CHAPITRE III

Usages des tables de logarithmes pour abréger les calculs de multiplication et de division, l'élévation aux puissances et l'extraction des racines.

Propriétés des logarithmes.

19fc. Les tables de Lalande contiennent les logarithmes des nombres entiers de 1 à 10000. Dans la colonne intitulée nombres, se trouvent les nombres entiers consécutifs; à droite des nombres, dans la colonne intitulée logarithmes, sont leurs logarithmes avec cinq décimales.

Les logarithmes jouissent de cette propriété fondamentale, que le logarithme dun produit de plusieurs fadeurs est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

Par exemple, prenons dans la table le logarithme de 2 et celui de 3, et ajoutons-les; nous trouvons 0,77815 qui est précisément le logarithme de 6. Ajoutons de même les logarithmes de 3 et de 5, nous trouvons 1,17609, qui est le logarithme de 15.

193. Puisque le dividende est le produit du diviseur par le quotient, le logarithme du dividende égale le logarithme du diviseur, plus le logarithme du quotient; il en résulte que le logarithme du quotient égale le logarithme du dividende , moins le logarithme du diviseur.

Par exemple, si du logarithme de 36 nous retranchons le logarithme de 9, nous trouvons 0,60206, qui est le logarithme de 4, quotient de 36 par 9.

194. Une puissance est le produit de plusieurs facteurs égaux; le logarithme de ce produit égale la somme des logarithmes des facteurs; c'est-à-dire le logarithme de l'un d'eux répété autant de fois qu'il y a de facteurs. Ainsi le logarithme de la puissance d'un nombre égale le logarithme de ce nombre multiplié par V exposant de la puissance*

En particulier, le logarithme du carré d'un nombre égale deux fois le logarithme du nombre. Le logarithme du cube égale (rois fois le logarithme du nombre. Par exemple, si nous doublons le logarithme de 7, nous trouvons 1,69020, qui est îe logarithme de 49. Si nous triplons le logarithme de 4, nous trouvons 1,80618, logarithme du nombre 64, qui est le cube de 4.

195. Extraire la racine carrée d'un nombre, c'est trouver un nombre qui, élevé au carré, reproduise le nombre proposé. Le logarithme du nombre proposé étant égal à deux fois le logarithme de sa racine carrée, il en résulte que le logarithme de la racine carrée d'un nombre est la moitié du logarithme du nombre.

De même , extraire la racine cubique d'un nombre, c'est trouver un nombre qui, élevé au cube, reproduise le nombre proposé. Le logarithme du nombre proposé étant égal à trois fois le logarithme de la racine cubique , il en résulte que le logarithme de la racine cubique d'un nombre est le tiers du logarithme du nombre.

En général , le logarithme de la racine <f un nombre est égal au logarithme de ce nombre divisé par Vindice de la racine.

Par exemple , si Ton divise par 2 le logarithme de 25, on trouve 0,69897, logarithme du nombre 5, qui est la racine carrée de 25. Si l'on divise par 3 le logarithme de 216, on trouve 0,77815, logarithme du nombre 6, qui est la racine cubique de 216.

196. Ces propriétés des logarithmes donnent le moyen d'effectuer très-rapidement les calculs les plus compliqués. On multiplie en ajoutant les logarithmes des facteurs; on

divise en retranchant du logarithme du dividende celui du diviseur; on élève un nombre à une puissance en multipliant le logarithme du nombre par l'exposant de la puissance; enfin on extrait la racine d'un nombre en divisant le logarithme du nombre par l'indice de la racine.

Caractéristique.

197. On appelle caractéristique d'un logarithme la partie entière de ce logarithme.

A l'inspection des tables , on voit que les logarithmes des neuf premiers nombres ont 0 pour partie entière, ou pour caractéristique; que les logarithmes des nombres de deux chiffres ont 1 pour caractéristique; que les logarithmes des nombres de trois chiffres ont 2 pour caractéristique; ceux des nombres de quatre chiffres 3. En un mot, la caractéristique du logarithme d'un nombre entier renferme autant d'unités qu'il y a de chiffres dans le nombre moins un.

198. On voit aussi, à l'inspection des tables, que les puissances successives de 40, savoir: 10, 100, 1000... ont pour logarithmes les nombres entiers consécutifs 1,2, 3,... Supposons que Ton multiplie un nombre par une puissance de 10, telle que 1000; au logarithme du nombre on ajoutera le logarithme de 1000, c'est-à-dire 3; la partie décimale du logarithme reste la même , et l'on ajoutera simplement 3 à la caractéristique. De même si l'on divise un nombre par 1000, il faudra du logarithme du nombre, ou simplement de la caractéristique, retrancher 3. Ainsi, pour multiplier ou pour diviser un nombre par 10, 100, 1000,... il suffit d'augmenter ou de diminuer la caractéristique du logarithme d'une, deux, trois... unités.

Pour effectuer les calculs par logarithmes, il faut savoir résoudre les deux questions suivantes: 1° trouver le logarithme d'un nombre donné; 2° trouver le nombre qui correspond à un logarithme donné. Nous traiterons successivement chacune de ces deux questions.

DES L0GÀRIT11MES.

Trouver le logarithme d'un nombre donné.

199. Lorsqu'il s'agit d'un nombre entier plus petit que 10000, on trouve immédiatement son logarithme dans les tables.

Si le nombre surpasse 10000, on le ramène à être compris entre 1000 et 10000, en le divisant par une puissance convenable de 10. Soit le nombre 46527; en le divisant par 10, on a le nombre décimal 4652,7 compris entre 1000 et 10000. Les tables donnent le logarithme de la partie entière 4652. A droite des logarithmes, dans une petite colonne intitulée différences, sont inscrites les différences qui existent entre les logarithmes consécutifs. Entre le logarithme de 4652 et celui de 4653, on lit la différence 9, c'est-à-dire que, si Ton augmentait le nombre 4652 d'une unité, il faudrait ajouter au logarithme 9 unités du cinquième ordre décimal. On admet que les accroissements du logarithme sont sensiblement proportionnels aux accroissements du nombre, au moins quand il s'agit d'accroissements peu considérables. On dira donc : puisque, pour une augmentation d'une Unité dans le nombre 4652, il faut ajouter 9 au logarithme, pour une augmentation de 0,7, il faudra ajouter les 7 dixièmes de 9, c'est-à-dire 63 dixièmes ou 6 unités du cinquième ordre, en négligeant les unités plus petites. Ajoutant donc 6 au logarithme de 4652, on écrira

loy 4652,7=3,66770 v

On revient au nombre proposé 46527 en multipliant par 10 le nombre décimal 4652,7 ; on ajoutera donc une unité à la caractéristique du logarithme, et l'on aura

log 46527=4,66770. ;

Soit le nombre 724687. Divisant par 100, on a le nombre décimal 7246,87. On trouve dans la table le logarithme de la partie entière 7246 et en regard la différence 6. Pour une unité d'augmentation dans le nombre, il faut ajouter 6 au logarithme ; pour 0,87 d'augmentation dans le nombre, il faudra

ajouter au logarithme 6x0,87 ou 0,87x6; od voit de suite que cette augmentation est de 5 unités du cinquième ordre. Ajoutant deux à la caractéristique afin de multiplier par 100, on écrira donc immédiatement

log 724687=5,86015.

Soit encore le nombre 132846. En divisant par 100, on a le nombre décimal 1328,46. On lira dans la table le logarithme de la partie entière 1328 et à côté la différence 32, qu'il faudra multiplier par la partie fractionnaire 0,46, ce qui donne 15. On écrira donc

log 132846=5,12335.

200. Considérons maintenant un nombre décimal 75,64. Si Ton multiplie ce nombre par 100, on a le nombre entier 7564, dont on trouve le logarithme dans les tables ; retranchant 2 delà caractéristique pour revenir au nombre proposé, on écrira immédiatement

log 75,64=1,87875.

Soit encore le nombre décimal 3,46874. Si Ton multiplie ce nombre par 1000, on aura un nombre 3468,74 compris entre 1000 et 10000. A côté du logarithme de 3468 on lit la différence 12, que l'on multiplie par 0,74, ce qui donne 9. Ajoutant 9 au logarithme de 3468 et retranchant 3 de la caractéristique, on écrira

log 3,46874=0,54017.

Dans la pratique, on se dispense de déplacer la virgule; on lit dans la table le logarithme du nombre formé par les quatre premiers chiffres de gauche, et on y ajoute le produit de la différence tabulaire par les deux chiffres suivants. Cette multiplication se fait à vue très-rapidement; dans l'exemple précédent on dira: 12 fois 4 font 48 et retiens 5; 12 fois 7 font 84 et 5 font 89 dixièmes ou 9 unités du cinquième ordre décimal à ajouter au logarithme. Quant à la caractéristique, on sait qu'elle contient autant d'unités qu'il y a de chiffres dans la partie entière du nombre, moins un.

11 est bon de remarquer que, dans la recherche du loga-

rithme d'un nombre, il n'y a lieu que de considérer les six premiers chiffres de gauche; les suivants, n'ayant pas d'influence sur le logarithme, peuvent être supprimés. En effet, supposons la virgule placée après le quatrième chiffre, si Ton néglige le chiffre des millièmes et les suivants, on commet sur le nombre une erreur moindre qu'un demi-centième; la plus grande différence tabulaire est 44; on commet donc sur le logarithme une erreur moindre que 3 dixièmes du cinquième ordre décimal.

Caractéristiques négatives.

£01. En opérant comme nous l'avons dit, on obtient aisément les logarithmes de tous les nombres fractionnaires plus grands que tin. Voici comment on obtient les logarithmes des fractions proprement dites. Supposons que Ton ait à multiplier un nombre quelconque 4567 jpar la fraction dé-

cimale 0,03564. Cette fraction peut s'écrire ' ; multi-

i oo

plier par cette fraction, c'est multiplier par 3,564 et diviser par 100. Il faudra donc ajouter le logarithme de 3,564 qui est 0,55194, et retrancher le logarithme de 100, c'est-à-dire 2. Le logarithme du produit sera donc égal à

log 4567+0,55194—2,

ce qu'on écrit plus simplement

log 4567+2,55194.

Le signe — , placé au-dessus du chiffre 2, indique qu'il faut retrancher 2 unités. Afin que le logarithme du produit soit toujours égal à la somme des logarithmes des facteurs', on est convenu de regarder l'expression 2,55194 comme étant le logarithme de la fraction décimale 0,03564. Le nombre 2, qui tient lieu de la partie entière du logarithme et qui doit être retranché, s'appelle une caractéristique négative.

On voit que la caractéristique négative du logarithme d'une fraction décimale est égale au rang du premier chiffre significatif après la virgule.

Trouver le nombre qui admet un logarithme donné.

Trouver le nombre qui a pour logarithme 3,12335. On cherche dans la table le plus, grand logarithme contenu dans le logarithme donné. C'est 3,12320, qui correspond au nombre 1328. La différence tabulaire est 32, c'est-à-dire que si l'on ajoutait 32 au logarithme, il faudrait ajouter une unité au nombre. Le logarithme donné surpasse le logarithme de 1328 de 15; pour savoir quelle augmentation dans le nombre résulte de cette augmentation 15 du logarithme, on divisera 15 par 32. Mais on fera cette division à vue, 150 contient 4 fois 32 et il reste 22; 220 contient 6 fois 32. Puisque la différence 15 contient les 0,46 de 32, il en résulte une augmentation de 0,46 dans le nombre. Le nombre demandé est donc 1328,46.

Trouver le nombre qui a pour logarithme 0,5401 7. Ajoutons 3 à la caractéristique et cherchons le nombre qui a pour logarithme 3,54017. Le plus grand nombre entier dont le logarithme est contenu dans le logarithme donné est 3468; la différence tabulaire est 12. Le logarithme donné surpasse celui de 3468 de 9 unités du dernier ordre. Une augmentation 12 dans le logarithme produit une augmentation d'une unité dans le nombre; pour avoir celle qui résulte de la différence 9, il faut diviser 9 par 12 ; 90 contient 7 fois 12, et il reste C; 60 contient 5 fois 12 ; il faut donc ajouter 0,7S au nombre, ce qui donne 3468,75. Puisqu'on a ajouté 3 à la caractéristique, il faut diviser par 100> et l'on obtient le nombre demandé 3,46875.

Trouver le nombre qui a pour logarithme 2,84569. Si y on ajoute 5 à la caractéristique, elle devient égale à 3, et l'on a le logarithme 3,84569. Ce logarithme contient le logarithme de 7009, plus une différence 3. Mais la différence tabulaire est 6; il faul donc ajouter 0,5 au nombre, ce qui fait 7009,5. Comme on a ajouté 5 à la caractéristique, il faut diviser par 100000, et l'on a le nombre demandé 0,070095.

203. Il est aisé de voir que , lorsqu'on remonte des logarithmes aux nombres, on obtient les nombres avec une erreur relative inférieure à un quarante-millième. Soit, par exemple, 3,00027 le logarithme donné. Il contient le logarithme de 1000,, plus la différence 27, qui, divisée par la différence tabulaire 43, donne l'augmentation 0,63; le nombre demandé est donc 1000,63. Évaluons maintenant l'approximation. Quand on augmente le nombre d'une unité, le logarithme s'accroît de 43 unités du cinquième ordre décimal; pour faire éprouver au logarithme une modification égale à une unité du cinquième ordre décimal, il faut faire éprouver au nombre une modification égale à ^ d'unité. On obtiendra ainsi le nombre qui correspond au logarithme donné à moins de ^ d'unité; ce nombre étant plus grand que 4000, Terreur relative sera moindre que

La différence tabulaire diminue à mesure qu'on s'avance dans la table; Terreur absolue commise sur le nombre augmente, mais Terreur relative reste la même.

Exercices.

1° Calculer le produit des deux nombres 237,56 et 68,432.

On cherchera les logarithmes des deux facteurs et on les ajoutera, ce qui donne le logarithme du produit; puis on cherchera dans les tables le nombre correspondant. Voici la disposition du calcul , la lettre x désignant le produit demandé :

log 237,56 =2,37577 log .68,432 = 1,83526

logx— i,21103 # = 16256,7 a ^

2° Calculer le produit des deux nombres 4,5678 et 0,87391.

On multipliera le second facteur par 40, aûn de le rendre plus grand que Funité, et Ton écrira

* = ïô

log 4,5678 = 0,65971 log 8,7391 = 0,941 47

log x = 0,60118 x = 3,991 9.

En ajoutant les logarithmes , on trouve 1 pour partie entière; mais comme il faut retrancher 1, il reste la caractéristique 0.

3° Calculer le produit des deux nombres 0,087952 et 0,0075326.

On multipliera le premier facteur par 100, le second par 1000, afin de les rendre plus grands que l'unité, et l'on écrira

8,7952 X 7,5326 X ~~ 100000 log 8,7952 = 0,94425 log 7,5326 = 0,87694

log x = 4,82111) x = 0,00066250.

En ajoutant les logarithmes on trouve 1 à la partie entière; mais comme il faut retrancher 5, on a la caractéristique négative 4, ce qui indique que le premier chiffre signiûcalif du nombre cherché occupe le quatrième rang après la virgule.

4° Diviser 16256,7 par 237,56.

Du logarithme du dividende on retranchera le logarithme du diviseur :

log 16256,7 = 4,21103 log 237,56 = 2,37577

5o Diviser 3,9919 par 0,87391 .

Afin de rendre le diviseur plus grand que l'unité, on multi-

pliera par 40 le dividende et le diviseur, ce qui ne change pas le quotient, et Ton écrira

en désignant par x le quotient cherché; puis on opérera comme dans l'exemple précédent.

6° Diviser 42,537 par 843,62.

On multipliera les deux termes par 100, afin de rendre le dividende plus grand que le diviseur, et Ton écrira

4253,7 X ~~ 843,62X100* log 4253,7 =3,62877 log 843,62 = 2,92615

logx=z 2,70262 # = 0,050422.

Du logarithme de 4253,7 on a retranché celui de 848,62, ce qui donne 0 pour partie entière; et comme il faut retrancher 2, on a mis la caractéristique négative 2.

7o Diviser 0,00066251 par 0,087952.

On multipliera d'abord les deux termes par 100, afin de rendre le diviseur plus grand que l'unité, ce qui donne

on multipliera ensuite par 1000, afin de rendre le dividende plus grand que le diviseur, et Ton écrira

8,7952 X 1000 log 66,251 =1,82120 log 8,7952 = 0,94425

log x = 3,87695 x = 0,0075326.

8° Élever à la dixième puissance le nombre 2,4365.

Il faut pour cela multiplier par 40 le logarithme du nombre donné.

log 2,4365 = 0,38677 logx=z 3,8677 x =7374.

9° Élever au cube le nombre 0,41728. On multipliera le nombre donné par 10, afin de le rendre plus grand que l'unité, et Ton écrira

/ 4,1 7-318 V 4,1728* * \ 10 ; 1000 "■ log 4,1738 = 0,62043 log x = 2,86129 x = 0,072658.

En multipliant par 3 le logarithme de 4,1728, on trouve 1 à la partie entière; comme il faut retrancher 3 on a la caractéristique négative 2.

10° Élever à la cinquième puissance la fraction || .

On écrira

/20 y / 200 \ 5 / 2Q °\ 5 * X \3ï) ~~ \37 X iOj ~~ V 37 ) X W

^200 = 2,30103 log 37 = 1,56820

log 200 — log 37 = 0,73283 log x = 2,664 15 « = 0,046148,

11° Extraire la racine quatrième de 2.

Il faut diviser par 4 le logarithme de 2.

log 2 = 0,30103 log x = 0,07526 x = 1,18921.

12° Extraire la racine carrée de la fraction 0,43512. On rendra cette fraction plus grande que l'unité en la multipliant par une puissance de 10 qui soit un carré parfait.

Il suffira dans cet exemple 4e multiplier par 4QQ, et l'on écrira

En divisant par 2 le logarithme de 43, 542, on trouve 0 pour partie entière; comme il faut retrancher 4, on a la caractéristique négative 1 .

4 3° Extraire la racine cubique de la fraction décimale 0,00072658.

On rendra cette fraction plus grande que l'unité, en la multipliant par une puissance de 10 qui soit un cube parfait, et l'on écrira

Usage de la règle à calcul pour la multiplication et la division.

La règle à calcul est un petit instrument commode et portatif, qui remplace les tables de logarithmes , lorsqu'on n'a pas besoin d'une grande exactitude.

Elle se compose de deux parties, une règle fixe, et une régktte mobile qui glisse à frottement doux dans une rainure pratiquée au milieu de la règle. Elle est ordinairement en bois et a 25 centimètres de longueur.

Sur la face principale de la règle sont marquées deux séries de divisions inégales. Considérons spécialement la ligne supérieure : en allant de gauche à droite, on lit d'abord les nombres 4, % 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 40 ; les distances comptées à partir du point 1, qui est au commencement, sont proportion-

log 43,542 = 4,63864 log #=ï,84930 x = 0,65963.

log 726,58 = 2,86429

logx = 2,95376 X =0,08990.

nelles aux logarithmes des nombres. Ainsi la distance de 1 à 2 représente le logarithme de 2, celle de 1 à 3 le logarithme de 3, et ainsi de suite; la distance de 1 à 40 représente le logarithme de 40, qui est 4. Cette distance, qui occupe la moitié de la règle, a donc été prise pour unité de longueur.

L'intervalle entre deux nombres consécutifs est divisé en dix parties correspondant aux dixièmes. Par exemple, l'intervalle entre 6 et 7 est divisé en dix parties par des traits plus petits, au-dessus desquels il faut supposer les chiffres 4, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dixièmes. Ainsi la distance de l'origine 4 de la règle à la première division qui suit le nombre 6 représente le logarithme de 6,4 ; celle qui aboutit à la division suivante représente le logarithme de 6,2, et ainsi de suite. On a de cette façon les logarithmes de tous les nombres compris entre 4 et 40, de dixième en dixième.

On remarque que de 4 à 2 chaque intervalle de dixième est subdivisé en cinq parties, dont chacune correspond à deux centièmes. Ainsi la distance de l'origine à la première petite division représente le logarithme de 4,02; la distance à la division suivante, celui de 4 ,04; et ainsi de suite jusqu'à 2. On a de cette manière les logarithmes des nombres fractionnaires compris entre 4 et 2 , de deux centièmes en deux centièmes.

Entre 2 et 3 , 3 et 4 , 4 et 5, l'intervalle correspondant à chaque dixième est divisé seulement en deux parties, dont chacune correspond à un demi-dixième ou à cinq centièmes. Ainsi la distance de l'origine 4 à la première petite division qui vient après 2 représente le logarithme de 2,05; on a ensuite le logarithme de 2,40, celui de 2,45, etc.

Au delà de 5, c'est-à-dire de 5 à 40, les intervalles de dixièmes n'ont pas été subdivisés. Cependant il est facile d'opérer cette subdivision à l'œil approximativement.

Au delà de dix, on lit sur la règle les nombres 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 00, 400. Cette seconde moitié, qui va de 40 à 400, est exactement pareille à la première moitié qui va de là 10. Car le logarithme de 20, par exemple, étant égal au loga-

rithme de 10 plus le logarithme de 2, on a porté sur la règle, à partir de 10, le logarithme de 2, ce qui donne le logarithme de 20. On a donc dans cette seconde moitié les logarithmes des nombres considérés précédemment , multipliés par 10.

L'intervalle entre deux dizaines consécutives est divisé en dix parties qui correspondent aux unités. Ainsi, entre 60 et 70, on lira 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69.

Entre 10 et 20, chaque intervalle d'unité est subdivisé en cinq parties, dont chacune correspond à deux dixièmes. Entre 20 et 50, chaque intervalle d'unité est subdivisé seulement en deux parties, dont chacune correspond à une demi -unité ou à cinq dixièmes.

La réglette porte à sa partie supérieure une ligne de divisions qui est la reproduction exacte des divisions de la règle, de sorte que, si l'on fait coïncider le 1 de la réglette avec celui de la règle, toutes les divisions de la réglette coïncideront avec celles de la règle.

Je vais expliquer maintenant comment on se sert de cet instrument, pour effectuer les multiplications et les divisions.

Multiplication.

Voici la manière d'opérer :

Après avoir placé la virgule dans les deux facteurs, de manière que chacun d'eux ait un seul chiffre significatif à sa partie entière, lisez sur la règle le multiplicande; amenez en regard l'origine 1 de la réglette; lisez ensuite sur la réglette le multiplicateur et regardez sur la règle le nombre correspondant ; vous aurez le produit demandé.

Quelques exemples feront bien comprendre ce procédé.

Multiplier 3 par 2. Lisez 3 sur la règle et faites glisser la réglette dans la coulisse, de manière à amener le 1 de la réglette sous le nombre 3; lisez ensuite 2 sur la réglette; en regard est

écrit sur la règle le nombre 6 qui est le produit demandé. Et en effet, en opérant de cette manière, au logarithme de 3 on ajoute le logarithme de 2.

2<> Multiplier 8 par B. Lisez 8 sur la règle et sous ce nombre amenez le 1 de la réglette, puis lisez 5 sur la réglette; en regard sur la règle est écrit le produit demandé 40,

3° Multiplier 7 par 6. Lisez 7 sur la règle et sous ce nombre amenez le 1 de la réglette; puis lisez 6 sur la réglette, et regardez sur la règle le nombre correspondant : vous trouvez

4> Multiplier 46 par 3. Cherchez le produit de 4,6 par 3. Lisez sur la règle 4,6; amenez sous cette division le 1 de la réglette; lisez 3 sur la réglette, et regardez sur la règle le nombre correspondant; vous trouvez 13,8. Le produit demandé est 138.

5° Multiplier 27 par 25: Cherchez le produit de 2,7 par 2,5. Lisez 2,7 6ur la règle ; amenez sous cette division le 1 de la réglette; lisez 2,5 sur la réglette et regardez sur la règle le nombre correspondant; la division 2,5 de la réglette ne tombe pas exactement sous une division de la règle, mais entre les deux divisions 6,7 et 6,8 et au milieu de l'intervalle; vous avez donc 6,75, ce qui donne pour le produit demandé 675.

6 a Multiplier 18 par 32. Cherchez le produit de 1,8 par 3,2. Lisez 1,8 sur la règle; amenez sous cette division le 1 de la réglette : lisez 3,2 sur la réglette et regardez le nombre correspondant sur la règle. La division 3,2 de la réglette tombe entre les deux divisions 5,7 et 5,8 de la règle, pas tout à fait au milieu, mais un peu plus près de 5,8 que de 5,7 ; divisant à vue l'intervalle en dix parties égales, on prendra 5,76, ce qui donne 576 pour le produit demandé. Il pourrait rester quelque incertitude sur le dernier chiffre; maison sait d'avance que ce dernier chiffre est 6, puisque 2 fois 8 font 16.

1° Multiplier 48 par 54. Cherchez le produit de 4,8 par 5,4. Lisez 4,8 sur la règle; amenez sous celte division le 1 de la réglette ; lisez 5,4 sur la réglette et regardez le nombre correspondant sur la règle. La division 5,4 de la réglette tombe entre 25,5 et 26 sur la règle; l'intervalle vaut ici cinq dixiè-

mes; divisant à Tue cet intervalle en cinq parties égales, on prendra 0,4, ce qui fait 25,9 et 2590 pour le produit demandé, puisqu'il faut multiplier par 100. La règle à calcul ne donne que les trois premiers chiffres du produit, qui est

exactement 2592; ainsi Terreur relative est moindre que î

8° Multiplier 5,63 par 2,70. Le nombre 5,63 n'est pas marqué sur la règle; on imaginera l'intervalle de 5,6 à 5,7 divisé en dix parties, et l'on amènera le 1 de la réglette à peu près au tiers de l'intervalle. On lira ensuite 2,75 sur la réglette; le trait correspondant tombe entre 15,4 et 15,6 à peu près au milieu de l'intervalle; comme l'intervalle vaut ici 2 dixièmes, on prendra 0,4, ce qui fait 15,5 pour le produit demandé; le produit exact est 15,4825. L'erreur absolue est ici moindre que 0 fc 02, et par conséquent l'erreur relative est moindre que^.

9° Multiplier 63,8 par 0,0537. Cherches le produit de 6,38 par 5,37. Lisez 6,38 sur la règle, en divisant à vue l'intervalle de 6,3 à 6,4 en dix parties; et amenez en regard le 1 de la réglette; Usez ensuite 5,37 sur la réglette, en divisant de la même manière à vue l'intervalle de 5,3 à 5,4 en dix parties, et regardez sur la règle le nombre qui correspond au point de la réglette où vous supposez placé 5,37. C'est à peu près 34,3. Le produit demandé est 3,43 à moins d'un centième près.

10» Multiplier 162,84 par 23,674. Cherchez le produit de 1,628 par 2,37; vous trouverez à peu près 3,86. Le produit demandé est donc 3860 avec trois chiffres exacts.

Il faut avoir soin, comme nous l'avons dit, de placer toujours la virgule avec le premier chiffre significatif dans les deux facteurs du produit.

Remarque. Il est bon de se rendre compte de l'approximation de l'instrument. On estime que l'erreur relative ne dépasse pasalg* Examinons en effet avec quelle approximation on peut lire un nombre sur la règle ou sur la réglette.

Entre 1 et 2, chaque intervalle vaut 0,02. Vers 1, les intervalles étant assez grands, l'œil parvient aisément avec l'habitude à les diviser en dix parties valant chacune 0,002, de

manière à ne pas commettre une erreur plus grande que deux de ces parties; ce qui fait une erreur moindre que 0,004 ou que Vers 2, les intervalles étant à peu près moitié des précédents, on peut commettre une erreur absolue deux fois plus grande, mais l'erreur relative reste la même. Au delà de 5, chaque intervalle vaut un dixième ; on le subdivise à vue en dix parties valant chacune 0,01 ; si Terreur ne dépasse pas deux de ces parties, Terreur relative sera moindre que ^ ou que ^.

Division.

Voici la marche à suivre :

Après avoir placé les virgules de manière que le diviseur n'ait qu'un chiffre significatif à sa partie entière, et que le dividende en ait un ou deux de manière à être plus grand que le diviseur, on amène le point qui sur la réglette correspond au diviseur sous le point qui sur la règle correspond au dividende; et on lit ensuite sur la règle le nombre qui se trouve en regard de ? origine 4 delà réglette.

1° Diviser 6 par 2. Amenez le 2 de la réglette sous le 6 de la règle ; puis lisez sur la règle le nombre qui se trouve en regard de Torigine 1 de la réglette ; vous obtenez ainsi le quotient 3. Et en effet, du logarithme de 6 compté sur la règle, on a retranché le logarithme de 2 compté sur la réglette.

2° Diviser 40 par 8. Amenez le 8 de la réglette sous le 40 de la règle; et lisez sur la règle le nombre qui se trouve en regard de Torigine 4 de la réglette ; vous obtenez le quotient 5.

3° Diviser 138 par 46. Il faudra diviser 13,8 par 4,6. Amenez la division 4,6 de la réglette sous la division 43,8 de la règle; en regard de 4, vous trouvez le quotient 3,

4° Diviser 745 par 32. On divisera 74,5 par 3,2. Pour cela, on amènera la division 3,2 de la réglette au-dessous du point qui sur la règle correspond à 7,45 et en regard de 4 on lira sur la règle le quotient approché 23,3.

On aurait pu diviser 7,45 par 3,2.

5° Diviser 0,25486 par 48,527. On divisera 25,486 par

DBS LOGARITHMES. 205

1,8527. Sous le point de la régie qui correspond à 25,48 (ce point est tout près de la division 25,5) on amènera le point de la réglette qui correspond à 1,853, et on lira sur la règle le nombre qui se trouve en regard de 4. C'est à peu près 13,75; le quotient demandé est 0,01375, mais on n'est pas sûr du dernier chiffre.

Remarque. On peut aussi, au moyen de la règle, effectuer à la fois, par une simple lecture, une multiplication et une division, et par conséquent multiplier tout d'un coup un nombre par le rapport de deux nombres donnés.

1° Multiplier 15 par |. Amenez le 3 de la réglette sous le 15 de la règle; lisez ensuite 4 sur la réglette; en regard sur la règle, vous trouverez le nombre cherché 20. Car en opérant ainsi, du logarithme de 15 on retranche le logarithme de 3, et on ajoute celui de 4.

2 # Multiplier 13 par f|. Amenez le nombre 47 lu sur la réglette sous le nombre 13 lu sur la règle; lisez ensuite 28 sur la réglette et regardez sur la règle le nombre correspondant; vous trouverez à peu près 7,74.

3° Calculer ^ ^ ,087 ° . On calculera la quantité

9,5 *,^.f ,75 > d » x foi 8 P ms grande que la précédente. Ame- 4,b3

nant 4,63 sous 9,54 et lisant sur la règle le nombre qui se trouve en regard de 8,75, on trouve à peu près 18,04. Le nombre cherché est donc 1,804. Mais on ne peut pas compter sur l'exactitude du dernier chiffre.