TROISIÈME EXEMPLE

Un vase plein de liquide pèse. .

La lare, ou le poids du vase vide,

est de

On demande le poids du liquide.

Il est clair que si l'on soustrait du ^oids total du vase et du liquide qu'il contient, le poids seul du vase , le reste doit représenter le poids du liquide.

Gomme on ne peut ôter 49 de r7, on ajoute à 17... i gros qui vaut 72 grains; et Ton dit : 4^ de 72 plus 17, ou de 89, il reste 4o. Ensuite , 7 ^e 8 plnà ^\ on de t^ , il Heste 5. Passant aux onces, 8 de 7 , cela ne se petit; iVMiis comme 1 livre vaut i6onces, on dit : 6 de i6plus 5, ou de 21 , îl reste i3. Enfin, 5 de 17 il reste 12.

Donc le poids total du liquide est inft* iS*"*^ 5^4^^'*

i-jib 5~ 4«

MOLTIPLIGATION DES N011BR£S CIMftyLEXCS. 103

Multiplication des nombres complexes.

Cette opération , plus difficile ^ue les deux premières , demande beaucoup d'attention, et ne peut être développée d'une manière bien nette que sur des exemples.

Pour plus de clarté , noHS distinguerons deux cas principaux t oa, le multiplicande étant complexe , le multiplicateur est incomplexe ; ou bien , le multiplicande étant complexe ou in* complexe, le multiplicateur est complexe.

7S. Considérons d'abord le premier cas , celui ou , le multi^ plicande étant complexe, le multiplicateur est un nombre in^^ complexe ou un nombre entier quelconque.

Soit à multiplier 247*" 1.7*'' 1 1^

par ^^

On obtient ce produit en multipliant toutes les parties du multiplicande, à partir des plus faibles , par le multiplica* leur, et ayant soin de retenir les unités des ordres supérieurs , fournies par les produits inférieurs.

Ainsi , Ton dît : 9 fois 1 1 deniers font 99 deniers , qui oon-« tiennent 8 fois 12 deniers ou 8 sous , et 3 deniers; ou pose alors 3 deniers et l'on retient 8 sous pour les reporter s«r le produit des sous.

Ensuite, 9 fois 7 font 63, et 8 de retenue font 71 sous ; on pose t sou et Ton retient 7 dixaines de «ous; 9 fois i ifoot 9 , et 7 de retenue font 16 dixaines de sous ; et, comme 2 dixames de sous font i livre, on prend la moitié de 16 qui est 8, que Ton retient pour les reporter au produit des livres , sur ie»<qttelles on opère d*<après le procédé connu de la multiplicatloii des nottil^es entiers ; il vient enfîn , pour le produit demandé ,

Dans cet exemple, où le nsulliplieateiir n'e9t exprâné que par un seul cbiffre , on a ooimuencé par la droite , et l'on a déterminé successivement les sous fournis par le produit des fieniers., et les livres fournies par le produit des sous. Mais si le

ie4 MULTIPUCATIOlf DES NOM&RES COMPLEXES.

multiplicateur avait plusieurs chiffres , les mêmes dëterminations ne pourraient plus s'exe'cuter de tète; et pour y parvenir, il faudrait faire à part des multiplications, ensuite des divisions , afin de convertir les espèces inférieures en espèces supérieures , ce qui demanderait beaucoup de calcul. Dans ce cas , l'opération se fait d'une manière* plus simple , ainsi qu'on va le voir sur l'exemple suivant.

Multiplier le nombre 784*^ iS*'' 9**

par 867

pour 10''' 4^8 10*^

Après avoir effectué la multiplication de 784 par 857 comme

à l'ocdinaire, on passe à la midtiplication de i5 sous par 857.

Pour obtenir sur-le-<:hamp ce produit en livres , on observe

que, si Toii avait i livre à multiplier par 857, le produit serait

,5 ; 857 livres; mais i5 sous, ou — de livre , ne sont que les trois

quarts de la livre; ou bien, étant décomposés en 10 sous et 5 sous, ils en sont la moitié plus le^quart; donc le produit demandé se compose de la moitié de 857 livres , plus le quart de 857 , ou y ce qui revient au même , plus la moitié de la moitié de 857 livres. Ainsi l'on dira : pour 10 sous, la moitié de 857 livres est 428 {vojez v!* Si) , et il reste i livre qui vaut 20 sous; la moitié de 20''' est lo*^; et l'on obtient 428*'io''" pour le produit de lô sous par 867.

Prenant maintenant la moitié de 4^8^ lo*^, on a 214^ ^^ pour le produit de 5 sous par 857. »

Passant aux deniers, on remarque que 9 deniers sont dé* coinposablcs en 6 deniers plus 3 deniers } or 6 deniers sont la

MULTIPLICATION DES NOMBEES COMPLEXES. loS

moùié d'un sou, et par conséquent , la moitié du S* ouïe lo"* de 5 sous; donc le produit de 6 deniers par 8S7 est le 10* du produit précédent, ou de 214^ 5*^. Prenant d'abord le 10* de 2i49onapourquotientai, etpourreste41ivre$, qui valent 4 fois 20 y ou 80 sous , que l'on réunit aux 5 sous ; le i o' de 85 est 8 sons y et il reste 5 sous qui valent 5 fois 12 , ou 60 deniers ; enfin , le lo* de 60 est 6 ; et Ton a 21* 8^ 6*^ pour le produit de 6 deniers par 85^ .

Pour obtenir le produit de 3 deniers par 857, il suffit de prendre la moitié du produit précédent , et l'on trouve 1 o^

Soulignant le tout, et faisant la somme des produits partiels, on obtient 672562^ 17*^ 9^ pour le produit total.

Cette manière d'obtenir les produits des subdivisions de Tunité prîncipale du multiplicande, par le multiplicateur, s'appelle méthode des parties alîquotes, parce qu'elle consiste k décomposer les nombres d'unités de ces subdivisions en parties aUquotes , soit de F unité principale , soit les unes des autres, c'est-à-dire ( n"* ISl) en parties qui soient respectivement contenues un nombre exact de fois les unes dans les autres; et alors, pour former un produit correspondant à l'une de ces parties aliquo tes, on prend de l'un des produits qui précèdent , une partie marquée par le nombre de fois que la partie aliquote que l'on considère est contenue dans la partie qui a fourni ce produit déjà obtenu.

Soit, pour nouvel exemple, "*

à multiplier 67'^ S^ 6p 5»

par 59

pour y 29 3'