DES SYSTÈMES DE NUMÉUATIOIV
el )*anité, est appelé nombre premier absolu , on simplement nombre premier.
Deux nombres entiers sont â\ts premiers entre eux lorsqu*ils n'onl d'autre diviseur commun que Tunité (qui est diviseur de tout nombre).
Il résulte de là qu'un nombre /;rew/er qui ne divise pas exactement un autre nombre entier, est premier avec celui-ci, puisque alors ils ne peuvent avoir de diviseur commun que l'uni té.
Ces définitions ont déjà été établies au numéro 1$1.
127. PftSMiER PRINCIPE. — Tout nombre entier P qui divise exactement l'un des /acteurs du produit A XB, divise néces^ sairement le produit j ou, ce qui revient au même, tout nombre entier qui en divise exactement un autre , divise né-cessairement les multiples de cet autre nombre. ( Voyez n° Ki. )
En effet, soit Q le quotient supposé exact, de la division de A par P;onaA=:PxQ, d'où , multipliant les deux membres de cette égalité par le même nombre B,
A.XB=PXQXB=PXQB (n»26);
on voit donc que P divise exactement le produit AB. ' 188. Second pringipe» — Tout nombre entier P qui divise exactement un produit AB, e< qui est premier avec Vun des deux facteurs, divise nécessairement P autre Jùcteitr,
Supposons , par exemple , que P, diviseur exact du produit AB , soit premier avec A ; {e dis que P doit diviser B.
En effet , puisque A et P sont deux nombres /;rem<er5 entre eux, il s'ensuit que, si on leur appliquait le procédé du commun diviseur (n^ttfi), on parviendrait, après un certain nombre d'opérations , à un dernier reste égal à i .
Appelons R 9 R%R^, R*. . . . i , les restes successifs de cette série d'opérations ( R', R", R*, . . . s'énoncent Rp««% R««»«de^
Gela posé , si , au lieu d'opérer sur A et P , on appliquait le procédé aux produits AxB, PxB, il est facile de voir que,
1^4 ' PftlIVCIPES
dans cette nouvelle série d'ope'rations , on obtiendrait les mêmes quotients que dans la première; mais les restes seraient respectivement R X B , R'x B , R^ X B . . . , i X B. Par conséquent , comme le plus grand conmiun diviseur entre A et P est I, celui des produits ÀxB et PxB, est nécessairement iXB, ouB.
D*un autre côté , il suit du troisième principe établi n® Hi , que iout nombre gui en divise deux auires, divise leur plus grand commun diviseur, puisqu'en vertu de ce principe » il doit diviser le reste de chacune des divisions auxquelles donne lieu le procédé du n? ISS, Or P divise A X B par hypothèse ; il divise aussi évidemment P X B ; donc il divise i X B ou B ; ce qu^il fallait démontrer.
N. B, — Il est nécessaire deçupposer que P est premier avec l'un des deux facteurs; car, par exemple, 56 X i5 ou 84o est divisible par ^o et donne pour quotient 2 1 , quoique aucun des nombres 56 et 1 5 ne soit divisible par 4o. Cela tient à ce qae, 40 étant égal à 8 X 5 , le premier facteur 8 se trouve dans 56 ou 7 X 8, et le second facteur 5 se trouve dans 1 5 ou 5 X 3 ; donc 56 X i5 est égal à7X8x5x3,ou 7X3x8x5, ou enfin, à 21X 4^-
189. Troisiàm E PA|NCIP£. — - Tout nombre premier absolu?, fui divise exactement un produit A X B, doit diviser Vun des deux facteurs ,
£n effet , supposons que P ne divise pas A , il est nécessairement jE?/i9mier avec A (n* 186); donc il doit diviser B(u'' 1118).
De là résultent les conséquences suivantes :
i30. 1®. Tout nombre premier absolu qui divise A^, et en général une puissance quelconque A"* de A , doit diviser A.
£q effet , A' est la même chose que AXA. Or, tout nombre premier qui divise ce produit, doit (n° iSIO) diviser Tun des facteurs. De même A^ étant égal à A* X A , tout nombre premier qui divise A^ doit diviser A ou A*j et pour diviser ce dernier facteur, il doit diviser A ; ainsi de suite.
131. a®. Tout nombre F ^premier avec chacun des deux facteurs d'un produit A X B , ej/ aussi premier avec ce produit.
