Q>-HP')Q' ' '* *^"' ^'°'' "-^-^ ' ' '*'*'" ^^'-^^^'^ Q'>(Q'+P')Q

il en résulte nécessairement

et a fortion , x — ^, < ^.

Ainsi , la différence entre \ et ~ y ou l'erreur commise

lorsqu'on prend ^ pour la valeur de x , est moindre que Tm-

nité divisée par le produit du dénominateur de la réduite , multiplié par la somme faite de ce même dénominateur et de celui de la réduite précédente ; o\x moins exactement , mais en termes plus simples , que Vunité divisée par le carré du dénominateur de la réduite considérée.

iV. B. — Il est à remarquer que les trois propriétés pré*

Ariîh, B. i5

226 PROPRIF:tÉS PRINCIPALES DES RÉDUITES.

cédenles reposent sur le inénie calcul, celui du n° 170: le qui en rend les démonstrations plus faciles à retenir.

175. Cinquième et dernière propriété. — Une réduite de rang quelconque approche plus de la valeur de x , non-seulement qu'aucune des réduites précédentes , mais encore qu'aucune autre fraction dont le dénominateur est moindre que celui de la réduite considérée) en sorte que l'on peut assurer qu'il n'existe pas d'autre fraction qui, en termes plus simples, donne une valeur plus approchée de x.

Soient ^ la réduite que Ton considère , et —7 une fraction Q ^ m

quelconque , telle que l'on ait m! <^ Q'; je dis que — -, n'approche pas plus de x que ^,.

£n effet , remarquons d'abord que la fraction — ~ ne sau-

rait être comprise entre -^ et 7^; car, pour que cela

fût, il faudrait que la différence entre — r et — rr , savoir,

7?lP' •— P/w'

TgT , fût numériquement moindre que la différence

^7^ entre ^ et ^ : ce qui est impossible puisque mP'— Pm',

nombre entier, est au moins égala i, et que yra'P' est plus petit que P'Q', à cause de l'hypothèse 'w'^Q'. (On ne peut

7n P supposer mV — Pnt'= o, car il en résulterait — 7 = — ; et la

fraction -r étant identique avec la réduite qui précède ^, la

proposition serait déjà démontrée.)

P Q Puis donc que X est compris entre p/^^ ^> et que , d'après

ce qui vient d'être dit , il ne peut en être de même de la frac'

tion — r, il s'ensuit nécessairement que, si Ton écrit ces quatre

APPLiCAtlON DE LA tHÉORIE DES FRACTIONS CONTINUES. 2^7

nombres par ordre de grandeur, on ne pourra former que les deux combinaisons suivantes :

P q m ^. rn F Q

Dans le premier cas, il est évident que la différence entre x et — ; est plus grande que la différence entre x et ^.

Dans le second ^ elle est plus grande que la différence entre

X ei^j et à plus forte raison, plus grande que celle qui existe

entre ^ et ~r- C. Q. F. D.

C'est, au reste, ce qu'on peut reconnaître en calculant, encore d'après le procédé du n® 170, la différence x 7, et comparant soh expression à celle de la différence x — ^, établie

même numéro.

174. Pour terminer la théorie élémentaire des fractions continues , nous indiquerons l'usage qu'on peut en faire dans Tëvaluation approximative d'une fraction irréductible dont les termes sont très-grands.

On réduit dC abord le nombre proposé en fraction continue f d* après le procédé du n** 164; puis on forme les réduites consécutives, en suivant la loi rfiin^lGG. On obtient ainsi une série de fractions alternativement' plus grandes et plus petites que le nombre proposé (n« 170) ; et parmi ces fractions , on choisit celle qui donne le degré d approximation que l'on désire avoir

pour la fraction. Ce degré est (n® 172) marqué par / (v i pxQ

01/ —7-, si^, est la réduite considérée, La réduite doit être

(n® 171) d^un rang dt autant plus éloigné qu'on veut avoir un plus grand degré ^ approximation.