II I
pour
112 MULTIPMCàTION DES NOMBRES COMPLETES.
77. A^. B, — Observons que, dans ce dernier exemple, les deux facteurs de ]a multiplication sont les mêmes que ceux de l'exemple précédent; et cependant, on a obtenu deux résultats qui différent Tun de l'autre , sinon par l'entier qui y entre , du moins par la nature de l'unité principale, et par les subdivisions de cette unité. Ainsi le principe du n^ 2IS, qui consiste en ce que Von peut inters^ertir l'ordre des facteurs d'un produit, sans changer le produit , ne semble vrai que pour les nombres abstraits. Pour le rendre applicable au cas de deux nombres complexes, il faudrait concevoir chacun de ces nombres réduit ( n^ 69 ) en un seul nombre fractionnaire de l'unité principale qui lui correspond ; et les deux nombres qu'on obtiendrait en intervertissant l'ordre des facteurs , se-> raient égaux , abstraction faite toutefois de la nature de l'unité principale , laquelle devrait être différente dans les deux produits. En effet , d'après la définition de la multiplication , toutes les fois que Ton considère des nombres concrets, le produit et le multiplicande doivent être de même nature; tandis que le multiplicateur, quoique poi^vant être
, d'abord exprimé par un nombre concret , doit toujours être considéré , dans l'opération , comme un noAibre abstrait qui désigne combien de fois on doit répeter le multiplicande , ou quelle partie on en doit prendre. U faut donc , lorsqu'on a une multiplication à effectuer, avoir soin de déterminer lequel des deux facteurs doit être pris pour multiplicande , ce qui n^est pas difficile, puisqu'il est toujours de même nature que le produit , et que la nature de celui-ci est indiquée par l'énoncé de la question.
78. La preuve naturelle de la multiplication se fait par la division ; mais il est en général plus simple, à cause des fractions compliquées que renferme souvent le produit, de doubler le multiplicande et de prendre la moitié du multiplicateur, ou réciproquement. Nous engageons les commençants à reprendre les opérations ci-dessus, et à en faire les preuves d'après cette méthode. Voici d'ailleurs de nouveaux exemples sur lesquels ils peuvent s'exercer :
DIVISION DES NOMBRES COMPLEXES. 1 i 3
I». Déterminer le prix de 35tb i"' 5"" 4^ 4^^' d'une certaine marchandise, en supposant que la livre-poids coûte 7.3*" in'^Z^ .
Résultat : 855^ 8J' io^%
2'. Multiplier ]3g^ 5^ oP 1 1^ par 25^ 19-^ 1 1*^.
Résultat .• 3635*»' a^ 5? 1 o^ -i^.
3". Multiplier 3 1^ 17-'* ç^^ par iS*" 1 1*^ 5*^. . Résultat : 496^ 1 o*^ 3^ |2.
Nous aurons à traiter, par la suite {Chap, FI!)^ des questions susceptibles de donner lieu à la dernière opération.
Division des nombres complexes,
Nous distinguerons également deux cas principaux : ou le dividende et le diviseur sont de nature différente ; ou bien i7/ ^ sont de même nature,
79. Premier cas. -^ Le dividende et le diviseur étant de nature différente.
Dans ce cas , il peut arriver deux circonstances : ou le divi seur est incomplexe , ou bien il est complexe.
i^ Si le diviseur est incomplexe, considérez-* le comme abstrait, et effectuez la division du dividende par le diviseur, en réduisant le quotient en unités principales et subdivisions de la nature du dividende.
2*. Si le diviseur est complexe, convertissezr-le {n^ M) en un seul nombre fractionnaire de son unité principale j multipliez le dividende par le dénominateur de la fraction diviseur/ et divisez le produit par le numérateur, en réduisant toujours le quotient en unités principales et subdivisions de la nature du dividende,
PREMIER EXEMPLE
On demande le prix de la toise d'un certain ouvrage, en supposant que Ton ait pnjré zSJ^&oj'^ 19*^ 1 1^ pour 568 toises du même ouvrage,
Arilh B. 8
Il4 DIVlSfON DES NOMBRES COMPLEXES.
Le prix de la toise étant connu, 25460** i q-^ 1 1 * en le multipliant par 568 on de- ^nia vrai t reproduire 26469* i g*'* 1 1 **; / donc il faut diviser ce dernier nombre par 568.
Après avoir divisé 26469 par 9^^9 568 comme à l'ordinaire , ce qui ^"79 donne 44 livres pour quotient et ^' '
477 livres pour reste , on réduit ^
ce reste en sous en le multipliant 5663 par 20 , et Ton ajoute au produit 55 1 les 19*^ du dividende, ce qui
donne 9659*^ que Ton divise encore par 568 ; il vient pour quotient 16^, et pour reste 47^'^ V^^ ^'^^ multiplie par 12 pour en faire des deniers ; ajoutant au produit les 1 1 deniers du dividende, on trouve 5663^ que l'on divise de nouveau par 568, ce qui donne pour quotient g^ et ppur reste 55 1 ; dooc
55i le quotient total, ou le prix de la toise , est 44*^ ^^ 9* cïï5
SECOND EXEMPLE
On a acheté 2581b 1" 7*'» 5^ de marchandise pour la somme de 3269* 17*^ io**y on demande à combien radient îalivre^poids de cette marchandise.
Le prix de la livre-poids étant connu , en le multipliant par sSSlb 1"' 7*"* 5^, on devra reproduire 3269* 17*^ 10^; ainsi, il ' faut encore diviser le second nombre par le premier.
DIVISION DES NOMIMIES COMI*LEXBS.
ii5
258îbi*-7*'"5^'
pour
• ff
12* ir
roj
Après avoir converti le diviseur en un seul nombre frac^ tionnaire, suivant la règle du n°69, on trouve pour ce diviseur,
• — ^, puisque (n** 68) le gros est la 128* partie de la livrepoids; mais pour diviser 3269* 17*^ 10* par g^, il faut
(q°62) multiplier le dividende par le dénominateur ia8, ce qui donne, comme on le voit de l'autre part, 4*7^66* 2*^8*, et diviser ce produit par le nume'rateur 33i49; cette dernière opération rentre dans celle de l'exemple précédent ; et Ton
trouve, pour le prix demandé, 12^ 11 -^9** ^1 , •
Il6 Division DES NOMBRES COMPLEXES.
Cea exemples suffisent pour mettre au fait de la marche qu'il faut suivre dans tout autre.
80. Second cas.— -Si le dividende et le diviseur sontdemèine nature , réduisez (n* M) les nombres en unités de la plus petite des subdivisions qu'ils renferment, puis ejUectuezla division du premier résultat par le second, en exprimant, suivant la règle du n* 70 , le quotient en un nombre complexe de la nature indiquée par V énoncé de la question.
Ceci va s'éclaircir sur des exemples.
premier exemple.
La toise dtun certain ouvrage coûte 47* «9^ 5*y on demande le nombre de toises que l'on peut faire exécuter pour 2728*" 17*^ 10**.
Si l'on connaissait le nombre de toises demandé, il est clair qu'en multipliant le prix d'une toise, ou 47* 19^^ 5^9 par ce nombre, on devrait reproduire 2728^ 17*'' 10*^; donc il faut diviser 2728*" 17^ 10** par 47* 19*'' 5**.
2728* 17*'' 10*" 47* 19*^ 5*" 654934 ii5i3
654934 ii5i3
ii4i56 reste i o539
Après avoir réduit en deniers les deux nombres proposés on trouve que le premier revient à — ^-^ de livre, et le se-
DIVISIOK DtS NOMBRES COMPLEXES. ÏI7
cond à — 7 — de livre. Or, pour diviser le premier nombre par
le second , il faut (n* 68) renverser la fraction diviseur, ce qui
donne — ~-^, et multiplier — , ^ par — —:; ; mais le facii5i3* ^ 240 *^ ii5i3'
teor 240 entrant à la fois dans le produit des numérateurs et dans celui diss dénominateurs, on peut le supprimer, et il
vient — ^ ^ ; donc, tout se réduit à diviser 654934 f^T 1 1 5i 3 ,
ce qui est conforme à la règle établie plus haut. Nous n'en* trerons dans aucun détail sur cette division , qui s'effectue , comme on le voit ci-dessus, d'après la règle duu* 70; nous observerons seulement que, suivant l'énoncé de la question, le
nombre fractionnaire — -^-^ doit être évalué en toises, pieds.
ii5i3 "^
pouces, etc. .. .
On trouve ainsi pour résultat, 56*^ 5** 3^ 9" — =-^.
SECOND EXEMPLE
On a pojé i"^ pour \S^ l^ 7? €tun certain ouvrage; on demande la somme qu'il faut payer pour Z'is^ ^ \\^ 8*.
Si l'on connaissait la somme demandée, en multipliant iSP^ 4' 7^ par cette somme, on devrait reproduire 329*^ 5'« • • ;
ou bien encore, autant de fois 329*^ 5^ contiendront
i5^ 4^ 7^9 autant de livres, sous , et deniers ,' on devra payer. D'où l'on voit qu'il faut diviser les deux nombres donnés l'an par l'autre ; et le quotient exprimera en livres, sous, et deniers , la somme drmandée.
I ï8 DIYISION D£S NOMBRES COMPLEXES.
3V S' '»' 8» i5T 4^ 71^ a85ii6 i36ao
Après avoir réduit l«s deux nombres en lignes ( parce quels ligne est la plus faible des subdivisions qui y entrent) en trouve
que le premier e'quivaut à ^. de toise , et le second à
■ Qy; / de toise ; d'où l'on tire, en multipliant le premier par le
second renversé, — ^^ — • convertissant ce nombre fraction-
naire en un nombre complexe de la livre , on obtient pour le
quotient cherché, 20*18^8** Z^ ovl .
N. B, — Si l'un des termes de la division était incomplexe,
il n'en faudrait pas moins réduire les deux nombres en unités
de la plus petite subdivision qui se trouverait dans l'autre.
81 . Aemar^Ere.— ^Toutes les fois que le dividende et le diviseur sont de même nature par rapport à l'unité principale, t énoncé seul de la questkm indique quelle doit être la natute de l'unité principale du quotient. Mais lorsquë^le dividende et le diviseur sont de nature didRérente, le quotient doit être de même nature que le dividende, puisque le dividende étant un produit, doit être (n^ 77) de même nature que l'un de ses facteurs.
82. Quant à la preuve de la division , elle pourrait s'effectuer par la multiplication ; mais il est plus commode de doubler les deux termes , ou d'en prendre la moitié , et d'effectuer, sur les deux nombres ainsi modifiés , une nouvelle cîi-
FRACTIONS OJécIMALES. 1 19
visioD ; le quotient doit être le même (n? 45) que le précédent. Voici de nouvelles applications :
i". Déterminer le prix de Faune d'une certaine étoffe, en
supposant que 69* -^ aient coûté 2728* 1 7-^ 9*^.
Rétaitat .• 89* 4-^ 4»> ^.
2'. Diviser 85g* 1 1^" •]*'par 89^ 4' 7P 10'.
Résultat , 9* , i^ 5»> ^^.
3". Di\fiser 13^7*^ i^ ^fparc^^St^ 7' i^S ?^ quotient devant éire exprimé en liyres, sous et deniers.
Résultat: i35^ xo-^ %^^^
