Ces équations peuvent toujours être ramenées à la forme
af*« + px'^ 4- ^ 3= a (i).
Pour les résoudre, on pose û^ =^, et on a
qui donne Cn"^ 657)
ou
et par conséquent
Cbaque valeur de ^donnera m va leurs de x(n^ 583). Si m est pair, cfhaque valeur positive de^ donnera pont x dent valeurs réelles et de signes contraires; les valenrsnégativesde j^ ne
t^AJWM RADUGTlBtBS AU 2'"* ViGIltf. 393
pourront évidemment donner pour x que des valeurs imaginaires
(n° 123, 8.0}. Si m est impair, i^haque valeur réelle de^, positive
on négative, donnera pour x une seule valeur réelle et de même
signe (n* 123, 7.*, récip,).
La formule (3) conduit généralement à rextraction des racines
de quantités en parties rationnelles et en parties irrationnelles; car,
p a mo;ns que la quantité ^^ g ne soit un carré parfait y
— ^-« q sera un nombre incommensurable. Nous allons eiposer les principes de cette théorie pour le cas particulier où
7S6. Nous remarquerons d*abord que, si //t >= 3 , le second membre de Téquation (3) est de la forme \/^ a dt. \/ "J" , at\ b
étant des nombres commensurables, et y 'J'^'iant inconiinensu râble C*); et nouà ferons voir qu'une expression de celle forme peut quelquefois être remplacée par la sorouie ou la différence de deux radicaux du second degré.
Pour cela, nous poserons d'abord
et nous chercherons les conditions nécessaires pour que .rei^ soient
des nombres commensurables.
(*) Si h est on carré paifait, [/^tem commensurable^ aingi que a •^\/o 1 et, par conséquent, il icra toujourë facile d*oI)tenir y a 4- |/^~ ^ tel degré d'approximation qu'on vôudia, en admettant que a + \/l} ne soit pas
un carré parfait. Il n'y a donc réellement ii t'occupcr que du ca soii \/ 1> est incommensurable .
ToxB II. 5o
AléVMit M eakré l«s deui mttàhte&dé réqiwiidti (4),
CarrantdenotiYeau, il viendra (n* 340) 4^^ = (a — x — y Y
+ B + 2{a^x^jr)\/r (5).
Le premier membre de cette équation étant c ommcnsu rable « piitéq«i« jr et^ d^âYOnl être det neniNre» commeosarable^lé se<^na membre devra aussi être commensurable. li faut donc qtxt Ton ait
a — X — y = a, d*où il vient ar -|- ^ = ûr,
ce %i*i réduit Téquation (5) à 4^^ ^== if
Les valeurs de xel <?e^sont donc (n** 656) les racines de Téqui^
tîoti s" *— «« H — t=±iO j et par conséqoenl
et r = (7).
€es valeurs seront évidemment conimensurables dans le seul ca» où a^ — ' b sera un carré parlait , et alors l'équation (4) deviendra
On parviendrait de la même manière à Tégalité
787. Si la quantité a* -^ b n*étaift pas an carré parfait, les "égalités (8) et (9) seraient encore irraies, comme il est aisé de s'en convaincre en élevant au carré les deui membres de c^aeitnc de ces égalités. Mais, dans ce cas, les radicaux qui sont dai>s W second memlire ne pouvant se simplifier, ces formules ne seraient plus d'aucune utilité.
Si a et ^ étaient négatifs, les égalités (8) et (9) seraient encore
▼raies, maisaloi^s \/i aeisait imaginairie, >çircpnstance dont nous ne nous occuperons pas ici. Quand a seulement est négatif « Tex-
|>ression \/n -f- [/T n« pcat être réelle quautant que Ton aura
« < \/i ^«^îs alors y/ a*— ^ aérait imaginaire ^ pjjisque (g* 32Î) û^ serait < fi. L'équation (4) ne pofirraU dpi^c p^s é|rf satisfait! par des valeurs ratiomielles de x et d^^.
7JJ8. Proposonf-nqps de t«in|f ormerî^x pression \/i2iti\/î3I On ^ ici « ^3 12, 5= a3.
U^ 'ie9i'^fé^i9) <Çf (9) ^ty'mifox^x 4pim5
« /la 4" lï ■ / la — II
396 tf^ATSoift BiBrcriBLis ad tl"* bbob#.
Soil encore x/il-^y/ikk.
dans cet exemple, a =±: i3, 6 = 144.
On aura donc
Soit pour dernier eiemple \/5 -|- i/ï3 On aura
l/s ^ v/;3= ^/fli^V l/iz^
en sorte que la quantité proposée ne peut être décomposée en deux racines simples.
FIN DU DEUXIEME ET DEflNlEa VOLUME.
