CHAPITRE II

ADDITION

DéBnition.

ÎO. L'addition est une opération qui a pour but de réunir plusieurs nombres en un seul. Le résultat s'appelle somme ou total.

On a plusieurs monceaux de noix; si on les réunit en un seul, on fait une addition. On connaît les nombres de noix que renferment les différents monceaux; il s'agit de calculer combien de noix renferme le monceau total.

Je vais examiner différents cas, en commençant par les plus simples.

Addition de deux nombres d'un chiffre.

%%. Je veux, par exemple, additionner les nombres -i et 5. Il est évident que j'arriverai au résultat en ajoutant au nombre 5 chacune des unités qui composent le nombre 4. Je suppose une main fermée, et, partant de 5, j'ajoute successivement l'unité, en ouvrant un doigt à chaque unité ajoutée; quand j'aurai ouvert quatre doigts, je m'arrêterai. Partant de cinq, je dis donc : six, sept, huit, neuf; j'ai ouvert quatre doigts, la somme est 9.

Soit encore à ajouter 8 et 9. Je ferme les deux mains, et, partant de 9, j'ouvre les doigts successivement, en disant:

ADDITION

dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize, dix-sept. J'ai ouvert 8 doigts, je m'arrête, la somme est 47.

A force d'habitude et la mémoire aidant, on finit par dire tout d'un coup :

et 4 font 9, 9 et 8 font 47;

et, pour abréger encore, en sous- entendant le mot font,

5 et 4 9,

9 et 8 47.

On pourrait suivre ce procédé élémentaire pour faire l'addition de deux nombres quelconques, en ajoutant successivement à l'un d'eux chacune des unités qui composent l'autre; mais l'opération deviendrait fort longue si les nombres donnés étaient considérables. Je vais indiquer le procédé au moyen duquel on abrège l'opération.

Addition d'un nombre d'un chiffre à un nombre de plusieurs chiffres.

12. Ajouter 3 à 54. Puisque trois unités ajoutées à quatre unités donnent sept unités, la somme est 57.

Ajouter 8 à 37. Huit et sept font 45 unités, c'est-à-dire cinq unités et une dizaine; cette dizaine ajoutée aux trois dizaines donne quatre dizaines; la somme, se composant de quatre dizaines et de cinq unités, est 45.

Par l'habitude, on dira tout d'un coup.

54 et 3 57,

37 et 8 45.

Addition de nombres quelconques.

1 3 . Additionner les nombres 7638, 5703, 947 et 799.

Je place les nombres proposés les uns au-dessous des autres, de manière que les unités soient sous les unités, les dizaines sous les dizaines, les centaines sous les centaines, les mille

sous les mille, en un mot, de manière que les unités de même ordre soient dans une même colonne verticale.

Je trace sous le dernier nombre un trait horizontal, audessous duquel j'écrirai le résultat.

Pour additionner ces nombres, il suffit d'ajouter successivement les unités simples aux unités simples, les dizaines aux dizaines, les centaines aux centaines, les mille aux mille.

J'additionne donc les unités contenues dans la première colonne de droite; je dis : 8 et 3 font il, il et 7 font 18, 18 et 9 font 27. J'ai 27 unités; ces 27 unités donnent 7 unités que j'écris au-dessous de la colonne des unités, et 2 dizaines que je reporte à la colonne des dizaines.

J'additionne les dizaines contenues dans la seconde colonne; je dis : 2 dizaines reportées et 3 font 5, et 4 font 9, et 9 font 18. Ces 18 dizaines donnent 8 dizaines que j'écris au-dessous des dizaines, et 1 centaine que je reporte à la colonne des centaines.

J'additionne les centaines contenues dans la troisième colonne; je dis : 1 centaine reportée et 6 font 7, et 7 font 14, et 9 font 23, et 7 font 30. Ces 30 centaines donnent 3 mille; j'écris donc 0 sous les centaines, et je reporte 3 mille à la colonne antérieure.

J'additionne les mille : 3 mille reportés et 7 font 10, et 5 font 15. Ces 15 mille donnent 5 mille que j'écris sous les mille, et une dizaine de mille que j'écris à la gauche du chiffre 5. L'addition est terminée; la somme cherchée est 15087. Ainsi :

Règle. Pour additionner plusieurs nombres, on les écrit les uns au-dessous des autres, de manière que les unités de même ordre soient placées dans une même colonne verticale; on trace un trait au-dessous du dernier nombre ; puis, à partir de la droite, on fait successivement la somme des chiffres contenus

ADDITION. 13

dans chaque colonne verticale : si cette somme ne surpasse pas neuf, on V écrit au-dessous telle qu'on Va trouvée ; si elle surpasse neuf, on n'écrit au-dessous que le chiffre des unités, et on reporte les dizaines à la colonne suivante.

Comme il importe d'opérer aussi rapidement que possible, on effectuera l'addition en disant simplement :

8 et 3 — ii et 7 18 et 9 27; je pose 7, et retiens

2 et 3 — 5 et 4 — 9 et 9 — 48; je pose 8, et retiens

1 et 6 — 7 et 7. ... 14 et 9... 23 et 7. .. 30; je pose 0,

et reliens 3 et 7.... 10 et 5.... 15; je pose 15.

Remarque.

14. L'addition d'une colonne fournit généralement une retenue pour la colonne de gauche; c'est pour cela que Ton commence l'opération par la droite. Si Ton opérait au contraire en allant de gauche à droite, lorsqu'une colonne donnerait une somme plus grande que 9, on serait obligé d'effacer le chiffre précédemment écrit pour l'augmenter de la retenue de la colonne suivante. Ainsi , dans l'exemple précédent, si l'on commençait par la gauche, on dirait : 7 et 5 font 12, je pose 12; la colonne suivante donne pour somme 29, j'écris 9, et, comme il faut reporter les 2 dizaines, j'efface le 2 que je remplace par -4. La troisième colonne donne 16, je pose 6, et je suis obligé d'effacer non-seulement le chiffre 9 que je remplace par 0, mais encore le chiffre 4 que je remplace par 5. On voit donc combien il est utile pour la simplicité de l'opération de commencer par la droite.

Preuve.

1$. On appelle preuve d'une opération une seconde opération qui sert à vérifier l'exactitude de la première. Nous avons additionné chaque colonne verticale en allant de haut en bas; si nous recommençons l'opération en allant de bas en haut, nous devons retrouver le même résultat. Dans l'exemple précédent, la vérification a lieu. Cependant on ne peut

affirmer d'une manière absolue l'exactitude du résultat; car on aurait pu commettre dans les deux opérations des erreurs égales; mais comme cette circonstance est tout à fait exceptionnelle, on regardera comme très-probable l'exactitude du résultat.

Exercices.

lo Un homme a reçu d'une part 7435 francs, d'autre part 1890 francs. Combien a-t-il reçu en tout?

2° On a mélangé 450 kilogrammes de nitre avec 25 kilogrammes de charbon et 25 kilogrammes de soufre, pour faire de la poudre à canon. Combien a-t-on obtenu de poudre?

3° L'Europe contient 468 millions d'habitants, l'Asie 580 millions, l'Afrique 92 millions, l'Amérique 450 millions et l'Océanie 40 millions. Quelle est la population de toute la terre?

4° Une propriété se compose de quatre parties : un pré de 4750 ares, un champ de 937 ares, uu autre champ plus grand que le premier de 420 ares, et enfin un jardin de 89 ares. Quelle est l'étendue totale de la propriété?