple du premier, et le deuxième. Gomme, dans

toute équi-dijfférence , la somme des extrêmes est égale à celle

des mojrens ( n® 801 ) , il s'ensuit que le sextuple du deuxième

nombre es t égal au quadruple du premier; donc déjà ,1e deuxième

nombre est égal aux Z ou aux ^ du premier. Or, ce second

nombre augmente de 21 , donne le triple du premier; ou, ce qui revient au même, 21 est égal au triple du premier, diminué du

deuxième ou des ^ dif premier, c'est-à-dire, est égal au produit

du premier par (Z — ^\ ou aux ^ du premier.

Donc enfin, le premier a pour valeur 21 X -s on 9, Quant au

deuxième, qui est les ^ du premier, il est égal à 9 X ^, ou à 6.

£n effet: l^ 9-4-21 donne 3o, qui est bien le quintuple de 6; a*. 6 -f. 21 donne 27, qui est le triple de 9. Donc les deux nombres 9^et 6 sont les nombres cherchés.

Quatrième proslème. — On emploie trois ouvriers t pour faire un 6uvraf*e, IjC premier le ferait seul en 1 9. jovrs , en

3a8 'adtbes questions.

iravaiiiani lo heures par Jour ; le deuxième dans i5 jours, en travaiUani 6 heures par Jour} le troisihne dans 9 jours, en travaillani 8 heures par jour. On demande, 1°. dans combien de temps ces trois ouvriers , travaillant ensemble, feront cet ouvrage } a*, ce que chacun en fera y 3^. ce qu'il gagnera, Vouvrage total étant pajé io\i francs,

Soccrrioir. — Observons d'abord que, d'après Tënonce', le pre-; mier ouvrier ferait seul la besogne dans 12X10, ou lao heures ; donc, en i heure , il ferait de l'ouvrage.

Le deuxième le ferait dans i5 X 6, ou 90 heures; ainsi, en i heure, il en ferait — •

Le troisième le ferait dans 9X8, ou dans 72 heures ; donc, en

I heure, il en ferait — •

Ces trois ouvriers , travaillant ensemble , feraient donc , en

I heure, — + — -4- — , ou ^^-, c'est-à-dire ^r- de Tou- 120 90 72 3oo 3o

vrage.

Or, s'il leur faut i heure pour faire »- de l'ouvrage , il est

clair qu*ils emploieront 3o heures pour faire l'ouvrage tout entier.

Maintenant , puisqu'en i heure le premier ouvrier fait — ,

en 3o heures il fera x 3o , ou -r = — . De même , le

deuxième fera en 3o heures, — x 3o,ou~= —. Enfin , lelroi-

Qo 3 12

sième fera en 3o heures, — X 3o, ou — •

Il ne reste plus actuellement qu'à savoir ce qui revient à

chaque ouvrier, en raison de la besogne qu'il a faite. Or, pour

cela, il suffit de diviser 108 en parties proportionnelles aux trois

fractions — , —, — , ou plutôt, aux trois nombres 3, 4i ^»