LIVRE HUITIÈME
Puissances et racines des quantités affectées d'exposante entiers positifs. Calcul des radicaux reefa- Des exposants fractionnaires. Des exposants négatifs* Formule générale du binôme* Puissances et racines des polynômes. Application de la formule du binôme à l^ extraction des racines par approximation, ,
PUISSANCES ET RÀCÏNBS DES QUAîSTITÉS AFFECTÉES d'exposants ENTIEaS POSITIFS-
Dans cette théorie, les indices des racines sont , ainsi que les exposants, des nombres entiers positifs.
S75. Pour élever à une puissance d'un degré quelconque une quantité affectée d'un exposant entier positifs il faut multiplier l'eocposant de cette quantité par le degré de la puissance à laquelle on veut l'élever.
JVI306060
R PCI M. ET iierif«6 Btf çFâWr. Arrwef. it'ntt. *iir. Miir. ' Ainsi («T =i2'«", jiîdar on t (&«* 100) '**?«'<»^ ^ *^*^ * "1 ^''^ *^ *^
On a encore ({a'^f^ = (^'^"Z = a^*,fl^ .a"^. .-•,,.. ,^, .
et ainsi de suite. . nO
D'où l'on voit que pour eYeyer â <f(îï pui^snnms siteee^i^^ une quantité déjà affeciée d'un exposant eniier positifs itfaùê' mukîptier i' exposant de cette quantité pu fie preduit des deffréf
des puissonces. -'*i. *4
RïuiRQCE. On aurait aiiisi {(O ) :i= oT*'"' ; d*oii il réstiite
que l'ordre dans lequel on élève à des puissances successives est ttmi àjaii indifférente
376* Pour em traire la racine d'un d^Çfé queicanque d'une quan t il é affec tée d ' un expq sitn ù eni ie r pqsit if, , il , /^ff A dfy i^ ^ ^ l'exposant de cette quantité par f indice de la racine que ^'on veut eoctraire.
Car la racine d*un degré quelconque d'une quantité eit ^nc autre quantité, qui ^ élevée â la piiissanco du môme degrt^, rieproduiraic la quantité proposée. Donc ( u'^ ^?^)t Texposaot de cette quautilé dans la racine cherchée doit être tel qu'en le multipliant par rindice decetie racine, on reprodube Teiposant de cette quantité xnérne ; donc l'eiposÀnt de la quantité proposc'^e dans la racine demandée doit élre égal au quotient de la division de Texposant de la quantité par Tindice delà racine^ On a doue
Remarque. Toute quantité de la forme a " est donc l'expression de la racine /ï*®"*® de û'", lorsque m est divisible par «, et dans ce cas, elle se réduit à a'f, en représentant paj </ le quotient
.Tiaoa sTïia .ixa'ff .ToaH*ï4 .t^a^v -îdu /.nMi^Afl la .sanq 3
vmm, ET mâcims ms ^abt. jaimm* >*m»* an^iMur. . 7
^^> -f^ JE ni A êe m dnrbé par n. Mait on coii<çoit «iénml tjwin fyprtttfff lifcnt
M^ne <^atioa; en sorte qut Ton peut admettre k généralité dm
principe exprimé par la formule \/ a*" = a ^^ , iit et » étant det nombres entiers ^itifs, CT'^^ ^ .-^ • . ^ -.
On peut donc toujours remplacer te signe rùâkàt ^>d^W mfi9^imitp:a^iêmMém^^fiifalAt^^ffU^ tmiaposan^de
^fe^j^ïj^i^fctiMofe^Wftie.rfift^^ eé pouY dénominateur l'in^ ^^^^.^mdkc^B^^^i^ptmpÊi^mÊ&lf rni^posant fi^ctiamà naire peut être remplacé par un signe radical, don$ l'indicé serait égal au dénominateur de l'exposant fractionnaire^ en
égal au numérateur de l'exposant fractionnaire.
377. Poïut élei^rà une puissance quê^Hqïle ttà pfdîAiif de tant de facteurs que Con voudra, il faut élever à c^te fAi^ë pimÀc^'èkSiiii Be à^yieieùrs; eï milliplier toutes i}e/fiiisdtàûùei étÙli^lMsfàiL^e^^^ termes, la puissance
if iiii dk^^^'qmàù'nlljki^i^ )>U'âuà'm''igdte au produit des puissances (de ce degré) de toits ses facteurs. '
Ainsi {<fl>^cP:. . . .7= dl^ t""' c''*. ./•.,,
-ovîf'f fij-^^-iL ainjiii un âan».-<r »^; »;.'.- -w, ,• • .,
car
(«^•îr^, ^T^ à'^ircP.'X a'^V'cf', .... X «W*c^X
OU in** 1Ô3. lo) ., . .
(^l'^ff'c^ . . . y p= «^a*«a'" .,. . X *'^i"A« . , . X c^cPc^ . . . X . * •
(*) £9out n'énonocroBt plM €€U€ ceiMU4Ào& . oa cUvra s« rappeler, une fois pour toutes, que daos cette théorie, les quantités sont afifectées d'exposants, et que, ces exposants; ainsi que Us indices. des racines, sont des nombres entiers positifs.
s pmss. ET a^anis dks quabt. imcr. irix^. Birt. poeit. .
â78> Poiir exiraire une racine d^n de^ré ifueican^ue d'un produic de plus leurs fadeurs^ il fhui extraire h racine (<fe ce de^fré) de chacun des facteurs, et muUipiier toutes ces racines cntr elles f ou» eu d'aairea termesi (a racine d'un de^ré quelconque d'un 'produit est égale au produit des racines (de ce degré^ de tous ses facteurs*
Ainsi \/fl'^A"cP . , . = \/ a™ V/ ** \/^ '-*
car \(/a^à^c^.,J = a^*V ,
et
(\/^\/¥\/^^^^y^ Q/^y Q/Fy {\/v)\^.
donc \\/'^P¥cfr7J = \\/^\/¥\/d^.~../ , et -^^t coméqueQt
S79. Pour élever une fraction à une puissance quelconque^ il faut élever chacun de ses termes à cette rnéme puissance, ou autrement j la puissance quelconque d'un quotient est égale au quotient de la puissance (de ce degre\ du dii^idende, divisée par la puissance (du même degré) du diviseur*
Car on a (a' 100) (*)
(cT ^^i" c^ c^ cT
{*) Les défiDitions données (nV IQO et 101)conyicnncnt égalemeut aux fraciions.
pvKHkjv «Mwaf *■• ¥ii^- ArnoT. »*■». b*t. fmit.
fi''
S80. Pour eximtravn^ racine. ,<Çun degré quelconque
;^d^Mne fraction^ ii faut extraire sé ^f è mû ni la racine (de ce
\ ^ .d^ni) du numéraiêug etèetie du iinmii^natsur^ ou autrementr
l - 't0 rûcine d'un deqré quelconque d*un auùtietnt est éqale au
tA'' ^m^tffm^de 4ii racwit*(rfi '«?« degr^ dii^ di^mUnde, divisée par
'* Car 00 a
donc
et , par cooséqnent , I / — ==- ,
381. On ti« change pas la valeur d'une quantité radicale, quand on muUipiie mi quand on dwise par une même quan- ToMM IL - a
^ m . mil , * *
donc (ù** 37G, r^w. rra^.) \/«^ = ^a''" . '
11 est tout aussi facile de voîr que Ton \n\x\ aussi diviser par une méroe quantité rindice d'ua radical et rei[»osaul de la quaniLlé soumise à ce radical . •
on aura aussi
■592. Nous a vmitf d^V '^àïr ('ii^^m'im fi^OS^Jift pASi
d^in degré patr'dViyë*%ittart!i^;^|lkftîi4 ife^jiVgalîre; tst^ poiîtïiê; el que, rccipcoquement , toute racine d'un degtë j>di'r d'une quiii"tilé positive pçaL étf^p^^ti^^jO(jf^%|g^vep J^ç^rs-ravîjui ft^j^i^ rein a r q u é ( u° 1 5 ;> 5 8** ,) q ^^ n e .^oa^ i t^ ri cgati y «5 , pa e , fj) ^i^ ^ , av qi f-, ^az racine d^uu degré paU\ Xï:^prf^<îÇii|i,^^fif J^i^JlfA^Jq**; d/ç, Jjaiferme
}/'rr^ ne saurait avoir iine Val eû^i^ltoifi^qaëÇ'iaft^TÎ^^ négfttiTe; m 1sbtievdVït)reâsîbftf'sl)i?lf^ïafi#ffi4^^^ opposition , ou donné le tioni Û^ ^rl^i'^^ëmT'^^^AêTfk quanlitésj iîpaiUvça jftU , ,ïij^^jh;^%,^JlJii,j^ îP*î|ïf«^m E^ ici*
ift, , « ^ i*
pression \/ —a* :•, JT;\i t J^ ^^'^sr '^
3B3. La racine carrée d'uue quantité a tà\ donc susceptible de deux valeurs qui sont exprimées par ± \/a , et il en est de même pour les racines 4"®', 6™®*, etc. Ces racines, excepté celles du second degré , ont encore d autres \aleurs , et , en général , toute ex«
pression de la forme \/â est susceptible de m valeurs. Il convient donc d'établir une distinction entre ces diverses valeurs et le nombre absolu qui résulte de Topération numérique indiquée
par^/a.
que le norabrf absolu résultant de ropéraiion nuincri(ja(^^a|if'^yp indique , on Ja désigne sous Te nom de mdical €irahmétiqu€ ; et qoandoQ la eon$îdèredanâ toi^e^ généralité, on rappellû/tfrarf//
Nous ne donnerons ici que la théorie des rattîcaiif é^tffiiiciique$* x"' - — s
Tpi| T3ïl/îli iunn Jifj>q (lut 9up ti6
CiLClJL DES nâDiCÂLX AaimMÈTUjtËg,
9"i^i*lilù*èi lëi rtftîttàiA diff èMîl mméï dfe lûnl'* âblf e nlaf>ièl*(^ ,
jf '|slT^à-dîre , )opf|t:r ks indices aûTit^,dî£(fi en la ^ oul lorsgiie ks ^IgflJ^tit^^ ^f|;ecklça tlii ii^'ii-; radical tlLffc-jc?ftt,jçîV\r>lJes d'uBç nsa-
-^JkiÉlil j>^*t^^ ^^ftit^dta^idlkalE dJSsemblabfeâ^i il en est de même de 3 |/â=M^Â5"el3 V^ôâTiria,
585. Il arrive pfir fois (}ue des radicaux paraissent dissem-
blables, qnoiqa*ils ne le soient réellement pas : les radicaux |/a',
y^a'i et y/'i7a^^ par exemple, paraissent dissemblables ; cependant ils ne le sont pas > et cela tient à ceqne qoelquc-s uns de ces radicaux ne sont point éerits sous la forme la plus simple. H faut done, avant de décider si des radicaux sont dissemblables, ramener chacun d*eux à sa plus simple expression.
386* Ramener un radieai.â S9 plus simph expression, cest frirù sortir de dessous ié'rakicaj Ïqu!s^ ieV^Atu% qui sonù des puissances paffkil^s d'un M^gi^^^tar que jn^TiifÀ^ic^ d^ ce radimL ....... ^ n«,: o^ ^j^ .qnciaq *I i^nitl, .SDpiiiiq
Pour y parvenir, tï^iuf supprimer sou§ ie radient tous les fadeurs qui sont des puissances phi^hêi du degré dvni il ^jt'agif^en extraire la racine de ce degré ^ et écrire ces racines itors du radical comme mulli pit entiers,
. . : ''-^ -^ t»aiîûl fil î>Ii oo-ke^TQ^a
Soit \/i6fl=é*c^ .
Ona^Tidemment ' î aUsoea i^tjuî jdSiUl
• au W 578) iitr^ n-ïiïiiMuîCî ^îiu J^^ i^ ylifieup cl ^njv.ioJ
-lal îa , 4N| 'jf> u3i{^oicn]ii^ u^^^ii/ 3f iT^p lîa^dQ ^icinc[ eiiïjoq au
Si les facteurs qui sont des puissances parfaites du degré
m a r q ué pa r Ti u d ke du ra d Ica Vh él'àicià '^kî Vïi- 'è vUl en cC ;' ice q u l peut arriver quand ce* fadeurs soûl des poïytiOTn'Hi^^ 'iî'^faddraît a^assurer si la quantité affectée du signe y/ peut se décomposer en facteurs Ûonl quelques uns soient des puissances parfaites du degré dont il s'agit. On ferait sortir ces facteurs du radical , ea extrayant de chacun d'eux la racine de ce degré, par le procédé qui sera indiqué (n? 420) , et on laisserait tous les autres sous le radical.
.38T. Il est quelque fois utile de ^/re entrer sous un radical une quantité qui est écrite en dehors comme multiplicateur. Pour cela, on élève cette guantite' à la puissance du degré marqué par l'indice du radical, et on écrit cette puissance comme fiicteur sous le radical.
puisque^ d'aprcâ U principe du n*^ 38G , on a «tmilif^ 9:^ î/^
HKsutQiiE. Cette IraulrorantiDn ^n a irouvei- ta fnéuVVunc
esprcsjsloo de la forme a \/f^
* '♦'* '•» '-*' ** — ii<i^
Faisant entrer a aoua le radical , on aura V^<"* ,
et U ne s'agïca pliis^tie d'cïlraire la racine f/i'^"»*^ Je a*^b^ comme
il sera dit plas JaTTd*u^'^'..*vv,^44*A ,-^ c ■ J --. *^*v\~.7é77 , ^
Lorsque la quanlilé i est une pu^siance parfaite ^d^gré/ys?,
cette irai&fonnadoa esLLofit à i^lt inutile i-il e»E évident que Von
obtieiidri "^e Sertie Wiàlt ai ^ mdllî|i]tanl la racînfr /«'^*^ drf ô
par (J. Mais si b Bv^i- paa une poîâ^ance^ parfaite du degré /n , on
ne pourra jamais db^ntr gu^pi|c ïaîeu^^ approchée de \/f, et Terre nr de cette raciïà ^â"^^ïnhililpjï)ée .par ia qnantito û, Dodc , dan»
ce cas, it est préférable d'opérer"p[T"^?<^i^'^^^ ,
jup 0?^,^^, l*^^9{^fifpMjftPPS"f^^ pûufant sVffecluer sur
lidîfii'Ta^jiï^fWrfMWAÇflsffif^erf^^ avant de faire ces
opùvsLliqilih^r^ff^eficr /t.f nidicaujc au même indice*
Pour cela, î^ suffira de muUiplîer i' indice de chaque radicai par le pmduit de tous les autres indices j et dé lever la quantité qui est sous le radical à une puissance d'un degré marqué par ce produit.
m — . ft — ^
Soient |/a^ et |/*^ .
mn mn
On aura y/aF" et |/A'''" .
Ces nouvelles expressions seront respectivement égales aux premières (n® 381 ) , et les nouveaux indices seront nécessairement les m^mes, puisqu'ils seront les produits des mêmes quantités met n.
Soienl encore \/a^ \/è^ H V^f'^ *()i3^ *n) mtm « nO On troufpra ^ À
et amsi de suite, pour un nomJire quei€4Wir|ue de radtcaux, î)uob JDfi pourrait auiisi prend rv pottr f^,^<je commun !e plus f/eiri muiiî^^e commun de tons its indif^^^^ ^^ no*uii JttiB3Î5^i t^t îZ
on atiraît y a''' et \/ i''-. „ *ii>
cas ^ an opère sur tes coefficients. ^
Ainsi, ^ V^^j^.V'^^J^^^if) UnlK •
De même 7 i/ét— j4 V?^À. f=^^ V/**"! \ "î> //
Si les m d icau X et a | ç nt dissem httvhb^ ees^^x péra i imi 1 tiB pourraietU tjue s'indiquer ^ è. fuid^ du sigrt^e^ -\- ou du ^^ signe — ,
Cela est évideut.
390. La multiplication et la divisioti ne peuvent seffec^ tuer sur des radicaux qu'autant quils ont le même indice.
Si cette condition est remplie ^ on opère sur les quantités qui sont sous les radicaux, et on donne ou résultat le radical commun.
Ainsi y/ a \/ b \/7 ..... = ]/aùc
Car on a {n** 378) y/^ièc = \/â \/b \/c
donc .xiîtalljci ïiti atrpji*«*lâ,rppfc^i|jk^^ ^ J3
Sî les ladicaun q.i'oa se fït^^ie d*- mullipnèr WdexlNrîw n'ont pas le même indfce, otiqominencepr Us y râii^aD^«i*, ,^,00
opère comme H vient d'élrecliU ^ '
ô9i. Pour élev'fîr un radical à une piiissmiee i^uekuncfite ^ puissance, .n»iir.%o^ > ..t, itfi^tû>
Ainai (x^W^ m ^^â ^]tl *'""*
Car oniïdail*-i4i'^|i»dl= ■'i-n'N» '-^ 4- 4 ^N/ »« En aecond heu, on a (n* 3817 ^ ^
donc on aura a«ssi \\/^/ == V/ «" •
392. Pour extraire la racine m.™* d'un radical, il faut multiplier l*indice de ce radical par m , ou extraire la ra^ cine ni."* de la quantité qui est sous le radical.
Ainsi y y/af = y^a'' = |X a"^ .
Car on a (n* 401) {]/ V^ ) ^ \/^.
donc on aura (l/ V^a" ^ = (v^ïV , et, par conséquent, |/ V' «'' = V/**'* OD (n' 3811 K V''«''=" K ''"^ •
On anrait encore K V^ V " " \ "'^K «""■ Car d'après ce qai précèJe immédialcinenl, on a
et eînsi de tuile. « - ixr. ^a,
RiMifiQUE. Il réaulie évidemmfiil de ce qai vient d'fitre démontré que
et ainsi de suite , pour un nombre quelconque de radicaux.
D'où on peut conclure que l'ordre dans lequel on extrait plu^ sieurs racines successives est tout^à-fait indifférent.
un B^Mftâfrnt rRAcriOfvfrAîflti. 17
•niM .wms in 4 .1.^1 tu
•»îfoâi ra .wxtm R
lrt^|i^ Mil» tiiif»ii<i i»i ,tfMm>W' , .^'
S9J, On ne peut qu'lndïqner laddition et la soustraction d«f>i
quanti k's affecttevTîîe cp |$rtes d'e:i^posàots, quand elles soi^l di^sem hlu bki , j;Vs t - à - d i r*te I o rsqo *e f f es Ji f fèren i e n tV^el î ea a u l retiré ht que par les coenîçïenis. «ni^par les sîgnesdQTi tel lee son l précédées. Mais quand elles sont sembUblcs, on opère sur ces quaniiiés comme^ sur celles q^iû sont aj)cd(tcs d'e^posanti entiers positîfi^ *"
S 9 4 . La^ rnidtt^tiç^ign,^^^f^îv is io7f tîàs ^uant îtéî afïe eiées d'exposants fractionnaires positifs s'effeeluentde ta même metnfàre'qnti'la nniitïpiîeation Et là division des quantités dùTii: tes exjiiysmits sont ertlif*r^ jmsiiifs^
cir f n" 37G .
râiïu^écip,) s^ivuia? . ,
donc (n°*
388 et 390) : .
if«
: rt" ^ .
ToMB n.
t8 BES KtrPO&àSTA TRACnVSilUltJiEB,
-JL. f y "^/ — ^^ a^''
395. Ott apére encore de la même niamère ^ tant pour la multiplication que pour la division , lorsqu'une tJes quan^ tités proposées est afjhttée d'un exposant entier positif.
ï"** Soit a" à mulliflier par a ^ .
On a évldemnient * a^ = a ^ i *
iïiaïa(n'' 394, 1*0
irt. '* :'^ + .'' m-|.f^
donc aussi a^ X a '^ ^^ a ^ ,
a°* Soit fi*" à diviser par « ^ .
Od aura (n* 304, 2^)
ml
7! IfM
et par conséquent = a
3». On aurait pareillement « ^ £. — «
