SUK LA DIVISIBILITÉ DES N0B1BRE5. I^^S

En eflel, un nombre premier absolu qui diviserait AB, devrait diviser A ou B; ainsi P et A , ou bien P et B, ne seraient pas premiers entre eux; ce qui serait contre la 8up« position.

i5S. 3*^. Lorsqu'un nombre N a été formé par la multiplica» tien de pU^fieurs autres, A , B, C, D , . . . , ce nombre ne peut avoir d^ autres foicteurs prfuiees que ceux qui entrent déjà JoiM A,B,C,D... .

En effet , tout nombre premier qui divise le produit ABGD et ne divise pas D, doit diviser ABC (u"" iS9) ; de même , tout nombre premier qui divise ABC et ne divise pas C , doit diviser AB , et par conséquent A ouB.

Ainsi , en d'autres termes, un nombre éiani formé parla multiplication de plusieurs autres, an ne peut l'obtenir de nou^ veau en multipliant des nombres qui renformeraieat des foc» teurs premiers différents de ceux qui entrent dans les nombres déjà multipliés,

135. QuiTRiiME ET DERiriCR PRINCIPE. — l^out nombre N , ^Zvisible par deux ou plusieurs nombres, a, bj c, . . . , premiers entre eux, est divisible par Surproduit.

En effet , puisque a divise II , on SLJizssaqyq étant un nombre entier ; mais par bypothèse, b divise-aussi N ; donc b divise aq ; et comme ^^ b^ sont supposés premiers entre eux, il faut (q** 128) que b divise exactement q^ et Ton a ^ = bq'; d'où l'on déduit N= a X bq' :=zaby<, q , Ainsi N est divisible par ab.

Pareillement, c divisapt 19, doit diviserai X q ; d'ailleurs, c est premier avec a, ^ , et par conséquent avec ab ( n^ 131). Donc, c doit diviser q^ et l'on a ^ zz^cq*' \ d'où l'on tire N =s û^ X cq''zszabc^ q" ; ce qui prouve que N est divisible par abc ; et ainsi de suite.

154. Conséquence. -— Si a, 6, c. . . , étant des nombres /;remiers entre eux, chacun entre comme facteur dans N un certain nombre de fois exprimé par nyp^q, , . <, le nombre N est divisible exactement par a"bfci, . . , et par tous les nombres c|a'on peut obtenir en multipliant deux à deux , trois à trois , etc. . . , les diverses puissances de a ,^, c. ,. , comprises de»

I<}6 PRIffCIPCS SDK LA DIVISIBILITÉ DES NOMBRES.

puis la première jusqu'ù celle dont le degré est marqué par n pour a , par p pour b , par q pour c. . . .

En effet , a,ftyC... , étant des nombres premiers entre e^x, il en est de même de a* , &', c^... ; donc (n® 135) leurs produits deux à deux, trois à trois... , doivent être aussi des diviseurs exacts de N. #

Ce principe sert de base à la recherche des dMseurs d^un . nombre, tant simples que composés, question dont nous nous occuperons bientôt.

15». Caractères de dwisibilité dun nombre par d^ autres. Il existe des signes auxquels on peut souvent reconnaître qu'un nombre est ou n'est pas divisible par d'autres nombres; ce qui est utile dans la pratique.

Les raisonnements dans lesquels nous serons entraînés pour établir ces caractères , reposent sur le principe suivant :

Soit un nombre A décomposé en deux parties B et C , en sorte qu'on ait A = B+C. ... (i).

i®. Si un quatrième nombre D diifise exactement les deux parties B ef C, il divise aussi leur somme A. (Voyez n* 5i.)

2**. Si le nombre D divise l'une des parties B, sans diviser

r autre C, il ne divise pas non plus A-, et le reste de la division

de A par D est égal à celui que donne la division de C par D.

La première partie de ce principe est facile à démontrer. En

effet , divisons par D les deux membres do l'égalité (f ] ; il vient

Or les deux termes du second membre sont des nombres entiers, puisque B et C sont, par hypothèse, divisibles par D ; donc le premier membre doit aussi être un nombre entier ; autrement on aurait un nombre fractionnaire égal à nu nombre entier, ce qui serait absurde. Ainsi A est divisible par D.

Quant à la seconde partie , il est clair, d'après l'égalité (2), que si, B étant divisible par D , G ne l'était pas, A ne le serait pas non plus; car autrement, il en résulterait encore uii nombre entier égal à un nombre fractionnaire. Mais il s'ngit actuelle-

CARACTERES DE DIVISIBILITE. l']']

luenlde prouver que le reste de la division de A par D est égal au reste de la division de C par D^

Pour cela, observons que, B étant divisible par D, on a Br=:])Q (Q est uu nombre entier) ; C n'étant pas divisible par D,ona C=DQ'+R.

DoncB+CouA = DQ + DQ'H.R=D(Q + Q')+R (n*>il2).

D'où Ton voit que A divisé par D, donne pour quotient Q+QS 6( pour reste R, qui n'est d'ailleurs autre chose qu« le veste de la division de G par D ; ce qu'il fallait démontrer {*),

Passons actuellement au développement des difiPércnts caractères de divisibilité.

136. Propriétés des nombres 2 et 5, 4 <^^ ^^ 9 8 c^ 125.... 1 ®. 7 ^out nombre terminé par Pun des chijffres , o , 2 , 4 > G , 8 , est divisible par 2.

En effet , ce nombre peut être décomposé en deux parties , savoir : la partie à gauche des unités simples , considérée avec sa valeur relative , et le chiffre des unités simples. ( Far exemple, 385 76 revient à38570-|-6*) Or la première partie étant terminée par uuo, est multiple de lo; 10 est d'ailleurs divisible par 2 , puisque l'on a 10 =: 2 X 5 ; donc aussi cette première partie est divisible par 2. Mais un quelconque des chiffres o , 2, 4) 6, 8 , est divisible par 2 ; ainsi ( n^ iSU ) lu nombre total est divisible par 2.

Si le nombre est terminé par l'un des chiffres 1,3,5,7,9, il n'est pas divisible par 2 , puisque Tune de ses (xirtics est divisible, et que l'autre ne l'est pas.

N, B, — Tout nombre divisible par 2 , ou terminé par l'un des chiffres o, 2, 4) 6, 8, est dit un nombre pair. Les autres sont des nombres' impairs.

Tous les nombres pairs sont compris dans la formule 2/1 , n étant un nombre entier quelconque , et les nombre^ impairs dans la formule (2n-|- 1).

(^) Tontes les propositions établies depnis le n** 127 jn&qu'an no 15^ iiiclosivemeni, soni vraies Hans tous les systèmes Ae numération.

Ariih, B, 12

l 'jS CARACTÈRES

2®. Tout nombre' Icnniné par un o ou un 5 est dwisibk par S. — Même déinoQStration que pour le diviseur a. ' Si le dernier cbiffre est différent de o ou de 5 , le nombre n'esc pas divisible par 5 ; elle reste de la division de ce nombre par 5, est égal au reste de la division du dernier chiffre par 5 (n^i55); c'est-à-dire que le reste est le cliiffre lui-même si celui-ci est moindre que 5 ; et dans le cas contraire , le reste est l'excès de ce chiffre sur 5.

Ainsi i3a^ divisé par 5 donne pour reste 2 , qui est égal au reste de la division de 7 par 5^ ou à l'excès de 7 sur 5.

De même, 34789 et 71436 donnent respectivement pour restes l\e\.i.

y*. Tout nombre est ou n'est pas divisible par 4 ou par 25, suivant que le nombre exprimé par les deux derniers chijfres est ou n'est pas divisible par 4 ou par 25.

£n effet, ce nombre peut se décomposer en deux parties : la partie à gauche des dixaines, considérée avec sa valeur relative, et la collection des dixaines et unités. ( Par exemple, 354^ et 2^7875 reviennent à 35oo H- 48 et 27800 -f- 75.) Or la première partie étant terminée par deux zéros , est multiple de 100 ; 100 ^st divisible par 4 ou par 26, puisque 100 =: 25x 4' donc cette première partie est aussi divisible par 4 ou par 25; mais la seconde partie est elle-même , par hypothèse , divisible par 4 ou par 25 ; donc le nombre total est divisible par 4 ^^ par 25.

Ainsi 3548 est divisible par 4 9 parce que 48 est un multiple de 4 ; 27875 est divisible par 25 , parce que 75 est un multiple de 25.

. Mais 13758 n'est pas divisible par 4 et donne le reste 2, c'est-à-dire le même que ce^ui de la division de 58 par 4*

aSôSg n'est pas divisible par 25 et donne pour reste 9, ou le reste de la division de 59 par 25.

N. B, — Pour le nombre 25, il n'y a évidemment que les nombres terminés par 00, 25, 5o, ou 75, qui soient divisibles par 25.

4*. Tout nombre est ou n est pas divisible par 8 ou ptir 12^?

DE UIVISIUILITÉ. l-yt^

suwant (jue le fiombre exprimé par les trois derniars chiffras est ou nesi pas divisible par 8 ou par 1 25.

Nous ne développeroos pas la démonstraiioD , parce qu'elle est analogue aux précédentes, il nous suffit d'observer qu'elle est fondée suv ce que looo = 125x8. D'ailleurs, cette propriété n'est guère en usage. .

157. Propriétés des nombres 3 et g. — Tout nombre dont la somme des chiffres , considérés at^ec leur valeur absolue , est divisible par 3 on par 9 , est lui-même divisible par 3 ou par 9.

Remarquons d'abord que, si d'une puissance quelconque de 10, ou de l'unité suivie d'un nombre quelconque de zéros , on retranche i , le résultat est divisible par 9; car ce résultat se compose d'autant de chiffres 9 écrits les uns à la suite des autres , qu'il y avait de ze'ros. Or, la valeur absolue de chaque chiffre 9 est divisible , soit par 3 , soit par 9 ; donc il en e»t de même de sa valeur relative , qui est un multiple de la valeur absolue. Ainsi , le résultat est aussi divisible par 3 ou par 9.

Cela posé, pour généraliser davantage nos raisonnements, nous appellerons N le nombre proposé , et nous désignerons par a, b^ Cy df„» les chiffres de ses unités, dixaines, centaines, nulle j.. .\ en sorte que l'on aura N es . . . gfâcbay ou plutôt , eu vertu du principe fondamental de la numération décimale,

N =: a -f- 1 o ^ -f- ' o"* ^ + ' o^ ^ + ' o^ <^ +••• Or, cette égalité peut être mise sous la forme

jj^|+(io — i)^+(io»— i)c+(io'-iy+(io^^i)/+... I+/2 +^ -\ c +d -irf -h...

[Par exemple , 10^.^= io\ dt— ^ + ûf= (lo^-r^ 1)^+.^.] Or, d'après ce qui vient d'être dit, lor-i , 10'— 1 ,10^ — i..., et en général, 10* — 1, étant divisibles par 3 ou par 9, la première ligne horizontale s^ compose d'une suite de nombres multiples de 3 ou de 9; ainsi , cette première partie du nombre N est elle-même divisible par 3 ou par 9. Donc , si la se-

condc partie , qui n'esl autre chose que la somme des chiffres du nombre propesé, considérés avec leur valeur absolue, si cette seconde partie , cUs-je , est divisible par 3 ou par 9 , le nomJbre total est lui-même divisible par 3 ou par 9.— C.Q.F.D.

158. Pour obtenir le reste de la division d'un nombre quelconque f par 9 ou par 3 , il suffit Refaire la somme des chiffres considérés avec leur valeur absolue, et de diviser cette somme pargou par 3. Si cette division ue donne pas de reste , le nombre, total est divbible par 9 ou par 3 ; mais si Ton obtient un reste, il est le même que celui qu'on obtiendrait en divisant le nombre total par 9 ou par 3.

C'est une conséquence du principe établi u® 155.

IM. Propriété do nombre 11. — Tout nombre est divisible par 1 1 lorsque la différence entre la somme des chiffres de rang impair, à partir de la droite, et la somme des chiffres de rang pair, est o ou un multiple de ti.

Avant de démontrer cette propriété , il est nécessaire de remarquer

i\ Que toute puissance dun degré pair, de to^ diminuée d'une unité, donne un résultat divisible par 1 1 .

En effet, ce résultat est nécessairement composé d'une suite de chiffres 9 en nombre pair, écrits à la suite les uns des autres ; or, chaque tranche de deux chiffres, considérée seule, forme 99 ou 9X11, et est par conséquent divisible par 1 1 ; donc la valeur relative de chaque tranche, qui est un multiple de la valeur absolue , est elle-même divisible par 1 1 . Donc , eu gé^ néral, lo"— i est divisible par 11 (2/1 exprimant, comme nous l'avons déjà dit , un nombre pair).

a**. Qiie toute puissance dun degré impair, de 10^ augmentée d'une unité, donne un résultat divisible par 11.

En effet, une puissance d'un degré impair quelconque de 10, peut être exprimée par lo»"**"' (n*» 136). Or, on a

io**+' = 10" X 10 Çvqyez n« 112) ; ou bien encore ,

ail't'i ... 1 rkia

= io'»x io — 10 + io = (io*" — I ) 10+ 10;

DE DIVISIBILITÉ. ' l8l

ajoutant i aux deux membres , on en conclut

ÏO»»"**»-f. I=:(|0'" — l) IO+ II.

Mais lo'* — I est divisible par 1 1 , d'après la première remarque; 1 1 est d'ailleurs divisible par lui-même ; donc lo'*"*"*-!-' est aussi divisible par 1 1 .

Cela posé, soit "Nzzzhgfdcba le nombre proposé. On a, d'après le principe fondamental de la numération décimale ,

N=a+ ioô + io*c-f- lo^d-^ lo^f-j- lo*^ +•••, égalité qu'on peut mettre sous la forme

N = ! +(ïo + 0*+(io*— i)c+(io'+i)rf+(io4— 1)/+... +a — b +c — d +f — ...

Or, d'après les deux remarques précédentes , la première li— 'gne se compose de nombres essentiellement divisibles par 1 1 , et forme par conséquent une première partie qui est ellemême divisible par ii. Donc si la seconde partie, qui n'est autre chose que la différence entre la somme a '{-€-{' J'-^-h-i-,.. des chiffres de rang impair, et la somme ^ -f-rf + g^-f-... £/c* chiffres de rang pair, est divisible par ii, comme on l'a supposé, le nombre total N est aussi divisible par 1 1. — C, Q. F. D.

140. Lorsque la différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair, n'est pas o ou un multiple de 1 1 , le nombre total n'est pas divisible par 1 1 , puisque l'une de ses parties est divisible et que l'autre ne l'est pas. Mais alors il y a deux cas à considérer relativement à la manière d'obtenu* le reste de la division :

1**. Si la somme des chiffres de rang impair est plus grande que la somme des chiffres de rang pair, la différence devra être ajoutée à la première ligne horizontale de la valeur de N. Désignant donc cette première ligne par 6, et la difféi*éncea ajouter par C , on aura N = B-4"C; et si C n'est pas divisible par 1 1 , /e reste de la dis^ision de "^par 1 1 est celui qu'on oùtien» drait en dis^isant Q par 1 1 (n° iS5).

a*. Si, au contraire , la somme des chiffres de rang pair est plus grande que celle des chiffres de rang impair, la diffc-

t82 PREUVES PAR 9 ET PAR I I

rciice devra être soustraite de la preDiière ligne , et Ton aaia N=Bt— G; G désiguani toujours la valeur numérique de la différence.

Or, B étaut multiple de 1 1, et G renfermant lui-nicme, en (rénëral, un certain multiple de 1 1 plus un reste R moindre que 1 1 , il s'ensuit que N ou B — G peut être mis sous la forme

N = Il X w — R,

ou bien N=sii(m — i)-|-ii — R.

D'où Ton voit que, dans ce cas, le reste de la division de ^ par 1 1 est égalait résultat qiCon obtient en retranchant R ^e 1 1, ou , en termes abre'gés , au complément de^ à 1 1 .

Soit, pour fixer les idées, le nombre 47356708. En faisant la somme des chiffres de rang impair, à partir de la droite , ou trouve 27 ; faisant de même la somme des chiffres de rang pair, on obtient i3. Or, la première somme est plus grande que la seconde. Donc, si l'on prend la diffiérence , ce qui donne 14 ) le reste 3 , de cette différence divisée par 11, sera égal à celui de la division du nombre total; ce qu'on peut vérifier aisément, en effectuant cet^e dernière division comme à l'ordinaire.

Mais si l'on avait ie noinbœ 37o546345, puisque la somme des chiflres de rang impair est i5, et que celle des chiffres de rang pair est 22 ^ i5 , il s'ensuit que , si l'on prend la différence entre ces deux sommes, ce qui donne 7, le reste de la division du nombre total par 11, n'est pas 7, mais bien m — 7i ou 4 9 comme on peut s'en assurer.

i4i. Preuves par 9 et par 11 de la multiplication et de la division, — Nous ne pouvons passer sous silence un moyeu simple et très-commode de vérifier la multiplication et la division des nombres entiers. En voici l'énoncé :

Faites successivement la somme des chiffres du mulupHcande et la somme des chiffres du ^multiplicateur, enajfanl soin doter, au fur et à mesure , tous les 9 que ces deux sommes renjermenlj vous obtenez ainsi deux rcsl(\^ qui (n^ 158) ne

DE LA MULTIPLICATION ET DE LA DIVISION. l83

sont autre chose que les restes de la division des deux facteurs par 9.

Multipliez ces deux restes l'un par Vautre , et cherchez de la même manière le reste de la division de leur produit par 9.

Enfin , faites la somme des chiffres du produit obtenu , en étant tous les g qui se trouvent dans cette somme; vous obtenez un nouveau reste qui doit être égal au précédent pour que l'ope'ration soit exacte.

Soit , par exemple , à multiplier l'un 5 86 8 I 2

par l'autre les deux nombres 5786 et , ^ — rz

. 47^ 1 I ^ 47^ ; la multiplication étant effectuée

d'après le procédé connu, on fait la 209^0

somme des chiffres du multiplicande, en 4^^®^

ôtant les 9 au fur et à mesure; ainsi l'on ^'^'44

dit y en commençant par la gauche : 274835o

5 et 7 font 12 ; de 12 ôtez 9, il reste 3; 3 et 8 font 11. de il

ôtez 9, il reste 2 ; enfin , 2 et 6 font 8 ; c'est le reste de la divi>

sion du multiplicande par 9, et on l'écrit à part.

On opère de la même manière sur le multiplicateur; ce qui donne pour reste 7, que l'on écrit au-dessous de 8, comme on le voit ci-dessus.

On multiplie 8 p^r 7 ; il vient 56 et l'on dit : 5 et 6 font 1 1 ; ôtez 9, il reste 2 qu'on place à la droite de 8. Enfui, l'on opère sur le produit total comme sur les deux facteurs ; ce qui donne le nouveau reste 2 qui doit être égal au précédent pour que l'opération soit ex acte .

Pour rendre raison de la preuve par 9 d'dune manière générale, désignons par A et B les deux facteurs proposés, par Q, Q', R et R', les quotients et les restes de la division du multiplicande et du multiplicateur par 9 ; on a les égalités suivantes :

A = 9XQ + R,

B = 9XQ' + R' Multipliant membre à membre ces deuxt)galités, on ohlicnl

(a'^iia).., AB=9\QQ' + 9. Ql\ + 9. QU'-f-RlV.

l8j PREUVES l»AR 9 ET PAR II.

Or les trois premiers termes du second membre de celte nouvelle égalité sont e'vîdeuiment des multiples de g; donc (ii*> i5tt) le reste de la division du produit AB par 9, doit être égal à celui que donne le produit RR' divisé par 9 ; ce qu'il fallait démontrer.

Sî l'un des deux facteurs de la multiplication est divisible par 9, le produit doit Tètre également ; alors R ou R' est nul. 11 en est de même si le produit RR' est multiple de 9.

Quant à la preuve de la division , il peut arriver deux cas : ou y en effectuant la division d'après le procédé connu , Ton n'obtient pas de reste , ou bien l'on en obtient un.

1^ — S'il n'y a pas de reste, le dividende étant alors le produit exact du diviseur par le quotient obtenu, on peut appliquer la règle précédente en regardant le diviseur et le quotient comme les deux facteurs d'une multiplication , et le dividende comme le produit.

2^ -— Si l'on obtient un reste , comme, en appelant N le dividende total , D le diviseur, Q le quotient , et R le reste, on a l'égaljié

N = DQ + R.

il s'ensuit que le reste de la division de N par 9 doit être égal J^ la somme du reste de la division de DQ par 9, et du reste de la division de R par 9 (somme qu'il faut toutefois diminuer de 9 si elle est plus grande que ce dernier nombre}.

N* B. — Toutes les fois qu'on fait usage de la preuve par 9, et que le reste trouvé au produit total, n'estpas égal au 3' reste, on peut conclure que la multiplication n'a pas été faite exactement; mais si le reste du produit est ^;al au 3*, il est présumable que l'opération est justet cependant, on ne saurait l'affirmer, pomr deux raisons principales: la première , parce qu'où a pu écriiv, M>it dans les produits partiels, soit dans le produit total , des zéros pour des 9 , et d'après la nature de la preuve , on ne pourrait s'apercevoir de l'erreur ; la seconde, parce que deux chiffres, soit des pi^uits partiels, soit du )>roduît total , {Peuvent être , Tun trop fort , l'autre trop faible

AUTRES CARACTÈRES D^ DIVISIBILITÉ. l85

du même nombre d unités; ce qui ferait compensation dans raddition des chiffres du produit; ainsi encore l'on ne s'aper* cevrait pas de Terreur.

Cette preuve , quoique très-coinuiode dans la pratique, n'est donc pas rigoureuse ; et l'on ne doit la regarder, lorsqu'elle réussit, que comme une demi'preuye , que l'on emploie seulement lorsqu'on est presse' par le temps; mais quand elle ne réussit pas , on est toujours sûr que l'opération est fausse.

La preuve par 1 1 , qui ne diffère de la preuve par 9 que dans la manière d'obtenir le reste de la division dtnn nombres par 1 1 {vojrez n® i40), est préférable , quoique étant elle-même sujette à quelques erreurs ; mais ces erreurs doivent se présenter beaucoup plus rarement.

Du reste , les preuves dont nous venons de parler sont susceptibles d'être appliquées également à la multiplication et à la division des fractions décimales, puisque ces opérations s'effectuent à la manière de celles des nombres entiers.

142. Il existe également des caractères auxquels on peut reconnaître qu'un nombre est divisible par les nombres /remiers 7, i3, i7«.«; mais les règles qu'il faut suivre sont, dans la pratique , beaucoup plus longues que l'opération qui consiste à essayer directement la division du nombre par 7, 1 3. . . Ces questions , de pure curiosité , exigent d'ailleurs d'autres notions algébriques que celles dont nous avons fait usage jusqu'à présent.

Nous engageons seulement les élèves à s'exercer sur la question suivante : Quels sont, dans un système de numération quelconque dont la base est B, les deux nombres qui jouissent de propriétés analogues à celles de g et de 11 (onse) dans le système décimal; et démontrer ces propriétés? On y parviendra facilement en se rappelant que , dans tout système de numération , une puissance quelconque de la base est exprimée par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y a d'unités dans le de|!;ré de la puissance, c'est-à-dire par 10", n étant ce degré.