DES RÉDUITES CONSÉCUTIVES

car, en désignant b + - par ù', on aura

expression qui ne difiere de — ^ qu'en ce que ^' ou A + -

remplace &.

Faisons donc cette substitution ; il vient pour la troisième

afb + ^'S+i aù + ^+ i

réduite, a -j , ou — ^^ — , ou ,

ce c

ou bien, réduisant les entiers en fraction, et multipliant haut

et bas par c, î^ — / ^ ^ .

La quatrième s'obtiendra également en substituant dans la troisième , c + ^ à la place de c , ce qui donnera

ou , réduisant les entiers en fraction et multipliant haut et bas

Uab + i)c + a]d + ab + i ^ ' ibc + TjT+b •

Sans aller plus loin, on peut voir déjà que le numérateur de la troisième réduite peut s'obtenir en muldpliant le numérateur de la seconde par le troisième quotient c ^ et ajoutant au pi*oduit le numérateur de la première fraction. Quant au dénomi* nateur, il se forme de la même manière , au moyen des dénominateurs de la seconde et de la première fraction.

Lç numérateur et le dénominateur de la quatrième réduite

LOI RE FODHATIOH

s'obtieoaent égalemenl en multipliant respect ivepieni les deux termes de la trobième, par le quatrième quotient rf, et en ajoutantauxdenxproduiu les denx termes de la seconde fraclion. Si Ton fait attention à la manière dont la troisième elh quatrième réduite ont été formées, on sentira que cette loi de formation doits'étendre aux réduites suivantes; mais, pour en démontrer rigoureusement la généralité, nous aurons recoun à un moyen auquel on a souvent recours en Mathématiques. Fous ferons voir que, si celU relation a lieu pour trois réduiles consécutives de rang quelconque, elle a encore lieu pour la réduite suivante ; car alors, ajant été reconnue applicable à la troisième, elle le sera à la quatrième; étant applicable à celle-ci, elle le sera à la cinquième, et ainsi de suite indéfiniment.

Soientdoncp, ^, ^, trois réduites consécutives, rie guoiiem incomplet auquel on s'est arrêté pour formel |; ;et supposons que l'pn ait |, = ^~^ (R et R' étant respectivement égaux à Qr + P et Q'r+P').

Ajoutons maintenant une nouvelle fraction intégrante - à

la suite der.etsoït g? '» réduite correspondante; il est clair

que, pour former g; , tout se réduit à remplacer dans l'expres- . . R I

sion de gr, r par r -f- - ; ainsi l'on aura

I— ^ ^^ (Qr4-P)* + Q R5+Q

* Q'^r + iWp- (Q''-4-P')-+Q"H'*+Q"

iwit que ^ se déduit des deux précédentes , d'après li I plin haut. Donc cette loi est générale.

D£S HÉ0U1TE8 CONSÉCUTiVES. 21g

Ainsi , le numérateur d'une réduite quelconque se forme en multipliant le numérateur de la réduite précédente par le quotient incomplet qui lui comespond, et en ajoutant au produit le numérateur de la réduite qui précède de deux rangs celle qu'on veut former, l^e dénominateur se forme d'après la mêm£ loi ^ au mcjyen des deux dénominateurs précédents,

JY. B, — Lorsque le nombre réduit en fraction continue, ou j:,

est i^ioindre que l'unité, on substitue - à la place de a^ afin de

pouvoir former la troisième réduite d'après la loi ^ qui suppose nécessairement qu'on ait d'abord formé les deux premières réduites.

Soit proposé, pour premier exemple, de former les réduites consécutives de la fraction continue,

On a pour les deux premières réduites , - et -.

Pour former la troisième , multiplions le numérateur i de la

seconde par 3 , et ajoutons o au produit; multiplions ensuite le

dénominateur 2 de la seconde par 3 , et ajoutons au produit le

dénominateur i de la première ; il vient -,

On trouve de même pour les réduites suivantes,

On obtiendrait également pour les différentes réduites de la fraction continue provenant de -— {voyez n® 164) ,