SUR LES OPÉRATKINS ALGÉBRIQUES

-Ty.. a pour vraie valeur Y unité , on en tirera cette conséquence :..... a<> = 1 .

La notation a® mise quelquefois à la place de Tunité , offre l'avantage de conserver la trace d'une lettre qui , entrant d'abord dans le calcul , a dû disparaître par reffet des simpUfica lions.

Les autres cas de la division sont inutiles à considérer pour l'objet que nous nous proposons.

Telles sont les seules notions sur l'Algèbre dont nous aurons à faire usage dans le cinquième chapitre et dans les suivants.

114. Pour faire ressortir dès à présent les avantages que l'on peut retirer de l'emploi des lettres pour représenter les nombres, nous résoudrons les deux questions suivantes :

I^ Quel changemeni produil'On dans une fraction en ajoutant un même nombre à ses deux termes ? (Cette question a déjà été traitée n» 49. )

DeVignons par j la fraction proposée , et par m, le nombre

que Ton ajoute aux deux termes a et 6 de cette fraction , ce

qui dpnne la nouvelle fraction -j-

m Pour comparer ces deux fractions , réduisons-les au même

dénominateur ; il vient pour la première fraction, TTr-r — ^ »

et pour la seconde, 77 77 ; où bien, les calculs étant ef-

^ (^ -f- Tn)b

, .. ,.11 -.-V ab-^am ab'^bm

feclués d'après la règle du n° ilS , ^rzf^ «^ b^J^^

Or, les deux numérateurs ab-^-am et cdf-^^bm ont une partie commune aby et la partie bm du second numérateur est plus grande que la partie am du premier, puisque l'on a b^a. Donc aussi, la seconde fraction est plus grande que la première. Ainsi, l'on augmente la valeur d'une fraction en ajoutant un même nombre à ses deux termes,

La vérité de la proposition exige d'ailleurs , comme on le

l58 Al^PLICAtlOPrS

v^oît par le raisonnement précédait , cjue j soit une fraction

proprement dite, ou que Ton ait a < ^ ; si au contraire on avait a ^ 6 , la relation aurait lieu dans un ordre inverse , puisque alors on aurait ab -|- bm *^ad + am,

N. B."^ Ce moyen de démonstration , rigoureux et général tant que les nombres sont désignés par des lettres, cesserait de présenter ce caractère si Ton voulait l'appliquer à des nombres particuliers. Par exemple , que Ton ait la fraction

12 iS

— , et qu'on ajoute 3 unités à ses deux termes , il vient — • 17 ^ 20

Réduisant ces deux fractions au même dénominateur, on obtient, pour la première, ^^, et pour la seconde, ^7--

On voit bien ici que la seconde fraction est plus grande que la première ; mais rien ne prouve que ce qui a lieu dans cet exemple particulier aurait également lieu dans tout autre.

La démonstration exposée 11^ 49 est, d'après la nature de ses raisonnements , aussi générale que celle qui vient d'être donnée; noAis celle-ci, quoique moins élégante peut-être, a l'avantage d'être plus concise ; la voici réduite à ses moindres termes:

Soient r et -=-- , les deux fractions que l'on veut com-

parer.

Réduisons-les au même dénominateur; il vient ^ 7" ' . — ^^

, ^ 7^ £ — ; or, par hypothèse, on a a<^b^ d*oiiam^bm\

donc I ab^am <Cab + bm ; ainsi , la seconde fraction est plus grande que la première.'

a*. On demande le produit de la somme de deux nombres, multipliée par la différence de ces mêmes nombres?

Soient a et 6 les deux nombres proposés; leur somme sera exprimée par (û -J- 6) , et leur différence par (a — b).

Or, si Ton effectue la inuliiplication de a-f-^ par a-^6, d'après

DES RÈGLES PRÉCÉDEffTES. iSg

les règles du n** iiî, on a pour produit, a^ — ah + oh — ^% ou , omettant les deux termes — ab^ + ^^9 ^vî ^ détruisent, fl»— ^a; donc (a + ô) (fl — ^)=a"— ô*.

Ce qui prouve que la somme de deux nombres quelconques, multipliée par leur différence, donne toujours pour produit la différence de leurs carrés ou secondes puissances.

Exemple. — Soient les deux nombres ^5 et ta ; leur somme est 37, et leur différence i3 ; multipliant 87 par i3 , on a pour produit 4Si*

D'un autre côté, 25x^5 donne 628 ; 12 X 12 donne î44î

d*où... (25)» — (i2)*=48i.

Donc (25+ 12) (25— 12 )=r (25)'— ( 12)*.

Ces derniers raisonnements ne sont qu'une vérification de la propriété , effectuée sur deux nombres particuliers ; tandis que ceux qui précèdent forment une démonstration rigoureuse et générale, puisque les nombres y sont désignés par des lettres auxquelles on peut attribuer toutes les valeurs possibles.

Les questions précédentes suffisent pour mettre les corn-* mcnçants en état d'apprécier les avantages qui résultent de Remploi des lettres pour représenter les nombres. Par leur usage, non-seulement on rend les raisonnements plus généraux et souvent plus concis, mais encore on conserve la trace des opérations à e£fectuer sur les nombres qui entrent dans renoncé de la question , et qui ne peuvent ainsi se fondre les uns dans les autres comme lorsqu'on opère sur des nombres particuliers.

Ces notions étant établies , nous allons revenir sur nos pas, c'est-à-dire reprendre quelques-uns des objets traités dans la première partie, pour les approfondir davantage ; nous parviendrons ainsi à de nouvelles propriétés , et à des moyens de modifier ou de simplifier les procédés des diverses opérations de l'Aritlnnétique.

l6o THÉORIE GÉNÉRALE.

5 1*'. Théorie des différents systèmes de numération.

ii6. Nous avons vu (u^ tf) comment, à Taide de dix caractères ou diiffres , on parvient à représenter tous les nombres, en partant de ce principe de convention , que tout chiffre placé à la gauche d'un nutre, exprime des unités dix fois plus grandes que celles de cet antre chiffre. Nous nous proposons maintenant de faire voir qu'on peut également écrire tous les nombres avec plus ou moins de dix caractères, pourvu quM y en ait au moins deux, et que le zéro eu fasse partie.

On appelle, en général, base d'un système de numération, le nombre des chiffres qu'on emploie. Le système où l'on fait usage de deux chiffres ^ se nomme système binaire, celui où l'on en considère trois, système ternaire, etc.

Dans tout système de numération analogue au système décimal , on convient que tout chiffre placé à la gauche éCun autre exprime des unités autant de fois plus grandes, par rapport à celles de cet autre chiffre, quily a d unités dans i.a Base , c'est" à^dire dans le nombre des chiffres du système. Ainsi , dans le système binaire, les unités de chaque chiffre acquièrent des valeurs de deux eu deux fois plus grandes à mesure que l'on recule d'un , de deux , de trois .... rangs vers la gauche ; dans le système ternaire , les valeurs des unités de chaque chiffre sont de trois en trois fois plus grandes; et, en général, dans un système dont la base est B , les unités de chaque chiffre acquièrent des valeurs de B en B fois plus grandes , à mesure que l'on recule de droite à gauche.

Lorsqu'un nombre est écrit dans le système dont la base estB, le premier chiffre à droite exprime les unités du premier ordre, le chiffre immédiatement à gauche, les unités du second ordre , le chiffre à gauche de ces deux-là, les unités du troisième ordre, et ainsi de suite. Il faut B unités du premier ordre pour former l'unité du second ordre, B unités du second ordre pour former l'unité du troisième ordre , etc.

tt7. Ceci bien entendu , passons à la manière d'exprimer en

DES SYSTÈMES DE NUMÉRATION. ll)l

chiffres un nombre entier, quel que soit le système qu'on adopte. Pour fixer les idées, nous considérerons le système septénaire, ou le système dans lequel on emploie sept chiffres. Les mêmes raisonnements pourront s^appUquer ensuite à tout autre sys** tèiiie.

Les chiffres du système septénaire sont o , i , 2 , 3 ^ 4» ^i ^ > les six derniers exprimant les six premiers nombres.

Ajoutant l'unité à six , on forme le nombre sept, om Tunité du second ordre, qui, d'après le principe énoncé ci-dessus ^ doit s'écrire 10.

Mettant successivement chacun des chiffres du système à la première et à la deuxième place, on formera évidemment tous les nombres consécutifs, compris depuis sept, ou 10, jusqu'au nombre représenté par 66.

Ce nombre étant formé, si l'on ajoute une nouvelle unité, il en résultera six unités du second ordre , plus sept unités du premier , c'est-à-dire sept unités du second ordre, ou une seule uuité du troisième ordre, qui devra s'écrire ainsi: 100.

Mettant successivement à la première, à la seconde, et à la troisième place , les différents chiffres du système, on formera tous les nombres consécutifs compris depuis 100 jusqu'au nombre représenté par 666.

Raisonnant sur ce dernier nombre comme sur 66 , on parviendra d'abord à l'unité du 4*^' ordre qui s'écrira ainsi : ' 1000 ; puis on obtiendra successivement tous les nombres consécutifs compris depuis 1000 jusqu'au nombre représenté par 6666 ; et ainsi de suite à l'infini.

D'où l'on voit que tous les nombres entiers possibles sont susceptibles d'être écrits dans ce système.

Quel que soit le système adopté, les unités de différents oitlres sont respectivement représentées par i, 10, 100, iooo, loooo, comme dans le système décimal ; mais les valeurs relatives de ces unités sont essentiellement différentes suivant les systèmes. 118. N. j&.— Nous avons dit, n"* ii6, que le chiffre o était un caractère indispensable dans tout système analogue au système décimal, c'est-à-dire dans un système où la valeur relative d'uu

Arith, B. • H

102 THKORiE GÉNÉRALE

chiffre dépend du rang qu'il occupe à la gauche de plusieurs autres. A la rigueur, on pourrait s'en passer ; mais le système serait moins régulier, comme nous allons le voir*

Soit proposé, par exemple, d'établir le système leniaire, en adoptant les trois chiffres significatifs 1,2,3.

Les trois premiers nombres seraient d'abord exprimés par ces chiffres.

Pour représenter quatre, cinq et six, il suffirait d'écrire 1 1 » 12, i3.

Pour exprimer sept , huit , neuf, dix , onze , douze,

•n écrirait 21, 22, 23, 3t , 32, 33.

De mcuie m, 112, ii3, 121, 122, i23,

exprimeraient rreiJEe, quatorze, quinze, seize, dix-sept, dix-huit.

Il n'est pas nécessaire d'aller plus loin pour sentir les inconvénients de ce système. Son principal défaut consiste on ce que des unités d'un même ordre sont exprimées d'une manière différente. Ainsi , dans 1 3 et 23 , le chiffre 3 exprime une unité du second ordre , comme les chiffres 1 et 2 qui sont à sa gauche. Dans 123 , l'ensemble des chiffres 23 exprime neuf, ou l'unité du troisième ordre , ainsi que le chiffre 1 qui est à la gauche de ces deux-là.

En faisant usage du chiffre o, il suffit de déterminer les nombres d'unités de différents ordres qui entrent dans le nombre proposé , et d'écrire à la suite les uns des autres , de droite à gauche, les ciiiffrcs qui expriment ces nombres.

ti9. L'accord qui existe entre la nomenclature actuelle des nombres et la manière de les représenter en chiffres dans le système décimal, permet de les écrire facilement, et pour ainsi dire , sous la dictée en langage ordinaire , comme aussi de résoudre la question inverse qui consiste à énoncer en langage ordinaire un nombre quelconque représenté par un groupe de chiffres donné. Il en serait de même dans tout système de numération pour lequel on aurait établi une nomenclature spéciale. Mais si l'on proposait, par exemple^ dVcnre dans le système septénaire le nombre trois cent soixante- neuf rap'

DKS SYSTÈMES DE NUMÉBATION. |63

porté au système décimal, il serait difficile de reconuaitre à priori quels sont les cbiti^res pix>pres à exprimer les unités du

premier, du second, du troisième ordre septénaire t^u'il

l'enferme. Or, comme ce nombre, écrit en chiffires dans le système décimal, revient à 369, il s'ensuit que ia question proposée dépend de la suivante qui est beaucoup plus géné«* raie : XJn nombre étant énoncé en langage ordinaire, ou écrit dans le système décimal , traduire ce même nombre dans le système dont la base e^/ B. ,

Pour résoudre cette dernière question, observons que, B unités du premier ordre formant une unité du second, autant de fois le nombre proposé contiendra la base B , autant il renfermera d'unités du second ordre du système B ; c'est-à-dire que , si Ton divise ce nombre par B, le quotient exprimera des unités du second ordre ; et le reste, qui sera nécessairement moindre que B , exprimei^a les unités du premier ordre , du nombre écrit dans le système dont la base est B.

De même , puisque B unités du second ordre , dans le système B, forment une unité du troisième ordre dans ce mè«nc système, si l'on divise par B le quotient qui exprime des unités du second ordre, le nouveau quotient qu'on obtiendra, exprimera des unités du troisième ordre; et le reste, toujours moindre que B, représentera les unités du second ordre, du nombre écrit dans le système dont la base est B ; et ainsi de suite.

D'où l'on voit que, pour passer du système décimal au système dont la base est B, il faut : 1®. diviser le nombre projwsé par la base du nouveau système écrite dans le système décimal, ce qui donne un reste que l'on écrit à part, comme exprimant les unités du premier ordre dans le nouveau système ; ?.**. <//viser le quotient obtenu ^ par la même base, ce qui donne un second reste qu'on écrit à la gauche du premier, comme expri' mant les unités du second ordre ; 3°. diviser le second quotient par la même base , et écrire le troisième reste quon obtient ainsi , à la gauche des deux précédents , parce qu'il exprime les imités du troisième ordre / continuer cette série d'opéra^

t64 THÉORIE GÉNÉRALE

iiont jusqu'à ce qu^on soit parvenu à un quotient moindre ^ue la base du noui^eau système; ce dernier quotient exprime les unite's de Tordre le plus e'ievc, et 5*écrii alors à la gauche de tous les restes obtenus successivement.

Appliquons cette règle au nombre trois cent soixante^neuf ou 369 , qu'il s'agit de traduire dans le système septénaire.

369 I 7 restes

Divisant 369 par 7, on a pour quotient 52, et pour reste 5 que l'on écrit à part; ce sont les unités du premier ordre dans le nouveau système.

Divisant 5a par 7, on trouve pour quotient 7, et pour reste 3, qui exprime les unités du second ordre , et qu'on dciît à la gauche du chiffre 5.

Divisant 7 par 7, on a pour quotient i, et o pour reste, ce qui indique qu'il n*y a pas d'unités du troisième ordre; et l'on dcrit un o pour en tenir la place.

Enfin, comme le quotient i est plus petit que 7, il exprime les unités du quatrième ordre ; et le nombre traduit dans le système septénaire revient à (io35).

On trouverait de même, pour le nombre 5347 ^^^^^'^ ^^^ le système de huit chi£fres j o, i , 2 ,3,/l ,5,6, *] , l'ensemble des nouveaux chiflPres (i2343).

5347 I ^ restes

83 4 (ia343)

Remarque. — Il peut arriver que la base du nouveau système soit plus grande que dix, base du système déciinaL

DES SYSTEMES DE NUMÉRATION. l65

Dans ce cas, il y a une observation importante à faire pour l'application de la règle»

Soit, par exemple, le nombre 84^3 à traduire dans lesys*tème duodécimal, eu dans le système de douze chiffres.

En couyenant d'employer les deux lettres grecques, », C, pour désigner les nombres dix et onze, les chiffres de ce sys^ tème seront 0^1,2, 3, 4» 5, 6, 7, 8, g, «, C,

8423 I 12 restes

701 onze ouf

4 dix ou CL

La base douze étant exprimée par 1 2 dans le système décimal , on divise 84^3 par 12, ce qui donne le quotient 701, et le reste 1 1 qui exprime les unités du premier ordre dans le nouveau système. Or, 1 1 écrit dans le système décimal signifie onze, et par conséquent doit s'écrire C dans le système duodécimal. On écrit donc à part, non pas 11, mais C, comme désignant le chiffre des unités du premier ordre.

Pareillement, à la troisième division , on obtient pour reste 10 ou dix qui , dans le nouveau système, s'écrit et ; on pose donc « à la gauche des deux chiffres déjà trouvés. On obtient ainsi ( ^aSC) pour le nombre proposé , traduit dans le système duodécimal.

mo. Réciproquement, Un nombre étant écrit dans un système quelconque dont la base est B , on peut se proposer de l'éiu>ncer en langage ordinaire, ou ce qui revient au même, de le traduire dans le système décimal.

Soit, en général.^, hgfdcba un nombre écrit dans le système de B chiffres; a^b^c^dy/^,,,, désignant les unités du i*', du 2', du 3%... ordre.

Il résulte du principe fondamental établi n° ii6, que le chiffre b exprime des unités B fois plus grandes que s'il était seul; donc sa valeur relative est égale au produit de b par B

l56 < THÉORIE GÉNÉRALE

et peut ( o? i08 ) se représenter par Z^ X B , ou simplement par klL De inclue le chiffre c exprime des unités B fois plusgi-andes que celles du chiffre If ; ainsi^ sa valeur relative est égale au produit de c par B X B ou B% et peut être représenté par cB\ On reconnaîtrait pareillement que ^^, /^^fff^^f AB^,.... sont les valeurs relatives de^ autres chiffres.

Donc enfin , le nombre proposé a pour expression

a + ^B + cB* +^B3+/B* + ^B^ + AB^....

£n donnant à la base B et aux chiffres a, bfC,d, /,... des valeurs particulières , on effectuera , dans le système décimal, toutes les opérations arithmétiques indiquées par cette expression; et Ton obtiendra le nombre correspondant à ces données particulières , traduit dans le système décimal.

[ L^cxpression ci-dessus se nomme , en Algèbre^ une formule, parce qu^elIc renferme sous une forme concise, le système dVpe'rationsarithmciiques h efièctncr sur différents nombres pour obtenir (a réponse h une question ge'nerale, ec parce qu'on peut en déduire tontes les réponses aux questions (k m<îme espèce, dont les énonces diffèrent seulement par les valeurs numéiiquci des données.]

Traduite en langage ordinaire , cette formule donne lieu à la règle suivante : Formez (Tabord les disperses puissances de la base B écrite dans le système décimal; multipliez ensuite

tous les chijffres ^y b ^ c^ d, f. ^^n

traduits également dans le sjr^tëme déeimal, respectiivment par les nombres . i , B , B* , B^ , B* , . . • ; ajoutez ensuite tous ces produits partiels, et mus aurez le nombre demandé.

Soit, par exemple, le nombre (574^6) écrit dans le système de huit chiffres , à traduire dans le système décimal.

Après avoir reconnu par des multiplications successives, que les puissances de 8 jusqu'à la 4' inclusivement, sont 8, 64 f 5i2, 4*^9^9 ^^ peut disposer ainsi les calculs:

DES SYSTÈMES D£^ FfUttÉAATlON. 1G7

5". . . , 4og6 X 5 -= 20480

Donc (57436) = 24350

Vérification d'après la règle établie n® 119:

121. On peut donner de la question inverse une solution plus simple et surtout plus en rapport avec celle de la question directe.

Reprenons le même nombre (57436) qu'il s'agit de faire passer du système de huit chiffres au système décimal.

D'après le principe fondamental du n*^ 116^ le premier chiffre à gauche qui est 5 , représente des unités 8 fois plus grandes que celles du second chiffre 7; donc , en multipliant 5 par 8, et ajoutant 7 au produit, ce qui donne 47 (ou quarante^ sepi)j on aura le nombre total des unités du 4* ordre (système de huit chiffres) que renferme le nombre proposé. Parla même raison, si Ton multiplie 47 P^f 8, et qu'on ajoute 4 au produit, ce qui donne 38o ( ou trois cent quatre-vingts ) , on aura le nombre total des unités du 3^ ordre (système de huit chiffres ) que renferme le nombre proposé.

Pareillement , si l'on multiplie 38o par 8 , et qu'on ajoute 3 au produit , ce qui donne 3o43 , on aura le nombre total d'unités du second ordre que renferme le nombre proposé. Multipliant enfm 3o43 par 8 , et ajoutant 6 au produit, on obtient 24350 pour le nombre total d'unités du premier ordre (ex-

l68 THÉORIE GÉNÉHALE

primé dans le système décimal) que renferme le noinbi'c>proposé.

Voici comment ou peut disposer le calcul :

Règle générale : Multipliez le premier chijfre à gauche, du nombre préposé , par la base B écrite dans le sjsthmc dé" cimaly et ajoutez au produit le second chiffre (eu partant de la gauche) ; multipliez la somme ainsi obtenue par la base B, et ajoutez au produit le 3* chiffre; et ainsi de suite.

Cette règle est précisément l'inverse de celle qui a été établie n** il9 , ainsi qu'on peut le reconnaître en comparant le tableau des calculs qui viennent d'être exécutés avec celui qui termine le numéro précédent.

iSd. Aux deux questions des n**' 119 et 120, se rattache une troisième question plus générale qui a pour but de passer d'un sjrsteme dont la base est B au système dont la base est 6'.

La règle à suivre dans ce cas , consiste à faire passer le nombre proposé du système B au système décimal (n® i^O), puis de celui-ci au système B' (n° 119).

Proposons-nous, pour exemple, de faire passer le nombre ( 23io4) du système quinaire (ou de cinq chiffres) au système duodécimal.

Voici le tableau des cs^lculs :

1654 I 12 137.... dix ou « II.... 5 (C5»)

o . • . . onze ou C.

Poi^c ^ 23 1 p4 y sy st. cinq) = ( ^5«, sysl. douze).