DES SYSTÈMES DE NUUÉRATIOIV

On vérifierait ce calcul en reprenant les transforma tion» dans un ordre inverse, c'est-à-dire en passant du système duodécimal au système quinaire,

125. Les procédés pour effectuer les quatre opérations fon« darnentales de rArithmétique sur des nombres écrits dans an système quelconque , ne diffèrent pas essentiellement de ceux qui ont été établis pour le système décimal. Seulement, il faut bien se rappeler la loi qui existe entre les unités de différents ordres , afin de pouvoir, au besoin , convertir des unités d'un ordre quelconque en unités de l'ordre immédiatement supérieur ou inférieur.

Pour familiariser les commençants avec les différents systèmes de numération , nous proposerons un exemple de cba— cune des opérations, exécutée dans le système duodécimal, dont les cai*actères sont, comme nous l'avons déjà vu n** il9,

i**. Soit à ajouter les nombres

37q4«i, ^2956, 27^*5, ^8me.

En commençant d'abord par les unités 3704*

simples , on dit « et 6 font 14 , et 5 font C2956

19, et t font 28. On pose 8 et Ton retient 27^*15

2 douzaines pour les reporter à la co- ^8aC

lonne des unités du 2' ordre. iStSiS

On dit ensuite : 2 et 4 fout 6, et 5 font Cj et « font 19, et a font 27. On pose 7 et l'on retient 2 pour les reporter à la colonne des unités du 3* ordre , sur laquelle 011 opère comme sur les précédentes ; et ainsi de suite. On obtient enfin 1 5*678 pour la somme demandée.

a**. Soit à soustraire de 640046

IjC nombre. 4?*^^

121677 Comme on ne peut soustraire ? de 6 ^ on a recours à l'artifice

||J0 THÉORIE CÉNÉIIALE

du 11" 14, et Von dit G de 16, il reste 7. Passant à la colonne suivante , on augmente 8 d'une unité' , et l'on dit: 9 de i4 9 il reste 7. Ensuite 7 de 10, il reste 5 ; C de 10, il reste 1 ; 8 de *, il reste 2 ; eufin 4 de 5 , il reste i . Ainsi 1 2 1677 est le résultat demande'.

3®. Soit à multiplier 3/\o']m

par 5«68

228628 [Nous sommes censés avoir sous les yeux une table de multiplication , poussée jusqu'à C (ou onze) qui est le plus haut chiffre du système. ]

£n multipliant d'abord 34079& par 8 , je dis : & fois a font 68; je pose 8 et retiens 6. Ensuite, 8 fois 7 font 48, et 6 de retenue font 52 ; je pose 2 et retiens 5. 8 fois o font o, et 5 de retenue font 5 ; je pose 5; 8 fois 4 font 28 ; je pose 8 et retiens 2. Enfin 8 fois 3 font 20, et 2 de retenue font 22 ; je pose 2 et avance 2. Le fvenûer produit partiel est donc 228528.

Quant aux autres produits partiels du multiplicande par les autres chiffres du multiplicateur , on prouverait., par des raisonnements analogues à ceux qui ont été faits (n° Si) pour le système décimal , que tout se réduit à multiplier successive^ ment le multiplicande par chacun de ces chiffres considérés comme exprimant des unités simples , et à écrire chacun des produits au-dessous du précédent , en les avançant au fur et à mesure d'un rang vers la gauche.

Additionnant enfin tous ces produits, on trouve pour résultat, 177608828.

4". Vérifions cette opération par la division ; il suffit , pour

cela, de diviser le produit ob- /? 00 o . tr 1:0

it 1 r I- /-« 177D00020 ) o«oo

tenu, par lun des facteurs, 5a68 L r^

par exemple. « ^

Pour obtenir le chiffre des unités les plus élevées du quotient, il faut prendre les cinq premiers

DESSYSTÈMES DE NUMÉRATION. l'jt

chiffres à gauclie du.dîvidende , et diviser 17760 par 5«68. Pour cela , on cherche en 1 7 combien de fois 5 ; il y est 3 fois pour ]3, et Von écrit 3 au quotient. Multipliant le diviseur par 3 , et retranchant le produit, du premier dividende partiel , on obtient pour reste if«o, qui, suivi du chiffre 8 , donne IM108 pour le second dividende partiel , sur le'quel on opère comme sur le précédent.

Divisant imio8 par 5fl£8, ou plutôt le par 5 , on a pour quotient 4 9 que Ton écrit à la droite du précédent , et pour reste de la nouvelle division partielle , 3«o.

Comme , le chiffre suivant 8 étant abaissé, le nouveau dividende partiel 3«co8 ne contient pas le diviseur, on met un b au quotient , et l'on abaisse le chiffre a du dividende ; ce qui donne B«o82 pour nouveau dividende partiel.

Opérant sur celui<*ci comme sur les précédents, on trouve pour quotient 7 , et pour reste 4*98.

Abaissant enfin le dernier chiffre du dividende, et divisant 4*968 par 5i£8 , on obtient « pour quotient et o pour reste.

Donc , 3407* est le quotient demandé.

Nous engageons les élèves à s'exercer sur d'autres exemples pris au hasard, et dans différents systèmes, particulièrement sur les deux dernières opérations, ces exercices étant très propres à leur donner l'habitude du calcul.

IM. La question du u° 129 , qui a pour objet de passer d'un système quelconque B à un autre système B', peut étfc résolue directement , c'est-à-dire sans que l'on soit oblige de passer d'abord du système B au système décimal , et ensuite de celui-ci au système B'. Il suffirait , pour cela , de ira duire la base B' dans le sjrsthme B , et tT appliquer la règle du n* 119 , en effectuant les opérations dans te sjrsthme B ; ou bien encore de traduire la base B dans le sjrsthme B' et d'appli-^ querVune des règles des n?* 180 e^ 181 , en effectuant les opé^ rations dans le sjrsthme B'.

^o\k% ne nous arrêterons pas davantage sur ces opérations qui n'offrent aucune difficulté.