PROPRIÉTÉS DES RÉDUITES

i68. Première PROPRIÉTÉ. — Si Ton prend dans les deux exemples précédents, la différence entre deux réduites consécutives quelconques, en convenant de retrancher toujours une réduite de celle qui la suit, on trouvera constamment pour le numérateur de cette différence , -f* ' ^^ — '9 suivant que la seconde des deux réduites que l'on considère, est de rang pair ou de rang impair; le dénominateur de la différence étant d'ailleurs toujours égal au produit des dénominateurs des deux réduites.

Ainsi, dans le premier exemple, on a

2 i""2Xi*7 2""2X7'i6 7 16X7 '

or, nous allons démontrer que cette propriété est générale. Pour cela, prenons dans la fraction continue générale, trois

réduites consécutives quelconques , ^ , ^ , ^.

Onadabord b7-^= \^ '

Mais, d'après le n«» i«6, Ri=Qr-f- F, R'=:Q'r + F-

Mettant pour R et R' ces valeurs dans le numérateur de la différence précédente , on obtient

R Q (Qr + V)Qf-Qiq[r + r)