CHAPITRE IV

Définition.

. La multiplication consiste à répéter un nombre nommé multiplicande autant de fois qu'il y a d'unités dans un autre nombre nommé multiplicateur. Le résultat s'appelle produit.

Ainsi, multiplier 9 par 5, c'est répéter le nombre 9 cinq fois. 9 est le multiplicande ou le nombre que Ton multiplie ; 5 est le multiplicateur, ou le nombre qui indique combien de fois il faut répéter le multiplicande.

Si Ton a plusieurs monceaux renfermant chacun le même nombre de noix, et si on les réunit en un seul, on fait une multiplication. Le monceau total est \c produit de la multiplication.

La multiplication, comme on le voit, n'est autre chose que l'addition de plusieurs nombres égaux entre eux. Pour multiplier 9 par 5, j'écris donc le nombre 9 cinq fois.

et j'additionne; j'obtiens le produit 45.

Mais si les nombres étaient plus grands, s'il s'agissait, par exemple, de multiplier 258 par 36, l'addition deviendrait très» longue; car il faudrait écrire 36 fois le multiplicande. Je vais expliquer comment on parvient à simplifier l'opération.

Table de multiplication.

33 . Il est nécessaire de savoir d'abord par cœur les produits que l'on obtient en multipliant les neuf premiers nombres les uns par les autres deux à deux; tous ces produits sont inscrits dans la table suivante, dont on attribue l'invention à Pythagore.

Voici comment on forme cette table :

J'écris sur une même ligne horizontale les neuf premiers nombres. J'ajoute chacun de ces nombres à lui-même, en disant : 1 et 1 font 2, 2 et 2 font 4, 3 et 3... 6,4et4.... 8, 5 et 5... 10, 6 et 6... 12, 7 et 7... 14, 8 et 8 .. 16, 9 et 9... 18, et j'écris les résultats dans une seconde ligne horizontale au-dessous de la première. Cette seconde ligne renferme, comme on le voit, les neuf premiers nombres répétés deux fois, c'est-à-dire les produits des neuf premiers nombres par 2.

A la seconde ligne j'ajoute la première, en disant : 2 et 1... 3, 4 et 2... 6, 6 et 3... 9, etc.; et j'écris les résultats dans une troisième ligne horizontale. A deux fois chacun des neuf pre-

miers nombres, j'ai ajouté une fois ces mêmes nombres, j'ai ainsi trois fois ces nombres; la troisième ligne con lient donc les produits des neuf premiers nombres par 3.

A la troisième ligne j'ajoute de même la première, en disant : 3 et 1... 4, 6 et 2.... 8,9 et 3... 42, etc. ; et j'écris les résultats dans une quatrième ligne horizontale. A trois fois chacun des neuf premiers nombres j'ai ajouté une fois ces mêmes nombres, j'ai ainsi quatre fois ces nombres ou leurs produits par 4.

On continuera de la sorte à ajouter aux nombres de la dernière ligne obtenue les nombres correspondants de la première, jusqu'à ce qu'on soit arrivé aux produits des neuf premiers nombres par 9. Alors on s'arrêtera, la table est complète, elle renferme tous les produits que l'on obtient en multipliant les neuf premiers nombres les uns par les autres deux à deux.

Les nombres contenus dans une même colonne verticale sont les produits du nombre placé en tête de celte colonne par chacun des neuf premiers nombres; les nombres contenus dans une même ligne horizontale sont les produits des neuf premiers nombres par le nombre placé en avant. Si donc on veut trouver dans la table un produit, le produit de 7 par 3, par exemple, on regardera la colonne verticale qui commence par 7, et la ligne horizontale qui commence par 3; le nombre 21, placé au point où se croisent les deux lignes, est le produit cherché.

Par analogie, on dit qu'on multiplie un nombre par l'unité quand on écrit ce nombre lui-même ; de cette manière, la première ligne horizontale contient les produits des neuf premiers nombres par l'unité.

Il est nécessaire d'apprendre par cœur la table de multiplication ; on l'énonce ainsi :

2 fois 1.... 2, 2 fois 2.... 4, 2 fois 3.... 6,.... 2 fois 9.... 18.

3 fois 1.... 3, 3 fois 2.... 6, 3 fois 3.... 9,... 3 fois 9.... 27.

9 fois 1.... 9, 9 fois 2.... 48, 9 fois 3.... 27,.... 9 fois 9.... 81 .

anjjjmicATioN,

Multiplication d'un nombre de plusieurs chiffres par un nombre d'un chiffre.

24. Soit à multiplier 497 par 6. L'opération consiste à répéter le multiplicande six fois; je répéterai six fois les unités, puis les dizaines, puis les centaines. J'écris le multiplicateur au-dessous du multiplicande,

et je souligne. Je dis : six fois 7 unités font 42 unités, j'écris 2 unités sous la colonne des unités, et je retiens 4 dizaines; six fois 9 dizaines font 54 centaines, et 4 dizaines retenues font 58 dizaines, j'écris 8 dizaines sous Ja colonne des dizaines, et je retiens 5 centaines; six fois 4 centaines font 24 centaines, et 5 centaines retenues font 29 centaines, j'écris 9 centaines et 2 mille. Le produit est 2982.

On effectuera rapidement l'opération en disant : 6 fois 7.... 42, je pose 2 et retiens 4; 6 fois 9... 54 et 4.... 58, je pose 8 et retiens 5; 6 fois 4.... 24 et 5.... 29, je pose 29. Le produit est

Oq commence l'opération par la droite, à cause des retenues ; la raison en est la même que pour l'addition.

Multiplication d'un nombre quelconque par 40, 100, 1000, etc.

35. Proposons-nous d'abord de multiplier le nombre 5637 par 10. Il s'agit de répéter ce nombre dix fois, c'est-à-dire de le rendre dix fois plus grand; il suffit pour cela de mettre un zéro à sa droite, ce qui donne 56370. En effet, le chiffre 7, qui était placé au premier rang et exprimait des unités, est maintenant placé au second rang et exprime des dizaines, c'est-à-dire des unilés dix fois plus grandes. Le chiffre 3, qui était placé au second rang et exprimait des dizaines, est maintenant placé au troisième rang et exprime des centaines, c'est-à-dire des unités dix fois plus grandes, et ainsi de suite. Chaque partie du nombre étant devenue dix fois plus grande, le nombre lui-même est devenu dix fois plus grand.

Proposons maintenant de multiplier le nombre 5637 par 400. Il s'agit de répéter ce nombre cent fois, c'est-à-dire de le rendre cent fois plus grand ; il suffit pour cela de mettre deux zéros à sa droite, ce qui donne 563700. En effet, le chiffre 7, qui était placé au premier rang et exprimait des unités, est maintenant placé au troisième rang et exprime des centaines, c'est-à-dire des unités cent fois plus grandes. Le chiffre 3, qui était placé au second rang et exprimait des dizaines, est maintenant placé au quatrième rang et exprime des mille, c'est-àdire des unités cent fois plus grandes, et ainsi de suite. Chaque partie du nombre étant devenue cent fois plus grande, le nombre lui-même est devenu cent fois plus grand.

On verrait de même que pour multiplier le nombre 3637 par 1000, il suffit de mettre trois zéros à sa droite, ce qui donne 5637000. Car le chiffre 7, qui exprimait des unités, exprime maintenant des mille; le chiffre 3, qui exprimait des dizaines, exprime maintenant des dizaines de mille, etc.

Ainsi, pour multiplier un nombre par 40, 400, 4000...., il suffit d'écrire à sa droite un, deux, trois.... zéros.

Multiplication de deux nombres quelconques.

26. Soit à multiplier 5637 par 258. J'écris le multiplicateur au-dessous du multiplicande, et je trace un trait horizontal.

Multiplier 5637 par 258, c'est répéter le multiplicande deux cent cinquante-huit fois, ou bien, c'est le répéter huit fois, plus cinquante fois, plus deux cents fois.

Je répète d'abord le multiplicande huit fois; j'ai le premier produit partiel 45096, que j'écris sous le trait horizontal.

Je répète maintenant le multiplicande cinquante fois. Mais 50, c'est 5 fois dix. On répétera donc le multiplicande cin-

quante fois, en le répétant d'abord dix fois, et répétant ensuite le résultat cinq fois. Pour répéter le multiplicande dix fois, il suffit, comme nous l'avons vu, de mettre un zéro à sa droite, ce qui donne 56370. Il faut ensuite répéter ce résultat cinq fois, c'est-à-dire le multiplier par 5; on a ainsi le second produit partiel 281850, que Ton écrit au-dessous du premier.

Je répète enfin le multiplicande deux cents fois. Mais 200, c'est deux fois cent. On répétera donc le multiplicande deux cents fois, en le répétant d'abord cent fois, et répétant ensuite le résultat deux fois. Pour répéter le multiplicande cent fois, il suffit de mettre deux zéros à sa droite, ce qui donne 563700; il faut ensuite répéter ce résultat deux fois, c'est-à-dire le multiplier par 2; on a ainsi le troisième produit partiel H27400, que Ton écrit au-dessous du second.

Ayant obtenu les trois produits partiels, on les additionne, et l'on trouve ainsi le produit demandé 1454346.

97 '. On obtient le premier produit partiel en multipliant le multiplicande par le premier chiffre 8 du multiplicateur. On obtiendra évidemment le second en multipliant le multiplicande par 5, ce qui donne 28185 et mettant un zéro à la droite; niais on peut se dispenser d'écrire ce zéro, en plaçant ce nombre 28185 de manière que son premier chiffre 5 se trouve dans la colonne des dizaines. On obtiendra de même le troisième produit partiel en multipliant par 2, ce qui donne 11274 et mettant deux zéros à la droite; mais on se dispensera d'écrire les zéros en plaçant ce nombre H 274 de manière que son premier chiffre 4 soit dans la colonne des centaines.

L'opération est disposée de la manière suivante :

On opère en disant: 8 fois 7.. ..56, je pose 6 (dans la colonne des unités) et retiens 5; 8 fois 3....21 et 5.... 29, je pose 9 et

retiens 2; 8 fois 6.... 48 et 2..., 50, je pose 0 et retiens 5; 8 fois 5.... 40 et 5 ... 45; je pose 45,

5 fois 7.... 35, je pose 5 (dans la colonne des dizaines) et retiens 3; 5 fois 3.... 15 et 3.... 18, je pose 8 et retiens!; 5 fois 6.... 30etl.,.. 31, je pose 1 et retiens 3; 5 fois 5.... 25 et 3.... 28, je pose 28.

2 fois 7.... 14, je pose 4 (dans la colonne des centaines) et retiens 1; 2 fois 3.... 6 et 4.... 7, je pose 7; 2 fois 6.... 12, je pose 2 et retiens 1 ; 2 fois 5.... 10 et 1 .... U, je pose 11.

J'additionne : le produit demandé est 1454346. Nous pouvons maintenant formuler la règle générale de la multiplication.

Règle. Pour multiplier deux nombres quelconques, on écrit le multiplicateur sous le multiplicande; on souligne; puis on multiplie le multiplicande successivement par chacun des chiffres du multiplicateur, en ayant soin d'écrire le premier chiffre de chaque produit partiel sous le chiffre du multiplicateur qui Va fourni. Ensuite on additionne les produits partiels.

£§. J'applique cette règle à l'exemple suivant :

U n'y a pas à s'occuper des zéros qui se trouvent au multiplicateur; on multipliera d'abord par 7, puis par 5 et par 3, en ayant soin d'écrire le premier chiffre de chaque produit partiel sous le chiffre du multiplicateur qui Ta fourni. On dira donc : 7 fois 6.... 42, je pose 2 (sous le chiffre 7) et reliens 4; 7 fois 4.... 28 et 4.... 32, je pose 2 et retiens 3, etc.

5 fois 6.... 30, je poseO (sous le chiffre 5) et retiens 3; 5 fois 4.... 20 et 3.... 23, etc.

3 fois 6.... 18, je pose 8 (sous le chiffre 3) et retiens \, etc. Quand on effectue un produit partiel, il y a avantage, à cause

des retenues, à aller de droite à gauche dans le multiplicande. Mais on peut prendre les chiffres du multiplicateur dans un ordre quelconque; cependant, pour plus de régularité, on s'avance aussi de droite à gauche dans le multiplicateur.

Propriétés de» produits.

29. Il est clair que si Ton augmente Je multiplicande sans changer le multiplicateur, le produit augmente; car en répétant un même nombre de fois un nombre plus grand, on doit trouver un résultat plus grand. Si, par exemple, on rend le multiplicande deux fois plus grand, comme on répèle le même nombre de fois un nombre deux fois plus grand , le produit devient aussi deux fois plus grand. De même, quand on diminue le multiplicande, le produit diminue; si le multiplicande devient deux ou trois fois plus petit, le produit devient luimême deux ou trois fois plus petit.

La même chose a lieu quand on change le multiplicateur sans changer le multiplicande. Si l'on augmente le multiplicateur, on répète un plus grand nombre de fois un même nombre, ce qui donne un résultat plus grand. Si, par exemple, le multiplicateur devient deux fois plus grand, comme on répète le même nombre deux fois plus, on a un produit deux fois plus grand.

Ainsi 21 étant trois fois plus grand que 7, le produit de 21 par 4 est trois fois plus grand que celui de 7 par 4. De même, 12 étant trois fois plus grand que 4, le produit de 7 par 12 est aussi trois fois plus grand que celui de 7 par 4.

Des signes abréviatifs.

30. On a imaginé des signes abréviatifs pour indiquer les opérations de l'arithmétique. Le signe -f- signifie plus, le signe — signifie moins, le signe x multiplié par. Ainsi

5 plus 3 s'écrit 5 + 3,

5 moins 3 5 — 3,

5 multiplié par 3 5 X 3.

Le signe =, que l'on prononce égale, indique l'égalité de deux nombres.

Ainsi on écrira

prononcez: 5 plus 3 égale 8; 5 moins 3 égale 2; 5 multiplié par 3 égale 45.

L'expression

indique qu'il faut multiplier 5 par 4, ce qui donne 20, qu'il faut multiplier ensuite 20 par 3, ce qui donne 60; et enfin 60 par 7, ce qui donne 420. Les nombres 5, 4, 3, 7, qui, dans cetle suite de multiplications, servent à former le produit Anal, s'appellent les facteurs du produit.

Le produit de plusieurs nombres ue change pas quand on intervertit

Tordre des facteurs.

31. Considérons d'abord un produit de deux facteurs 5x3. Pour figurer ce produit, écrivons 5 unités sur une même ligne horizontale et répétons trois fois cetle ligne.

Puisque chaque ligne horizontale contient cinq unités, et qu'il y a trois lignes semblables, le nombre total des unités contenues dans le tableau égale 5 répété trois fois, c'est-à-dire 5x3. D'autre part, on peut compter par colonnes verticales; chacune d'elles contient 3 unités; il y a 5 colonnes semblables; donc le nombre total des unités contenues dans le tableau égale 3 répété cinq fois, c'est-à-dire 3x5. Ainsi, le même tableau, évalué d'une façon ou de l'autre, donne 5 x 3 ou 3 x 5. Il en résulte que les deux produits 5 x 3 ou 3 x 5 sont égaux entre eux; donc le produit de deux facteurs ne change pas quand on intervertit l'ordre des facteurs.