CHAPITRE I

MUHÉBATIO*.

Définitions.

1. L'idée du nombre naît de la pluralité des objets considérés simultanément, ou de la répétition des phénomènes que nous observons.

Ainsi les arbres qui bordent une avenue nous donnent ridée d'un nombre; un régiment se compose d'un certain nombre de soldats; la succession des jours, les battements d'une horloge forment des nombres de plus en plus grands.

On appelle unité l'objet ou le phénomène dont la répétition constitue le nombre.

On comprend aussi sous la dénomination de nombre l'unité seule, et Ton considère un comme le plus petit de tous les nombres.

V Arithmétique est la science des nombres.

Formation des nombres.

SI. Si, à côté d'un objet, on place un autre objet, on a l'idée

d'un nombre que l'on nomme deux. Si , à côté de ces deux

2 LIVRE 1. — CI1APITRK I.

objets, on en place encore un autre, on a ridée d'un nouveau nombre que Ton nomme (rois. En continuant de la sorte, on forme successivement les nombres quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix.

Si l'on ajoute ainsi sans cesse une unité nouvelle au dernier nombre obtenu, on forme la série croissante et indéfinie des nombres.

On a donné un nom particulier à chacun des dix premiers nombres. Ces noms sont: tin, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf t dix»

On aurait pu continuer de la même manière, et donner un nom particulier à chacun des nombres suivants; mais il eût été impossible d'apprendre cette infinité de noms. On a donc cherché un moyen de nommer tous les nombres, à l'aide d'un petit nombre de mots; c'est le but de la numération parlée. Je vais exposer le système de numération universellement adopté , en n'employant d'abord que les mots strictement nécessaires; puis je ferai connaître les irrégularités que l'usage a introduites.

Numération parlée.

3. Je suppose, pour fixer les idées, qu'il s'agisse de compter les noix contenues dans un sac. Je prends les noix une à une, en disant: une, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix; je forme ainsi un premier monceau de dix, ou une dizaine. Je recommence en disant: une, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix; je forme une seconde dizaine à côté de la première. Je recommence encore et je répète la même opération jusqu'à ce que j'aie vidé le sac; j'ai alors un certain nombre de dizaines rangées sur une même ligne et quelques noix restantes. On peut représenter la disposilion des choses par la figure suivante :

dans laquelle les points désignent les noix simples et les cer-

cles les dizaines. On dit alors que le nombre des noix contenues dans le sac est

sept dizaines et quatre unités.

Supposons qu'il y ail plus de neuf dizaines. Je réunis les dix premières dizaines en un seul monceau, que j'appelle une centaine; je réunis les dix suivantes pour former une autre centaine, et ainsi de suite; j'ai alors un certain nombre de centaines, puis quelques dizaines et quelques noix restantes, ainsi que le représente la ûgure suivante , dans laquelle les points désignent les noix simples, les petits cercles les dizaines j les grands les centaines.

OOOOOOGO

On énonce le nombre des noix en disant :

cinq centaines, huit dizaines, quatrb unités.

S'il y avait plus de neuf centaines, on les réunirait dix par dix, d'une manière analogue, pour former des mille, et ainsi de suite.

Unités de différents ordres.

4L Notre procédé de numération consiste donc à former des collections de dix en dix fois plus grandes , qui s'appellent unités de différents ordres. Dix unités simples ou du premier ordre forment une dizaine ou une unité du second ordre; dix dizaines formeut une centaine ou une unité du troisième ordre; dix centaines forment un mille ou une unité du quatrième ordre; en général, dix unités d'un certain ordre forment une unité de l'ordre suivant. Le tableau suivant contient les noms des unités des différents ordres.

Premier ordre.

Deuxième ordre.

Troisième ordre.

Quatrième ordre.

Cinquième ordre.

Sixième ordre.

Septième ordre.

Huitième ordre.

Neuvième ordre.

Dixième ordre.

Ou lit ce tableau en disant : un, dix, cent, mille. On aurait pu donner un nom nouveau à chacun des ordres suivanls; mais, afin d'éviter un trop grand nombre de mots, on a conservé pour l'unité du cinquième ordre la dénomination dix mille; l'unité du sixième ordre vaut dix fois dix mille ou cent mille ; on a conservé également cette dernière dénomination. Quant à l'unité du septième ordre, qui vaut dix fois cent mille ou mille mille, on lui a donné un nom nouveau million. Puis viennent la dizaine de millions et la centaine de millions; l'unité suivante, qui vaut dix centaines de millions ou mille millions, a été appelée billion ou milliard.

De cette manière, les ordres ont été groupés en classes de trois en trois. Les unités simples, s'assemblant par dizaines et centaines, forment la première classe. Les mille s'assemblent, comme les unités simples, par dizaines et centaines, et forment la seconde classe. Les millions, s'assemblant de même par dizaines et centaines, forment la troisième classe, et ainsi de suite.

On voit que , par la formation des classes, un mot nouveau seulement est nécessaire pour nommer le premier ordre de chaque classe ; les deux autres se désignent à l'aide des mots

Un.

Dix.

Cent.

Mille.

Dix mille.

Cent mille.

Un million.

Dix millions.

Cent millions.

Un billion.

Dix billions.

Cent billions.

Un trillon.

Dix trillons.

4 r « classe.

2 e classe.

3 e classe.

4 e classe.

5 e classe.

dix et cent. Je remarque aussi que les unités des classes successives sont de mille en mille fois plus grandes; ce sont : l'unie simple, le mille, le million, le billion (que Ton nomme aussi milliard), le trillion, le qualrillion, le quintillon, etc.

On appréciera tout l'avantage de ce système de numération en observant que tous les nombres, depuis un jusqu'à un milliard exclusivement, sont nommés au moyen de treize mots seulement.

Irrégularités.

5. J'ai exposé le système de numération décimale dans sa perfection théorique, en n'employant que les mots strictement nécessaires; je vais maintenant faire connaître les modifications que l'usage a consacrées.

i° Les nombres deux dizaines , trois dizaines, quatre dizaines, cinq dizaines, six dizaines, sept dizaines, huit dizaines, neuf dizaines, ont été nommés: vingt, trente, quarante , cinquante, soixante, septante, octanle, nonante.

L'usage a même introduit quelques irrégularités dans ces dénominations. Au lieu de septante, on dit habituellement soixante-dix, abréviation de soixante et dix; au lieu d'octante, on dit quatre vingts, c'est-à-dire quatre fois vingt; au lieu de nonante , on dit quatre-vingt-dix , c'est-à-dire quatre-vingts plus dix.

2° Les nombres dix-un, dix-deux, dix-trois, dix-quatre, dix-cinq, dix-six, portent les noms spéciaux : onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize* Au delà commence la nomenclature régulière : dix-sept, dix-huit, dix-neuf, vingt, vingt et un, vingt-deux, vingt-trois, etc.

Exemples.

6. Quand on a disposé, comme nous l'avons dit, les objets que Ton veut compter par collections de dix en dix fois plus grandes, on énonce le nombre des objets en disant combien il y a d'unités de chaque ordre (et il y en a au plus neuf), en commençant par l'ordre le plus élevé et descendant progressivement.

Le nombre six dizaines et quatre unités s'énonce soixantequatre.

Le nombre cinq centaines, six dizaines, et quatre unités, s'énonoe cinq cent soixante-quatre.

Le nombre deux mille, trois centaines, cinq dizaine*, sept unités, s'énonce deux mille trois cent cinquante -sept.

Le nombre quatre dizaines de mille, deux mille, trois centaines, cinq dizaines, sept mités, s'énonce quarante-deux mf/fe trois cent cinquante-sept.

Le nombre huit centaines de mille , deux dizaines de mille, trois mille, cinq centaines , trois dizaines , neuf untfl* , s'énonce huit cent vingt-trois mille cinq cent trente-neuf.

Le nombre quatre dizaines de millions, sept millions , huit centaines de mille, six dizaines de miWe, deux mille, neuf centaines, trois dizaines, cinq unités, s'énonce quarante-sept millions huit cent soixante-deux mille neuf cent trente-cinq.

!V* a nié ration écrite.

T. Nous avons appris à nommer les nombres; nous allons dire maintenant comme on les écrit. Supposons d'abord le nombre écrit au moyen de l'écriture ordinaire. Soit, par exemple, le nombre

QUATRE dif - de mi,u DEUX TROIS « nUine « CINQ dirtin " SEPT wUé,>

Si Ton remarque que les mots un, deux, i rois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, qui indiquent le nombre des unités de chaque ordre se répètent sans cesse, il viendra naturellement à l'idée , afin d'abréger l'écriture , de représenter chacun de ces mots par un signe simple et facile à former. Les caractères ou chiffres, que Ton a adoptés pour représenter les neuf premiers nombres, sont :

A l'aide de ces caractères, le nombre précédent s*écrit

£ dit. de mille mille 3 5 7 an ''*'

Je remarque maintenant que le chiffre 7, qui est au premier rang à partir de la droite, représente des unités du premier ordre; le chiffre 5, qui est au second rang, représente

MMKRAT10N. 7

des dizaines, c'est-à-dire des unités du second ordre; le chiffre 3, qui est au troisième rang, représente des centaines, c'est-à-dire des unités du troisième ordre; le chiffre 2, qui est au quatrième rang, représente des mille, c'est-à-dire des unités du quatrième ordre; le chiffre 4 , qui est au cinquième rang, représente des dizaines de mille ou des unités du cinquième ordre. En un mot, le rang de chaque chiffre, à partir de la droite, indique Tordre des unités qu'il représente. Il est donc inutile d'écrire le nom de Tordre, le rang du chiffre Tindique suffisamment. De cette manière, le nombre précédent s'écrit simplement

4 2 3 .1 7 Considérons encore le nombre

£ dit. de millions 7 millions g cent, de mille g dis. de mille g mille 9 ce»t. 3 dix. JJ unitf*.

Le rang de chaque chiffre, à partir de la droite, indiquant toujours Tordre des unités, on écrira simplement

8. Comme il arrive souvent que certains ordres d'unités manquent, on a imaginé un nouveau caractère, le chiffre 0, que Ton nomme zéro, et qui, n'ayant aucune valeur par luimême, sert uniquement à remplir les places vacantes. Soit, par exemple, le nombre cinq cent sept, ou cinq centaines et sept unités. Ce nombre ne contient pas de dizaine; on mettra un zéro pour marquer la place des dizaines, et Ton écrira

De cette manière, le chiffre 5, qui représente des centaines ou des unités du troisième ordre, est toujours au troisième rang à partir de la droite . De même, le nombre six cent deux mille cinq, ou six centaines de mille deux mille cinq unités, s'écrira

en marquant par des zéros la place des unités qui manquent.

Cette manière d'écrire les nombres repose , comme on le voit, sur deux idées : 1° invention de neuf caractères ou chiffres servant à désigner les neuf premiers nombres; 2° indication de Tordre des unités par le rang qu'occupe le chiffre à partir de la droite.

On a coutume d'exprimer cette seconde convention en disant qu'un chiffre placé à la gauche d'un autre représente des unités dix fois plus grandes.

Règles.

9. De ce qui précède, on conclut les deux règles pratiques suivantes :

Règle I. Pour écrire en chiffres un nombre énoncé en langage ordinaire, on place successivement à la suite les uns des autres, en allant de gauche à droite, les chiffres qui expriment les nombres de centaines, de dizaines et cTunités de chaque classe, en commençant par la classe la plus élevée et descendant progressivement, et marquant par des zéros la place des unités qui manquent.

Règle II. Pour énoncer en langage ordinaire un nombre écrit en chiffres, si le nombre n'a que trois chiffres au plus, on énonce successivement chaque chiffre à partir de la gauche, en indiquant immédiatement après Vordre des unités. Ainsi les nombres

38, 60, 837, 240, 601, 700, s'énoncent :

trente-huit, soixante, huit cent trente-sept, deux cent quarante, six cent un, sept cents.

Lorsque le nombre donné a plus de trois chiffres, on Vimagine partagé en tranches de trois chiffres à partir de la droite, sauf à n'en laisser qu'un ou deux dans la dernière tranche; puis, commençant par la gauche , on énonce successivement chaque tranche, comme si elle était seule, en indiquant après le nom de la classe.

Soit le nombre

Les trois premiers chiffres 7, 4, 3, en allant de droite à gauche, se rapportent à la classe des unités; les deux suivants à celle des mille. On dira donc : vingt-cinq mille trois cent quarantesept.

Soit, de même, le nombre

Les trois premiers chiffres, en allant de droite à gauche, se rapportent à la classe des unités, les trois suivants à celle des mille, le dernier à celle des millions. On dira donc : quatre millions six cent trente-sept mille cinq cent vingt et un. Soit encore le nombre

La classe des mille manque complètement. On dira : un billion

SOIXANTE-DIX millions TROIS CENT QUATRE.

Exercices.

io Le professeur donnera aux élèves des sacs de graines; les élèves disposeront les graines en collections de dix en dix fois plus grandes; ils diront les nombres et les écriront en chiffres.

2° Lire les nombres suivants :

L'élève dira d'abord la signification de chaque chiffre en £ allant de droite à gauche; puis il lira le nombre.

3° Lire les nombres suivants :

4° Écrire en chiffres les nombres suivants :

Vingt-cinq, vingt, dix, douze, octanle, quatre-vingts, soixante, nonante-neuf, soixante-quinze, quatre-vingt-dixsept, deux cent quarante-six, cent, cent un, huit cent cinquante, neuf cent neuf, mille quatre cent trente-huit, trois mille neuf cent soixante, cinq mille dix, quatre cent mille deux cents, neuf cent mille , neuf cent huit mille sept, trois millions quatre cent cinquante-deux mille neuf cent cinquante-sept, cent millions vingt mille trois, un billion vingt,