CHAPITRE IL
174. On appelle rapport de deux grandeurs de même espèce le nombre qui exprime combien de fois Fa première contient la seconde et combien de parties de la seconde.
En d'autres termes, le rapport de deux grandeurs de même espèce est la mesure de la première quand on* prend la seconde pour unité.
Par exemple, si la première grandeur contient trois fois la seconde exactement, le rapport est le nombre entier 3.
Si la première grandeur contient trois fois la cinquième partie de la seconde, le rapport est la fraction j|.
Si la première grandeur contient quatre fois la seconde, plus trois fois la cinquième partie de la seconde, le rapport est le nombre fractionnaire k -f |.
175. Lorsque deux grandeurs ont été mesurées au moyen d'une même unité, le rapport de ces deux grandeurs est égal au quotient des deux nombres qui les mesurent.
Nous pouvons remarquer en effet que le quotient indique combien de fois le dividende contient le diviseur et combien de parties du diviseur. Supposons d'abord que le quotient soit un nombre entier 3; le diviseur multiplié par 3, ou répété trois fois, donne le dividende; donc le dividende contient trois fois le diviseur, et par conséquent le rapport du dividende au diviseur est le quotient 3.
Supposons maintenant que le quotient soit une fraction |« Le dividende est toujours égal au produit du diviseur par le quotient. Or, multiplier le diviseur par la fraction §, c'est répéter trois fois ta cinquième partie du diviseur; donc le dividende contient trois fois la cinquième partie du diviseur et par conséquent le rapport du dividende au diviseur est encore le quotient |.
De même, si le quotient est un nombre fractionnaire 4 + g, le dividende, qui est égal au produit du diviseur par le quotient, contient 4 fois le diviseur plus trois fois la cinquième partie du diviseur : le rapport est 4+|.
Ainsi, d'une manière générale, le quotient exprime le rapport de la quantité dividende à la quantité diviseur. C'est pourquoi Ton a adopté le signe de la division, le trait horizontal, pour indiquer le rapport de deux quantités. On écrit au-dessus la première quantité, ou le numérateur, au-dessous la seconde quantité, ou le dénominateur. Par exemple, le rapport du nombre 5 au nombre 7 s'écrira * ; le rapport
de | à | s'écrira ^ ; le rapport de5-r-fà2 + | s'écrira \.
Le rapport de deux nombres fractionnaires peut toujours être ramené à celui de deux nombres entiers. Soit le rapport de 5 -f \ à 2 -f ou de f à f ; si l'on réduit ces deux fractions au même dénominateur, or a le rapport de 69 douzièmes à 26 douzièmes; mais ce rapport est évidemment égal à celui des nombres entiers 69 et 26. De cette manière,
le rapport proposé * se met sous la forme d'une fraction
ordinaire |î.
Propriétés des rapports.
170. Une fraction ordinaire exprime le rapport de deux nombres entiers, le rapport de son numérateur à son dénominateur. 11 est aisé de voir que les propriétés fondamen-
talcs des fractions ordinaires s'étendent aux rapports en général.
Il résulte de la notion même du rapport que, lorsqu'on rend le numérateur d'un rapport un certain nombre de fois plus grand ou plus petit, la valeur de ce rapport devient le même nombre de fois plus grande ou plus petite, et que, par conséquent, si Ton multiplie le numérateur d'un rapport par un nombre quelconque, entier ou fractionnaire, la valeur du rapport est multipliée parle même nombre.
Il resuite aussi de la notion du rapport que, si Ton rend le dénominateur un certain nombre de fois plus grand ou plus petit, la valeur du rapport devient le même nombre de fois plus petite ou plus grande, et que, par conséquent, si Ton multiplie le dénominateur par un nombre quelconque, entier ou fractionnaire, la valeur du rapport est divisée par le même nombre.
On conclut de là que la valeur d'un rapport ne change pas quand on multiplie ses deux termes par un même nombre. Car le rapport, étant ainsi multiplié et divisé par le même nombre, conserve la même valeur.
De même, la valeur d'un rapport ne change pas, quand on divise ses deux termes par un même nombre.
1X7. On sait que l'on obtient le produit de deux fractions ordinaires en les multipliant terme à terme. On effectuera de même le produit de deux rapports en les multipliant terme à terme.
Soient les deux rapports
je dis que l'<
on a l'égalité
(3 + î)x(0 + ff
En effet, si Ton met les nombres fractionnaires sous forme de fractions ordinaires, les rapports proposés s'écrivent
li) a.
la valeur du premier rapport étant le quotient de son numérateur^ par son dénominateur on obtiendrai valeur de ce rapport en multipliant la fraction dividende par la fraction diviseur renversée, ce qui donne la fraction ordinaire
on obtiendra de même la valeur du second rapport en divisant la fraction ^ par ^, ce qui donne la fraction ordinaire
Les valeurs des deux rapports étant exprimées par des fractions ordinaires
il est aisé d'en faire le produit; il suffit de multiplier ces deux fractions terme à terme. Ainsi le produit demandé est la fraction ordinaire
Le calcul de l'expression
conduit au même résultat. En mettant les nombres fractionnaires sous forme de fractions ordinaires, comme précédemment, on a d'abord
( ?) x ff)
Le numérateur est le produit des deux fractions ordinaires
^elÇ; de même le dénominateur est le produit des deux fractions ? et ^ ; en affeclant ces multiplications, on a
il faut maintenant diviser la fraction numérateur par la fraction dénominateur ^~ y ^, ce qui donne la fraction ordinaire
Cette fraction est égale à celle trouvée précédemment; car elle n'en diffère que par Tordre des facteurs au numérateur et au dénominateur,
Ainsi les deux expressions
«+| Mj (8 + l )x(5+f) 3 + i 6 + |' (3 + i)x(6 + |)
conduisent au même résultat et sont égales entre elles. On en conclut que le produit de deux rapports est un nouveau rapport ayant pour numérateur le produit des numérateurs, et pour dénominateur le produit des dénominateurs.
11 en résulte que l'on divise un rapport par un autre en multipliant le premier par le second renversé.
On élève un rapport au carré ou au cube en élevant ses deux termes séparément à cette puissance.
On extrait la racine d'un rapport en extrayant la racine de ses deux termes.
%7 H. On appelle rapports inverses deux rapports composés des deux mêmes termes, mais disposés en ordre inverse. Ainsi les deux rapports | et | sont inverses l'un de l'autre. H est clair que le produit de deux rapports inverses est égal à un.
Dans uue suite de rapports égaux , la somme des numérateurs et celle des dénominateurs forment un rapport égal aui premiers.
17tl. Soient les trois rapports égaux
Je dis que la somme des numérateurs et celle des dénominateurs forment un nouveau rapport
égal à chacun des rapports proposés. En effet, chacun des rapports proposés est égal à la fraction |, ce qui signifie que le numérateur 9 du premier rapport est égal aux trois cinquièmes de son dénominateur 45; que de même le numérateur 42 du second rapport est égal aux trois cinquièmes de son dénominateur 20, et que le numérateur 21 du troisième rapport est égal aux trois cinquièmes de son dénominateur 35.
Or, imaginons que l'on veuille prendre les trois cinquièmes de la somme
des trois dénominateurs; il est clair que Ton obtient les trois cinquièmes de la somme de plusieurs quantités, en prenant les trois cinquièmes de chacune d'elles; mais les trois cinquièmes de chaque dénominateur, c'est le numérateur correspondant; on aura donc la somme des numérateurs
Ainsi la somme des numérateurs 9 + 42 + 24 est égale aux trois cinquièmes de la somme des dénominateurs 45 + 20 + 35, donc le rapport
est égal à la fraction |, comme chacun des rapports proposés.
Notioos générales sur les grandeurs qui varient dans le même rapport ou dans un rapport inverse. — Solution, par la méthode dite de réduction à l'unité, des questions les plus simples dans lesquelles on considère de telles quantités. — Mettre en évidence les rapports des quantités de même nature qui entrent dans le résultat final , et en conclure la règle générale à suivre pour écrire immédiatement la solution demandée.
ISO. Dans la plupart des questions de mathématiques, on a à considérer deux quantités qui dépendent Tune de l'autre. Si, quand l'une devient un certain nombre de fois plus grande, l'autre devient le même nombre de fois plus grande, on dit que ces deux quantités varient dans le même rapport ou sont proportionnelles.
Par exemple, le prix d'une certaine quantité de blé dépend de la quantité que l'on achète. Si Ton achète une quantité deux fois plus grande, la somme à payer deviendra deux fois plus grande. Si Ton achète une quantité trois fois plus grande, la somme à payer deviendra trois fois plus grande. En général, la quantité et la valeur varient dans le même rapport t ce qu'on exprime en disant que la valeur est proportionnelle à la quantité.
Considérons une locomotive en mouvement uniforme, c'està-dire parcourant le même espace dans le même temps; dans ce cas, on appelle vitesse le nombre de mètres parcourus en une seconde. L'espace parcouru par la locomotive dépend évidemment du temps que l'on considère; dans un temps deux fois plus grand, elle parcourra un espace deux fois plus grand; dans un temps trois fois plus grand, un espace trois fois plus grand ; l'espace parcouru et le temps varient donc dans le même rapport ; en d'autres termes, l'espace parcouru est proportionnel au temps.
fi$t. Quelquefois, quand l'une des quantités devient un certain nombre de fois plus grande, l'autre devient le même nombre de fois plus petite. Dans ce cas, on dit que les deux quantités varient dam un rapport inverse ou sont inversement proportionnelles.
Par exemple, la quantité de blé que l'on peut acheter avec une somme déterminée dépend du prix de la mesure de blé. Si la mesure coûte deux fois plus, avec la même somme d'argent on ne pourra acheter qu'une quantité deux fois plus petite. Si la mesure coûte trois fois plus, on ne pourra acheter qu'une quantité trois fois plus petite. Ainsi, la quantité de blé que Ton peut acheter avec une même somme d'argent et le prix de la mesure varient dans un rapport inverse.
Considérons le temps employé par une locomotive marchant uniformément pour aller d'une station à une autre. Ce temps dépend de la vitesse de la locomotive : si la locomotive marche avec une vitesse deux fois plus grande , elle mettra, pour parcourir la même distance, un temps deux fois plus petit; si elle marche avec une vitesse trois fois plus grande, elle mettra un temps trois fois plus petit. Ainsi, le temps que met la locomotive à parcourir une certaine distance et la vitesse varient dans un rapport inverse.
1M. Souvent une quantité dépend à la fois de plusieurs autres. Par exemple , le poids d'une plaque de fer, d'une certaine épaisseur, dépend de la longueur et de la largeur de la plaque. Si la longueur devient deux fois plus grande, la largeur restant la même , le poids devient deux fois plus grand. De même, si la largeur devient deux fois plus grande, la longueur ne changeant pas , le poids devient aussi deux fois plus grand. Ainsi le poids varie dans le même rapport que la longueur et la largeur. Le poids de la plaque dépend aussi de son épaisseur : quand l'épaisseur devient deux fois plus grande, la longueur et la largeur restant les mêmes , le poids devient deux fois plus grand. On dira donc que le poids d'une plaque de fer est proportionnel à sa longueur, à sa largeur et à son épaisseur.
La longueur que l'on peut recouvrir sur une route dépend de la quantité de pierres dont on dispose et de l'épaisseur de la couche que l'on veut former. Avec une quantité de pierres double, l'épaisseur restant la même, on peut recouvrir une longueur double. Mais si Ton donne à la couche une épaisseur
deux fois plus grande, la même quantité de pierres ne pourra recouvrir qu'une longueur moiHé moindre. Ainsi, la longueur recouverte varie dans le même rapport que la quantité de pierres et dans le rapport inverse de l'épaisseur de la couche.
193. Les questions dans lesquelles il entre des quantités qui sont dans le même rapport ou dans un rapport inverse peuvent être résolues par un méthode très-simple , dite de réduction à l'unité. Quelques exemples feront bien comprendre l'esprit de cette méthode.
Problème I. 6 hectolitres de blé ont coûté 150 francs. Combien coûteront 10 hectolitres?
puisque 6 hectolitres coûtent 150 francs, un hectolitre coûte six fois moins,
soit — ou 25 francs; 10 hectolitres coûteront dix fois plus, soit 25 X 10 ou
250 francs.
On dispose le raisonnement de la manière suivante : 6 hectolitres coûtent. . 150 fr.
i la «f
Dans cette question, on a à considérer la quantité de blé et le prix. Le prix varie dans le même rapport que la quantité. On connaît le prix de 6 hectolitres et on demande celui de 10 hectolitres. Nous remarquons que pour trouver U prix de ta seconde quantité, il suffit de multiplier le prix de lapre-
mière quantité, 150 francs, par le rapport — de la seconde quantité à la première .
Problème II. Une locomotive, marchant uniformément, parcourt 3000 mètres en 5 minutes. Quelle distance parcourt-elle en 7 minutes?
En 5 minutes la locomotive parcourt 3000 mètres ', en 1 minute, elle parcourt une distance cinq fois plus petite, soit ou 600 mètres. En 7 mi-
nutes, elle parcourt une distance sept fois plus grande que la disiance par* courue en une minute, soit 600 X 7 ou 4200 mètres. On écrira :
En 5 minutes, la distance parcourue est 3000 mètres,
En 1
En 7.
Dans cette seconde question, on a à considérer deux sortes de quantités, le temps et le chemin parcouru. La distance parcourue et le temps varient dans le même rapport. Nous remarquons que l'on obtient la distance cherchée en
multipliant la distance connue, 3000 mètres, par le rapport -du second temps au premier.
Problème III. Avec une certaine somme d'argent, on a acheta 1200 hectolitres de blé, le prix de l'hectolitre étant à 9 francs. Quelle quantité de blé pourra-l-on acheter avec la même somme, le prix de l'hectolitre s'étant élevé à li francs?
Quand Vhectolitre coûte 9 francs, on a acheté 1200 hectolitres de blé pour une certaine somme d'argent. Si Vhectolitre ne coûtait que 1 franc, on aurait une quantité de blé neuf fois plus grande pour la même somme, soit 1200X9 h. Mais Vhectolitre coûtant li francs, on en aura une quantité onze fois plus
petiUt << ,i/ ii00 j X9 =:981\8 > à un dixième près.
Dans cette question, on a à considérer deux sortes de quantités : le prix de Vhectolitre, et la quantité de blé que Von peut acheter avec une même somme d'argent. La quantité et le prix de Vhectolitre varient dans un rapport inverse. Nous remarquons que Von obtient la quantité de blé cherchée en
multipliant la quantité connue, 1200 h. f par le rapport - de l'ancien prix au nouveau.
v Prorlème IV. Une locomotive qui se meut uniformément avec une vitesse de i0 mètres par seconde a mis 20 minutes pour aller d'une ville à une autre. Quel temps mettra-t-elle à parcourir la même distance si elle marche avec une vitesse de d 3 mètres par seconde.
La locomotive marchant avec une vitesse de 10 mètres par seconde a mis *0 minutes pour aller d'une ville à Vautre. Si elle marchait avec une vitesse de 1 mètre par seconde, elle mettrait un temps dix fois plus grand, Mil
20X10 minute*. Marchant avec une viteste de 13 mètres, elle mettra un
temps 13 foit plut petit, toit * minutes, ou 15»23».
Dans cette question, on a à considérer la vitesse de la locomotive et le temps qu'elle met à parcourir une même distance. Ces deux quantités varient dans un rapport inverse. On obtient le temps cherché en multipliant le temps
connu, 20 minutes, par le rapport •— de Vancienne vitesse à la nouvelle.
184. Ce qui précède nous permet de formuler une règle générale pour résoudre immédiatement toutes les questions dans lesquelles on n'a à considérer que des quantités qui varient dans le même rapport ou dans un rapport inverse. La question peut être posée en ces termes : Une quantité dépend d'une autre; on connaît la valeur de la première, qui correspond à une certaine valeur de la seconde; celle-ci change et prend une autre valeur. Que devient la première quantité?
11 y a deux cas à distinguer : si les deux quantités varient dans le même rapport, on multiplie la valeur connue de la première quantité par le rapport des deux valeurs de la seconde, rapport de la nouvelle valeur à l'ancienne, et l'on aura ainsi la nouvelle valeur de la première quantité. Si les deux quantités varient dans un rapport inverse, on multipliera encore la valeur connue de la première quantité par le rapport des deux valeurs de la seconde, mais on prendra le rapport en ordre inverse, c'est-à-dire de l'ancienne valeur à la nouvelle.
Ainsi, dans le problème H, l'espace parcouru par la locomotive et le temps varient dans le même rapport; pour avoir le nouvel espace, on a multiplié l'espace connu 3000™ par le rapport g des temps, rapport du nouveau 7 à l'ancien 5.
Dans le problème IV, le temps mis par une locomotive à parcourir une certaine distance et la vitesse varient dans un rapport inverse. Pour avoir le temps cherché, on a multiplié le temps connu, 20 minutes, par le rapprt J§ de l'ancienne vitesse 10 à la nouvelle 13.
Nous allons appliquer cette règle à des exemples plus compliqués.
RAPPORTS. f- 173
Problème V. Une plaque de fer de 1">,20 de longueur sur 0-,43 de largeur pèse iOO kilogrammes. Combien pèsera une plaque de fer de même épaisseur, mais ayant 4«n,70 de longueur sur 0^,65 de largeur?
Le poids de la plaque dépend à la fois de sa longueur et de ta largeur. Faisons d'abord varier sa longueur et cherchons ce que pèse une plaque de 1»,70 de longueur sur 0 ra ,43 de largeur. La largeur restant la même, le poids varie dans le même rapport que la longueur. Il faudra donc multiplier le
poids connu 100 kiL, par le rapport^, de la nouvelle longueur à V ancienne,
ce qui donne
ioox^°.
Faisons maintenant varier la largeur et cherchons ce que pèse une plaque de 1»,70 de longueur sur 0">,G5 de largeur. La longueur restant la même, le poids varie dans le même rapport que la largeur ; il faudra donc multiplier
le poids précédent par le rapport de la nouvelle largeur à r ancienne, ce
qui donne pour le poids cherché
Problème VI. Une plaque de fer de l m ,20 de longueur sur 0 ra ,43 de largeur et 0 a, ,025 d'épaisseur, pèse 100 kilogrammes. Combien pèsera une plaque de fer de l m ,70 de longueur, sur O m ,65 de largeur et O m ,OI8 d'épaisseur?
Le poids de la plaque dépend de la longueur, de la largeur et de Vépaisseur, et il varie dans le même rapport que chacune de ces trois quantités. Il faudra donc multiplier le poids connu par le rapport des longueurs, par celui des largeurs et par celui des épaisseurs, en prenant chaque rapport dans Vordre direct, c'est-à-dire de la nouvelle valeur à l'ancienne. On aura ainsi pour le poids cherché
1»™ 0,65 0,018 JNI ,00X îîô >< ô!43 >< ô^5 = ,Ml ' 19 -
Problème Vil. Avec 450 mètres cubes de pierres, on a recouvert sur une route une longueur de 240 mètres, en donnant à la couche de pierres une épaisseur de 0 m ,15. Quelle longueur pourra-t-on recouvrir avec 300 mètres cubes de pierres, mais en donnant à la couche une épaisseur de 0 m ,20?
17i LIVRE IV. — CÎÏÀPITRE If.
La longueur que Von peut recouvrir varie dan$ te même rapport que la quantité de pierres, mais dans un rapport inverse avec l'épaisseur de la couche. Il faudra donc multiplier la longueur connue 240 mètres, par le rapport de la nouvelle quantité de pierres à l'ancienne, et par le rapport de Vancienne épaisseur à la nouvelle. On trouve ainsi pour la longueur cherchée
185. Il faut examiner avec beaucoup de soiu si les quantités de différentes sortes qui entrent dans la question varient bien dans le même rapport ou en rapport inverse. Soit, par exemple, la question suivante : Une pierre en tombant ' pendant trois secondes parcourt 44 mètres. Quel espace parcourrat-elle en tombant pendant 5 secondes? L'expérience démontre que dans la chute des corps, l'espace parcouru en 2 secondes est 4 fois plus grand que l'espace parcouru dans la première seconde; que l'espace parcouru en 3 secondes est 9 fois plus grand ; en un mot, que l'espace parcouru ne varie pas comme le temps, mais comme le carré du temps. Pour résoudre la question proposée, on multipliera donc l'espace donné, 44 mètres, non par le rapport | des temps, mais par le carré
de ce rapport, ce qui fait 44 x 2 | = 122 mètres.
Proposons-nous encore la question suivante : le soleil, 3 heures après son lever, est à 20 degrés au-dessus de l'horizon. A quelle hauteur sera-t-il 5 heures après son lever? La hauteur du soleil au-dessus de l'horizon ne croît pas dans le rapport du temps, puisqu'après s'être élevé jusqu'à midi il s'abaisse ensuite du côté de l'ouest. Le calcul est beaucoup plus compliqué.
Intérêts simples.
186. Toute valeur s'appelle un capital; on évalue les capitaux au moyen de l'unité de monnaie, qui est le franc.
Lorsque le propriétaire d'un capital en cède la jouissance, il exige, en échange de cette jouissance, un bénéfice que l'on nomme intérêt; le taux de l'intérêt est ce que rapporte le capital cent francs par an.
RAPPORTS. 175r
Pour combattre l'usure, la loi en France a fixé un maxi^ mum du taux de l'intérêt; ce maximum est 5 pour 400 par an dans les transactions ordinaires, 6 pour 100 dans le commerce.
Ordinairement l'intérêt d'un capital se paye chaque année et constitue une rente annuelle.
Problème VIII. Quelle est la rente produite par un capital de 42648 francs, placé à 5 pour 400 par an ?
Puisque 100 fr. rapportent 5 fr. par an, le capital 1 franc rapportera 100
fois moins, soit — ; le capital 12648 fr. rapportera 12648 fois plus, soif
ItO 100 *
Problème IX. Quelle est la rente produite par un capital de C87f,50, placé à 4',25 pour 100 par an ?
Puisque 100 fr, rapportent 4,25 par an, 1 fr. rapporte Pour
avoir l'intérêt d'un capital quelconque, il faut évidemment mutitiplier Vintérêt de \ fr. par ce capital. Le capital 687,50 rapportera dtme
100 ~ ioo — ^
en négligeant les millièmes. Ainsi :
Pour calculer Vinlérèl annuel d'un capital donné, on multiplie le capital par le taux et on divise par *©0.
On divisera par 100 en reculant la virgule de deux rangs vetts la gauche.
Problème X. Quel est l'intérêt de 12G48 fr., plac és à 5 pour 100 par an pendant 8 mois?
19648 X 5 - 0 . Jt
L intérêt d un an est . Puisque 8 moi s sont les • — d un an, im-
térêt de 8 mois sera les --- de l'intérêt d'un an, soit
Problème XI. Quel est l'intérêt de 6875 fr., placés à 4f,25 pour 400 par an pendant 90 jours?
Intérêt d'un an ou de 365 jour*. . ' ,
6875X4,25 d Uni0Ur - ' ' ' 100X365 *
6875 X 4,25 X 90 AK rf < 90 100X365 =72>05 -
Problème XII. Quel est le capital qui, placé à 5 pour 400 par an, produit une rente de 854 f r. ?
avoir 5 fr. de rente, il faut un capital de 100 fr.; pour avoir une rente double il faut un capital double. Le capital variant dans le même rap~
port que la rente, on multipliera le capital 100 fr. par le rapport -g- aes rentes, ce qui donne
100 X ^ = 17080 fr.
Problème. XIII. Quel est le capital qui, placé à 4r,75 pour 1*00 par an, produit une rente de 342f,60 ?
On multipliera de même le capital 100 fr. par le rapport -p^- des rentes, ce qui donne
Problème XIV. Quel est le capital qui, placé à 4f,50 pour iOO par an, rapporte 500 fr. en 228 jours?
Le capital 10O francs, in 228 jours, rapporte 1^1^??. Pour avoir le
capital demandé , on multipliera le capital 100 francs par le rapport de V intérêt 500 franct qu'il doit produire en 228 jours, à Vintérêt de 100 fr. pendant le même ten ips. On a ainsi
Problème X" V. A quel taux faut-il placer un capital de 5680 francs poi ar qu'il produise une rente de 26if,28? Chercher le tôt 'x de r intérêt, c'est chercher ce que rapporte 100 fr. en un
RAPPORTS. 177 an. Puisque l'intérêt varie dans le même rapport que le capital, on multipliera
l'intérêt donné 261,28 par le rapport des capitaux, ce qui fait
Il faut donc placer le capital à 4,60 pour 100 par an.
Problème XVI. Un capital de 6875 fr. a rapporté 72',05 en 90 jours. A quel taux était-il placé?
Cherchons encore ce que rapportent 100 francs en un an. 6875 fr. en 90 jours rapportent. . 72,05
Id. en 365 jours.
jnn*. 72,05X365X100
100 fr. en un an — — — C =4,25.
Problème XVII. Pendant combien de jours faut-il placer un capital de 6875 fr. à 4,25 pour 100 par an pour qu'il rapporte 72,05?
6875 en un an rapportent . .
Id. en un jour
Autant de fois l'intérêt d'un jour sera contenu dans 72,05, autant de jours on aura. Le nombre de jours cherché est donc égal à
6875 x 4,25 "~ Wjourt -
Problème XVIII. Trouver l'intérêt d'un capital de 12648 fr. placé à intérêt simple à 5 pour 100 par an pendant 4 ans et 140 jours.
Habituellement, l'emprunteur paye chaque année l'intérêt du capital. S'il n'en est pas ainsi, si l'emprunteur ne paye l'intérêt qu'après un certain nombre d'années, on peut cal- . culer l'intérêt total d'après deux conventions différentes. Ou bien on convient que le capital restera le même pendant toute la durée du placement, de sorte que l'intérêt de plusieurs années égale l'intérêt d'un an répété un certain nombre do
fois : c'est là ce qu'on appelle intérêt simple. Ou bien à la Ûn de chaque année on ajoute au capital les intérêts de cette année, pour former un nouveau capital produisant intérêt pendant L'année suivante. Ainsi, à la fin de la première année, on ajoute au capital primitif les intérêts de cette première année, ce qui donne un nouveau capital produisant intérêt pendant la seconde année; on ajoute à ce second capital les intérêts de la seconde année, ce qui donne un nouveau capital produisant intérêt pendant la troisième année, et ainsi de suite. De cette manière, le capital augmente d'année en année : c'est là ce qu'on appelle prendre les intérêts composés. Nous n'avons pas à nous occuper des questions qui se rapportent aux intérêts composés; nous nous bornerons aux intérêts simples.
Intérêt d'un an 126 ^ X S = 632,40.
Intérêt de A ans 632,40X4 = 2329,60
Intérêt de 140 jourt = ***,56
L'intérêt de 4 ans et 140 jours égale 2772,46
Problème XIX. Pendant combien de temps faut-il placer un capital de 12648 fc, à intérêt simple à 5 pour 100 par an, pour qu'il produise 2772 f ,16?
En un an le capital produit — Autant de fois Vintérêt d'un an
sera contenu dans 2772,16, autant d'années nous aurons. Le temps cherché est donc
On trouve 4 ans, plus une fraction d'année.
On convertira cette fraction d'année en jours, en la multipliant par ce qui donne
Ainsi la durée du placement est 4 ans et 1 40 jours.
Formule générale qui fournil la solution de toutes les questions relatives
aux intérêts simples.
487. Désignons par la lettre a le capital placé, par la lettre r l'intérêt de un franc en un an, c'est-à-dire le taux divisé par 100, par n la durée du placement exprimée eu prenant Tannée pour unité; enfin appelons 6 l'intérêt produit. Puisque un franc produit un intérêt r en un an, le capital a francs -produira un intérêt rxoouoxren un an; en n années, ce même capital produira un intérêt n fois plus grand, soit axrxn; on a donc la formule suivante
b=axrxn.
Cette formule établit une liaison entre les quatre quantités a, r, n , b. Elle permet, quand on connaît trois quelconques d'entre elles, de calculer la quatrième. On peu.t donc se proposer sur les intérêts simples quatre questions différentes.
4* Question. Quel intérêt produit un capital donné, placé à un taux donné pendant un temps donné?
On se servira de la formule telle qu'elle est écrite plus haut. On multipliera le capital par le taux de 1 franc, et par la durée du placement.
Prenons comme exemple le problème XVIII. On fera dans la formule a = 12648 , r= 0,05, n=4-f^!j, ce qui donne h = 1 2648 X 0,05 X (4+^)=2772,l 6 .
2« Question. Quel est le capital qui, placé à un taux donné, produit un intérêt donné dans un temps donné?
C'est le capital a qui est la quantité inconnue; en divisant par r et par n, la formule donne
rxn
Il faudra donc diviser l'intérêt donné par le taux pour 4 franc et par la durée du placement.
Appliquons au problème XIV. On fera 6 = 500, r= 0,045, n=^> ce qui donne
500 500X365 ™ ft - fKA
3 e Question. A quel taux faut-ii placer un capital donné, pour qu'en un temps donné il produise un intérêt donné?
L'inconnue est ici r. Divisant par a et par n, on aura la formule
r=— — axn
11 faut donc diviser l'intérêt par le capital et le temps, puis multiplier le résultat par 100.
Appliquons au problème XVI. Nous ferons a =6875, 6=72,05, n=j» ; d'où
Tel est l'intérêt de 1 franc en un an; en le multipliant par 100, on a le taux demandé 4,25.
4 - Question. Pendant combien de temps faut-il placer un capital donné à un taux donné, pour qu'il rapporte un intérêt donné ?
L'inconnue est n; en divisant par a et par r, la formule s'écrira
axr
On divisera l'intérêt par le capital et par le taux pour 1 franc.
Si l'on applique au problème XIX, on fera 6=2772,16, 0=12648; r=0,05; d'où l'on déduit
On convertira ensuite en jours cette fraction donnée, comme nous l'avons expliqué précédemment.
Rente* mnr l'Étal.
«88. La dette publique est de plusieurs sortes. Le quatre et demi pour cent est un titre portant un capital nominal de 100 fr., et produisant 4 f ,50 de rente. Le trois pour cent est un
titre portant un capital nominal de 100 fr., et produisant 3 fr. de rente.
Problème XX. Une personne achète du 4 et demi pour cent au cours de 95 fr. A quel taux place-t-elle son argent?
Acheter du 4 - pour cent au court de 95 fr. t fett acheter pour 95 fr.
une rente de 4,50. On dira donc le capital 95 fr. produit une rente de 4,50
le capital 100 fr -^-^ = 4,737.
On place donc son argent à 4,737 pour cent par an.
Problème XXI. Combien coûtent 500 francs de rente 3 pour
cent, au cours de 70 f r. ?
3 fr. de rente coûtent. ... 70 fr.
Problème XXII. Si le 4 + 1 pour cent est à 95 fr., quel doit être le cours correspondant du 3 pour cent?
4,50 de rente coûtent .... 95 fr.
4,oU
189. Dans le commerce, on appelle billet ou effet une obligation par laquelle un négociant s'engage à payer une certaine somme à une époque déterminée.
Il est clair que la valeur actuelle d'un billet est moindre que la somme inscrite sur le billet, laquelle n'est exigible qu'au jour de l'échéance. Lorsque le détenteur d'un billet veut réchanger contre de l'argent comptant, il s'adresse ordinairement à un banquier, qui lui fait subir une retenue que Ton nomme escompte.
Le taux de l'escompte est la retenue que l'on fait subir à un billet de 100 francs payable dans un an. Ainsi, si le taux de l'escompte est de 6 pour 100 par an, le banquier fera subir à un billet de 100 francs payable dans un an une retenue de
fi francs; en échange de ce billet, il donnera donc 94 francs comptant.
Problème XXlîf. Escompter à 5 pour 100 par au un billet de 3780 francs payable dans 90 jours.
Escompte de 100 fr. pour un an 5 fr.
Eteompte de 3780 pour 90 jours **wxmT = 46 ' 60 '
Le banquier fera subir au billet une retenue de 46,60 ; il donnera donc en échange du billet une somme de 3733,40.
Règle. Pour trouver l'escompte commercial, on opère comme si Von calculait l'intérêt de la somme inscrite sur le billet depuis le moment actuel jusqu'à l'échéance.
Partager une somme en parties proportionnelles à des nombres donnés. —
Exercices.
ÎOO. On dit que des nombres sont proportionnels à d'autres nombres, lorsque le rapport d'un nombre quelconque de la première série au nombre correspondant de la seconde série est le même. Ainsi les trois nombres 20, 30, 50 sont proportionnels aux trois nombres 2, 3* 5, puisque le rapport de 20 à 2 est le même que celui de 30 à 3 et que celui de 50 à 5. Le rapport est 10.
Soit à partager le nombre 100 en trois parties proportionnelles aux nombres 2, 3, 5. On voit immédiatement qu'il suffit de le diviser en 2 + 3 -f 5, c'est-à-dire en 10 parties égales, puis de prendre successivement 2, 3, 5 de ces parties. La dixième partie de 100 est 10; si l'on prend 2, 3, 5 de ces parties, on obtient les trois nombres demandés 20, 30, 50.
191. Un grand nombre de questions se rapportent au partage d'une somme en parties proportionnelles à des nombres donnés. En voici quelques exemples :
Problème XXIV. Trois négociants se sont associés : le premier a mis dans la société 42000 fr., le second 10500 fr., le
troisième 7840 fr. A la fin de Tannée les bénéfices s'élèvent à 6375 fr. Partager ce bénéfice proportionnellement aux mises.
Le capital tocial ou la somme des mises est 30340 ft. Ce capital a pro-
duit un bénéfice de 6375 fr. ; à une mise d'un franc il revient donc II
euffit maintenant, pour avoir la part de chaque associé, de multiplier le bénéfice d'un franc par sa mise de fonds. Ainsi :
Part dui" — = 2521 ,42
j 6375 X 10500 aana a „
- du * me - 30340 =22 ° 6 '* 5
6375X7840 aii qq
Il se présente ici une vérification ; en additionnant les parts, on doit reproduire le bénéfice total
Problème XXV. Trois associés ont fait un bénéfice de 4250 fr. Le premier a mis dans la société 3000 fr. pendant 6 mois, le second 4000 fr. pendant 8 mois, le troisième 2000 frpendant 10 mois. Partager le bénéfice proportionnellement au temps et au montant de chaque mise.
Le premier a mis 3000 fr. pendant 6 mois ; c'est comme s'il avait mis 3000X6= 18000 fr. pendant un mois.
Le second a mis 4000 fr. pendant 8 mois : c'est comme s'il avait mis 4000 X 8 = 32000 fr. pendant un mois.
Le troisième a mis 2000 fr. pendant 10 mois; c'est comme s'il avait mis 2000 x 10=20000 fr. pendant un mois.
La question est ainsi ramenée au problème précédent. On peut supposer que les trois associés aient mis dans la société, le premier 18000 fr., le second 32000, le troisième 20000, pendant le même temps : il faut répartir le bénéfice proportionnellement aux mises.
1250X18000 Mt im P^rtduUr - 70 000 = 8 * M3
— d«2«e If^L^r = 571,43
— du 3«n« — — — =357,14
Questions sur les mélanges et les alliages.
Problème XXVI. On mélange 80 litres de vin à 50 c le litre avec 100 litres de vin à 35 e le litre. Quelle sera la valeur d'un litre de mélange?
80 litre* du 4« vin valent. . 0,50X 80=40 fr.
100 2nw 0,35X100=85
1 80 titre* de mélange valent . 40+35 =75
i litre de mélange vaut. ■ . — =0,4i7 à un demi-millième prêt.
1 oïl
Problème XXVII. Dans quel rapport faut-il mélanger deux vins qui valent, l'un 45 c le litre, l'autre 33 e , afin d'obtenir un mélange valant 40 e le litre?
récris le* prix des deux vin* à mélanger Vun au-dessous de l'autre, et en regard à gauche le prix du mélange.
Je prend* la différence entre le nombre 40 et le* deux nombre* 45 et 33, et f écris le* différence* 7 et 5 en croix. Je dis qu'en mélangeant 7 litre* du premier vin avec 5 litre* du second, on formera le mélange demandé. En effet, comme on vend le mélange 40 e , chaque litre du premier vin que Von introduit dan* le mélange occasionne une perte de 5 e ; chaque litre du second vin produit au contraire un gain de 7c. Si donc on mélange 7 litres du premier vin avec 5 litres du second, il y aura, d'une part, une perte 5X7, d'autre part un gain 7 x 5. La perte est égale au gain et le mélange vaut bien 40 e le litre.
On indique ordinairement la composition d'un mélange par les quantités des substances mélangées qui entrent dans la composition d'une unité du mé-
l ange. En mélangeant 7 litres du premier vin avec 5 litres du second, on fait
12 litres de mélange. Un litre de mélange est donc formé de — du premier
vin et de — du second.
Problème XXVÎII. Combien faut-il mélanger de vin à 45° le litre et de vin à 33 e pour former 150 litres de mélange à 40 e ?
En appliquant la règle précédente, on trouve que, pour former un litre de
7 5 mélange, il faut prendre — du premier vin et — du second. Pour former
RAPPORTS 485 150 litres de mélange, il faudra prendre des quantités 150 fois plus grandes,
soit
du \" vin |2 = 87,5
du 2 m « vin — — = o2,o
la
Problème XXIX. Combien faut-il mélanger de vin à 45e i e litre avec 28 litres de vin à 33 e , pour former un mélange à 40c?
D'après la règle pratique, on forme le mélange demandé en mélangeant 7 litres du premier avec 5 litres du second.
Avec 5 litres du second vin, il faut mettre 7 litres du premier;
avec 28 litres du second vin — g— = 39,2.
Problème XXX. Combien faut-il mettre d'eau dans 125 litres de vin à 50e, pour que le prix du mélange s'abaisse à 42e?
On peut considérer Veau comme du vin à 0«, et alors la question se traite comme la précédente.
Dans 42 litres de vin, il faut mettre 8 litres d'eau ;
dans 128 = 23,8.
Problème XXXI. On forme le laiton en fondant ensemble 30 kilogrammes de zinc avec 70 de cuivre. Le kilogramme de cuivre valant 2f,70, et le kilogramme de zinc 0,90; on demande le prix du kilogramme de laiton.
Un kil. de laiton étant composé de 0^,7 de cuivre et de 0*,3 de zinc, 0*/7 de cuivre coûtent ...... 2,70X0,7= 1,89,
0k,3 de zinc 0,90X0,3 =0,27,
lk de laiton coûtera 2,16.
Problème XXXII. Le bronze des canons et des statues est formé de 14 parties d'étain et de 100 parties de cuivre. Combien un canon pesant 1200 kil. contient-il de cuivre et d'étain?
Problême XXXIII. Le métal des cloches s'obtient en fondant
ensemble 410 kilog. d'étain avec 390 de cuivre, 5 de zinc et 4 de plomb. Quel poids de ces différents métaux faut-il mettre dans le creuset pour faire une cloche pesant 5000 kil.?
Problème XXXIV. On a fondu ensemble deux lingots d'argent; le premier, au titre 0,92, pèse 4240 grammes; le second, au litre 0,80, pèse 786 gr. On demande le titre du lingot ainsi obtenu.
Les lingots d'argent contiennent ordinairement une petite quantité de cuivre. On appelle titre du lingot la quantité d'argent pur que renferme un gramme du lingot.
Le premier lingot contient . 0,92x1240=1 140,80 d'argent pur. Le second 0,80X 786— 628,80
Le nouveau pèse 2026 gr. et contient. . . 1 769,60 d'argent.
1 gr. du nouveau hngot contient = 0,873 à un demi-
millième prêt. Tel ett le titre du nouveau lingot.
Problème XXXV. On a deux lingots d'argent; l'un au titre 0,95, l'autre au titre 0,76. Dans quel rapport faut-il les allier pour former un lingot au titre de 0,90?
On traitera cette question comme une question de mélange. On écrira le* titres des deux lingots, et en regard le titre de l'alliage ; puis on prendra le* deux différences, que Von écrira en croix.
On prendrai A gr. du premier lingot avec 5 gr. du second. En effet , pour chaque gramme du premier lingot que l'on met dans le creuset, il y a un excès de 0,05 d'argent pur,- pour chaque gramme du second lingot, il y a au contraire un déficit 0,U d'argent pur. Si Von allie 14 gr. du premier lingot avec 5 gr. du second, V excès et le déficit sont égaux, et l'on obtient un nouveau lingot qui est exactement au titre 0,90.
Problème XXXVI. Un lingot d'argent, au titre 0,94, pèse 3450 grammes. Combien faut-il ajouter de cuivre pour que le titre s'abaisse a 0,90?
Le lingot contient 0,91X3450=3243 gr. d'argent pur; pour que le titre
devienne 0,90, il faut que le lingot pèse-— - = 3603b,33. On ajoutera donc
153», 33 de cuivre.
Problème XXXVII. Quelle est la valeur d'un kilogramme d'argent pur, au change des monnaies?
Le titre des monnaies est 0,90. La loi a fixé à 2 francs le prix de fabrication d'un kilogramme d'argent monnayé.
Un kilogramme d'argent monnayé ne renferme que 900 grammes d'argent
pur ; ces 900 grammes valent, non pat 200 francs, puisqu'il gai francs de
frais de fabrication, mais 198 fr. Un kilogramme d'argent pur vaut donc
198X1000 aa/w
== 220 fr.
Problèmb XXXVIII. Combien payerai t-on, au change des monnaies, un vase d'argent au premier titre, pesant 475 grammes?
La loi ne reconnaît que deux titres pour les ouvrages d'argent. Le premier titre est 0,950, le second 0,800. Elle tolère 5 millièmes d'erreur.
