DES RÉDUITES. 29». I
OU y efFectuant les calculs et réduisant,
R Q PQ — QF R' Q' ■" VQ •
D'où l'on voit que le numérateur de la diffeVence ^ — ~; ,
est numériquement égal, mais de signe contraire, au numéra-
leur de la différence — — pr » o^ O'P^ *
C'est-à-dire que les numérateurs de deux dijfférences con-^ sécutives sont numériquement égaux, mais de signes con^ traires.
Or, si l'on considère les deux premières réduites
a ad 4-1 aZ»+i a +i -et — r — , on a — r = rrr""»
donc y d'après ce qui yient d'être dit, le numérateur de la différence suivante doit être"— i ; le numérateur de la. troisième différence doit être + i ; et ainsi de suite.
Donc, en général , le numérateur d'une différence quelconque est "f* I si la seconde des deux réduites que ton considère est de rang pair, el— - 1 si elle est de rang impair; quant au dénominateur, il est évidemment égal au produit des dénomina* tenrs des deux réduites. G. Q. F. D.
i09. Conséquence de la propriété précédente. — Une réduite
de rang quelconque , ^ ( formée d'après la règle du n* 166) ,
est toujours unefraction ou un nombrefractionnaire irréductible. En effet, supposons pour un instant que R et R' aient un facteur commun h ; comme , d'après la propriété précédente , on a RQ' — QR' = ±: i , il en résulte
RQ' - QR' „„ RQ' QR' H. •
Or, le premier membre de cette égalité est un nombre en* tier puisque R et R^ sont divisibles par A, tandis qu'au contraire le second membre est essentiellement une fraction;
aa?. PKOPHIÉTÉS PRINCIPALES
donc il est absurde de supposer que R et R' ne soient pas premiers entre eux.
Il résuUe de là que , si l'on convertit en fraction continue une fraction dont les deux termes ne sont pas premiers entre eux , et si Ton forme ensuite toutes les réduites jusqu'à la dernière inclusivement, on ne retrouvera pas la fraction proposée, sous sa forme primitive, mais bience//e même fraction réduite à sa plus simple expression, c'est-à-dire débarrassée du plus grand diviseur commun à ses deux termes.
Soit , par exempte , la fraction -^.
En la convertissant en fraction continticf, on trouve
et les réduites sont. . . .
La dernière réduite ^ est la valeur de la fraction -^ dé-
barrassée du facteur 12 commun à ses deux termes. 170. Seconde PROPftiÉTÉ. — - En reprenant la fraction continue
générale :r = a -f
on reconnaîtrait aisément, par un raisonnement analogue à celui qui a déjà été fait au n* 165 sur Un exemple particulier, que la valeur de x est comprise entre la première et la seconde réduite, entre la seconde et la troisième, et ainsi de suite;
DK8 RÉDUITES. 223
d'où Ton pourrait cûnolure, par analogie, qu'en général la valeur de x est comprise entre deux réduites consécutives de ^ang quelconque.
Mais nous allons démontrer cette propriété fort importante d'une manière plus générale.
Soient , pour cet effet , deux réduites consécutives, p, ^ ,
de rang quelconque ; et proposons-nous d'évaluer les différences
Observons que si, dans l'expression de la réduite sui-
R Q'* -f- P - . , , , j vante, -^ ou ^ , i pM ^^ ^^^^ » la placç du quotient incomplet r , le quotient complet y, ou r +
oc =— . ,^, . ,^i >
dont r n'est que la partie entière , on reproduira la valeur du nombre réduit en fraction continue , puisque aloi*s on aura la réduite de la fraction continue totale. Il viendra donc, d'a^ près cette remarque ,
d'où . ^ -, Q;r + F F ^ (QP\--.rQ-)j-
a ou X p/ — Qy ^ p' p/ = ^qy ^ p')p' »
Q. — Qr +P Q^ PQ^ >- QP ^
ou, à cause de QP'~PQ'=±:i, PQ'~QP'=rîii (nM6«),
Q' (Qlr+P')Q'"
Cela posé, comme les nombres j^, P, P', Q, Q', sont, par leur nature, essentiellement positifs, il s'ensuit que les deux ré-
9x4 reoPBIÉDÉS NIHCIPILKS
■uliaU prëctfâcnU iodI de ngties conirairet. Dont, si I'od
a ,x> oa<-^, on doit avoir nécessairement x< on >t^ ;
c« qui vent dire que , si le nombre réduit en fraction continue
est plus grand ou plus petit que la rtfduite^i ^^'n^ino***™^
nombre réduit en fraction continue eti toujours comprise entre deux réduites conséeuiivet de rang quelconque.
Remuocb. — Si la réduite ^, est de rang pair , le numëra-
et«^U+ r (n' 1«8}; . . „.. » ^ ^ -p, „ * ^ q*-
Donc, toutes les réduites de rang pair sont des Jraclions plus grandes, et toutes les réduites de rang impair sont desjractions plui petites, que le nombre réduit en fraction continue.
171. TaoïsiKME PBOPRIËTÉ. — L'ne réduite de rang quelconque donne une valeur plut approchée de z que celle qui la précède.
En effet, considérons encore les deux dîffiérencea du n* 170. Comme on a (n* 167) Q' >. P', il s'ensuit que le dénoiniua- «««r (Oy + P") (? eatXQ-j- 4- POP*; d'ailleurs j- est >i;
p numériquement moindre que la différence entre x et =.
Rekâhqoe. —Puisque, d'après la remarque du n" 170, les réduites de rang jmu> sont des fractions plus grandes, et lés réduites de rang impair sont des fractions plus petites que la valeur de x, et que d'ailleurs, en venu de ce qui vient U'êire dûniontré, les réduites convergent sans cesse vers la valeur de X. .1 mesure qu'elles s'éloignent de la première réduite, on doit nécessairement conclure :
'°' ~~ Que les réduites de rang^oir vont eu diminuant de
DES RÉDUITES. :s7.5
valeur, à partir de la seconde ; 2°. qu'au contraire , hss réduites de rang impair, à partir de la première , vont en augmentant de valeur.
172. QuATRiÈHE PROPRIÉTÉ. — Le degré d'approximation que donne chaque réduite, peut être évalué de plusieurs manières :
D*abord, de ce que (n® 170} la valeur de x est comprise
p Q entre deux réduites consécutives quelconques^, ^,ils'en-
suit que la différence entre x et Tune de ces réduites est
moindre que 577^* > différence qui existe entre les deux ré-
daites. Donc déjà, Verreur commise lorsqu'on prend une de ces deux réduites pour la valeur de x ^ est moindre que Vunité divisée par le produit de leurs dénominateurs.
En second lieu, puisque la différence entre x et ^, est,
abstraction faite du signe, exprimée ( n^ 170) par
