Soit un produit de trois facteurs 5x4x3. Écrivons

le nombre 5 quatre fois sur une même ligne horizontale, et répétons cette ligne trois fois.

Chaque ligne horizontale , se composant du nombre 5 répété quatre fois, vaut 5x4; comme il y a trois lignes, on a en tout 5x4x3. D'autre part, chaque colonne verticale, se composant du nombre 5 répété trois fois, vaut 5x3; comme il y a quatre colonnes, on a en tout 5x3x4. Ainsi, le même tableau, évalué d'une façon ou de Fautre , donne 5 x 4 x 3 ou 5 X 3 x 4. Il en résulte que le produit de trois facteurs ne change pas quand on intervertit l'ordre des deux derniers.

33. Considérons maintenant un produit d'un nombre quelconque de facteurs

Je vais démontrer que Ton peut intervertir deux facteurs consécutifs quelconques. On peut d'abord intervertir les deux premiers; car le produit 5 x 4 ou 4 x 5 de ces deux premiers facteurs étant le même, comme on le multiplie ensuite par les mêmes facteurs 3, 7, 2, on arrivera évidemment au même produit final. On peut de même intervertir le second et le troisième; car le produit 5x4x3 ou 5x3x4 de ces trois premiers facteurs restant le même, comme on le multiplie ensuite par les mêmes facteurs 7 et 2, le produit final ne sera pas changé.

Regardons comme effectué le produit des deux premiers facteurs 5 x 4, ce qui donne

puisqu'on peut intervertir les deux facteurs 3 et 7, qui occupent alors le second et le troisième rang, on pourra les intervertir aussi dans l'expression proposée.

De même , si l'on suppose effectué le produit des trois premiers facteurs, ce qui donne

on voit que Ton peut intervertir Tordre des deux derniers.

Une fois que Ton a établi le changement de deux facteurs consécutifs quelconques, il est aisé de voir que Ton peut disposer les facteurs dans tel ordre qu'on voudra. On veut, par exemple, amener le facteur 2 au premier rang; on le fera d'abord passer au quatrième rang, en changeant Tordre des deux derniers facteurs; on le fera ensuite passer au troisième rang, en changeant Tordre du troisième et du quatrième facteur, et ainsi de suite. Puisqu'on amène chaque facteur à une place quelconque, il est clair que l'on peut disposer les facteurs dans tel ordre que Ton voudra sans changer la valeur du produit.

Pour multiplier un nombre par un produit de plusieurs facteurs, il suffit de multiplier successivement par les facteurs de ce produit.

34. On veut, par exemple, multiplier 5 par le nombre 12, qui est le produit des deux facteurs 4 et 3; ceci revient à multiplier 5 par 4 et le résultat par 3. En effet, si Ton répète le nombre 5 quatre fois, et si Ton répète ensuite le résultat trois fois, il est clair qu'on aura répété le nombre 5 trois fois quatre fois, c'est-à-dire douze fois. Ainsi, au lieu de dire 12 fois 5 font 60, on pourra dire : 4 fois 5 font 20, 3 fois 20 font 60.

Pour mettre ce principe bien en évidence, considérons le tableau suivant :

chaque ligne horizontale contient quatre fois le nombre 5> et il y a trois lignes semblables ; le nombre 5 est donc répété trois fois quatre fois, c'est-à-dire douze fois. Ainsi, on répète le nombre 5 douze fois, en le répétant d'abord quatre fois, puis répétant ce résultat trois fois.

Supposons maintenant que Ton veuille multiplier 5 par le nombre 24 , qui est le produit des trois facteurs 4 , 3, 2; ceci revient à multiplier d'abord par 4, puis par 3 et enfin par 2. En effet, si l'on répète d'abord le nombre 5 quatre fois et le résultat trois fois, on Taura répété douze fois, comme nous

l'avons dit; si l'on répète ensuite le résultat deux fois, on aura répété le nombre 5 deux fois douze fois, c'est-à-dire vingt-quatre fois. Ainsi au lieu de dire 24 fois 5, on dira : 4 fois 5 font 20, 3 fois 20 font 60, 2 fois 60 font 120; donc 24 fois 5 font 120.

On peut aussi démontrer ce principe de la manière suivante : Considérons le produit.

en changeant Tordre des facteurs, ce qui est permis, on écrira

si Ton effectue le produit des deux premiers facteurs, on aura 12x5 ou 5 x 12; donc

On voit par là que l'on multiplie un nombre par 12 en le multipliant successivement par 4 et 3.

Considérons encore le produit

En changeant l'ordre des facteurs, on l'écrira

si Ton effectue le produit des trois premiers facteurs, on aura 24 x 5 ou 5 x 24. Donc

On voit par là que l'on multiplie un nombre par un produit de trois facteurs en le multipliant successivement par chacun d'eux.

Remarques.

35. En général, dans un produit de facteurs, on peut grouper plusieurs facteurs à volonté. D'abord, si les facteurs que Ton veut combiner sont au commencement, comme l'expression elle-même indique qu'il faut les multiplier, on pourra effectuer cette multiplication et remplacer ainsi ces facteurs par leur produit. Si les facteurs ne sont pas au commencement, on supposera qu'ils y soient amenés, et on les remplacera par leur produit; ce produit pourra être mis ensuite à un rang quelconque.

Ces combinaisons de facteurs abrègent singulièrement les

calculs; on demande, par exemple, la valeur du produit

Si Ton effectuait les multiplications dans Tordre indiqué, le calcul serait très-long; mais je remarque que 2 fois 5 font 10, que 4 fois 25 font 100 ; je groupe donc les facteurs 2 et ! 5, 4 et 25, 7 et 9, l'expression proposée se réduit à

Réciproquement, on peut décomposer un facteur en plusieurs autres plus simples. Soit le produit

je remplace 35 par 7 x 5, 15 par 3 x 5, 8 par 2 x 2 x 2,

50 par 5X10, j'ai

51 Ton groupe ensuite chaque facteur 5 avec un facteur 2, le produit se réduit à

36. Lorsque les facteurs d'un produit sont terminés par des zéros, on supprime ces zéros dans le calcul, puis on ajoute à la droite du produit autant de zéros qu'on en a supprimé dans les différents facteurs. Soit, par exemple,

En remplaçant 246000 par 246 x 1000 et 4700 par 47 x 100, on a 246 X 47 X 100000 = 1156200000.

Il suffit de multiplier 246 par 47 et d'ajouter cinq zéros à la droite du produit.

Preuve.

37. On sait que le produit ne change pas quand on change Tordre des facteurs. Quand on aura effectué une multiplication, si Ton veut vérifier les calculs , on recommencera Topération en prenant pour multiplicande le nombre qui servait précédemment de multiplicateur, et réciproquement; on devra retrouver le même résultat.

Exercices.

i° Combien coûtent 6 mètres de drap à 25 francs le mètre? Il faut répéter six fois le prix du mètre ; c'est une multiplication dans laquelle 25 est le multiplicande, 6 le multiplicateur. Réponse : 450 francs.

2<> Un employé reçoit 247 francs par mois. Quel est son traitement annuel?

Le traitement de Vannée est égal à 42 fois le traitement d'un mois; il faut donc multiplier 247 par 12.

Réponse : 2964 francs.

3° Une locomotive parcourt 13 lieues par heure. Quelle distance parcourra-t-elle en 7 heures?

Il est clair qu'elle parcourt en 7 heures une distance 7 fois plus grande que celle qu'elle parcourt en une heure; il faut multiplier 13 par 7.

Réponse : 91 lieues.

4° On sait que le son parcourt 340 mètres par seconde. Le bruit du tonnerre a été entendu 17 secondes après l'apparition de l'éclair. On demande à quelle distance est situé le nuage orageux.

On néglige le temps qu'emploie la lumière produite par l'éclair pour venir du nuage jusqu'à Vœil de l'observateur, temps qui est extrêmement petit. La distance cherchée est le chemin que parcourt le son en il secondes; il faut multiplier 340 par 17.

Réponse : 5780 mètres.

5° On sait qu'il y a 24 heures dans un jour, 60 minutes dans une heure, 60 secondes dans une minute. On demande combien il y a de minutes et de secondes dans un jour.

Réponse : 1440 minutes ou 86400 secondes.

6° Combien y a-t-il de secondes dans 8 heures 42 minutes P>6 secondes?

On réduira d'abord les heures en minutes, 8 heures valent 8 fois 60 minutes ou 480 minutes ; ajoutant les 42 minutes, on a 522 minutes. On réduira ensuite ces minutes en secondes de