La différence des logarithmes de deux nombres qui
M8 se suii;ent.pas immédiatem,ent dans les tables est égale à la
somme des différences des logarithmes de tant de nombres que
l'on voudra, intermédiaires entre les deux dont il s'agit , et
rangés entr'eux par ordre de.grandeur.
Soient les nombres 6, 7, 8 — , 9 et m.
Si on prend la différence entre le logarithme de chacun de cet nombres et le logarithme du nombre suivant , toutes ces différences formeront le tableau suivant :
log. 7 — logr 6, iog. fs —J — log. 7 I
log. 9 — log. ^8 ^yJ >
log. la — log. 9.
Si on ajoute toutes ces différences , la somme log 7 — log. 6
f8i XIBSCfiS BBS TABLS8.
+ log. fs — J — log, 7 + log, 9 — lojg:- ^8 —J + log.ia
— log. 9 se réduira évidemment à log. i^ — log. 6, c'est-à-dire, à )a différence entre les logarithmes des deux nombres 6 et la qui ne se suivent pas immédiatement dans la table.
574. Parmi tes nombres de plus d*un chiffre , qui sont composés d'un même nombre de chiffres, il s* en trouvera toujours de consécutifs dont les logarithmes auront une différence plus petite qu'une demi-unité décimale de l'ordre indiqué par le nombre des chiffres des nombres proposés.
L'inspection de la tablé fait voir que le logarithme de 94 9 pT
exemple, qui est i ,97^128, ne diffère pas de o,oo5 ou de — cen -
tième de 1,977734 qui est le logarithme de 96; ainsi le principe
est vrai pour les nombres de 2 chiffres.
Mais la partie décimale d'un logarithme ne change pas quand
on multiplie le nombre ^correspondant par 10, 100, 1000, etc.
(n* 545) ; donc les logarithmes de 940 et de 950 ne différeront pas
de o,oo5.Doiic(n'* S?3) la somme des 10 différences des logarithmes
des nombres consécutifs de 940 à 960 sera plus petite que o^ooS ,
et puisque ces différences sont inégales (n* 552) , il y en aura né-
o,oo5
cessairejsent qui seront moindres que , ou que o,ooo5, on
* . ., que — millième. Donc le principe est encore vrai pour les nom-
a bres de 3 chiffres, et on démontrera de la même manière qu il est ^rai pour les nombres de 4, 5, 6^ etc. ^ chiffres.
575. La différence entre deux logarithmes consécutifs , correspondant à des nombres composés d'un même nombre de chiffres, est toujours moindre que 5 unités décimales de l'ordre indiqué par le nombre de chiffres que contiennent les nombres dwt il s'iàçit.
BB«B«M »M TABUS. 181
£i] effet, on yimki de voir (n*' 574] que parmi les logarithmes de» vonsbres de deux chiffres, il s*en trouve de consécutifs dont la dif-» f4reace est moindre que o,ooS ; et il a été démontré (n° $52) que tst différence entre deux logarithmes consécutifs €^l d*autantp]ua p«lite q«e le$ nombres correspondants sont plus grands. Donc pour tous les nombres de 3 chiffres, la différence entre deux logar
ritlimes consécutifs sera moindie que o^oo5.
On démontrerait de la même manie^re que pour tous les nom-
l>rçs de 4 chiffres, la différence de fiem logarithmes cooséontifa ^
sera moindre que o,ooo5, et ainsi ^t suite.
576. En se servant d'une table à 6 décimales, on ne pourra pas être certain doUtenir, à moins d'une unité, te i^ombre correspondant à un/ logarithme donné, lorsque ce lo^ garithme sera plus grand cjae 5,6oao6o. Si le logarithme pro^ posé n'excède pas 5,6oaoflo^ on aura toujours le nombre cor» respondant à moins durm unité près.
i^. Si le logarithme donné est plus grand que 5,6oao6o, le nombre cherché aura aiymoiDs6 chiffres (n^ 538).
Or, parmi les nombres de 6 chiffres, il y en a de consécutifs dont les logarithmes na*diffèrent pas de o,oooooo5 (n**^ 574); donc si la table était pro]oni;ée de manière à contenir ces nombres, les logarithmes correspondants n'auraient aucune différence dans la table. Donc si le logarithme donné était un de eeuz*là,o& Bt aanrait lequel des ncnnbres correspondants il faudrait prendre. Mais lopération du tP 565 conduit au^résultat que Ton obtiendrait ^ si la table contenait Jies nombres de 6 chiffres et leurs logarithmes, donc lorsque le ncJpohre correspondant à un logarithme donné devra être composé/de 6 chiffres, on ce qui revient an miême, lors» que ce logarithme aura au moins 5 unités de caractéristique, on n'aura pas toujours le nombre demandé à moins d'une unité»
a^. La différence entre &,6o!»o6o, qui est le logaritkme de 4O0O0O, et 5,60^069 qui, dans le prolong^aent de la (abk à 6 décimales, serai^ le logarithme de 399999, est 0,000001 ; donc (u^ 552} la différence entre deux logarithme» cims^utifs qa^-
183 MBIVB8 >Bt VABLBS.
conques qui précéderaient le logarithme 5,6oao6o servît plos grtnde que 0,000001, on elle serait au moins égale à 0,000001, et par conséquent, il ne pourrait j avoir d'incertitude sor le nombre qu'il faudrait prendre. Donc par Topératios du n® 565/ on obtiendra toujourr, à moins d'une unité près, le nombre c^rretpcndant à un logarithme qui n'eicèdera pas5,6o2o6o. /
Bemabqub. Quand on se sert d'une table à 5 décimales, leloga* rithme qui ûxe la limite au-dessous de laquelle on est certain d'ob« tenir le nombre cherché k moins d'une unité pnes , est 4,60206; si on se servait d'une table à 7 décimales^ ce logarithme serait 6,6oao6oo. En général , si m représente le /nombre de chiffres de la partie décimale des logarithmes d'une table, la carac^ téris tique du logarithme dont il s'agit iùi sera m — i , et sa partie décimale sera toujours le doub^ du logarithme de ^, pris dans cette table. I
Ce logarithme se nomme le logarithme limite de la table dont on fait usage. /
577. Il résulte du principe précédent que si la caractérisa' tique d'un logarithme est plus arande que 5 unités , que 6, que 7 s etc. , il pourra y avoir djè l'erreur sur les dixaines , les centaines, les mille, etc., du nombre correspondant, lorsqu'on se sentira d'une table à $ décimales.
On obtiendra la limite dp l'erreur au moyen du nombre correspondant à la différente entre le logarithme donné et le logarithme limite de la tabjte.
Soit proposé de trouver^ le nombre qui correspond an logarithme 9,576897.
La différence entre ca logarithme et le logarithme limite est 3,974337 , qui est le logarithme d'un nombre évidemment plus petit que 10000; d'oii On peut conclure qu'il n'y aura pas d'erreur sur les dizaines de rai/)e du nombre cherché.
En effet, les deux logarithmes 5,6oao6o et 3,974887 formant ensemble le Iogarit)ime du nombre demandé, ce nombre sera
BilSOBS BE8 TABI.BS liSS
(nO ft5i) U produit du oomblre correspondant à 5,6o2o6o, multiplié par celui qui correspond à 3^74B37, c'est-à-dire, par un nombre plus petit que loooo. Or Terreur du nombre qui correspond à 5,6oao6o est plus petite que i,donc Terreur sur le nombre cherché sera moindre que i multiplié par un nombre plus petit que loooo , donc cette erteur sera moindre que loooo ; et comme le nombre demandé doit avoir lo chiffres (n^ 538), on pourra compter sur les 6 premiers chiffres de gauche au moins.
578. Nous avons donné (n^ 564) le moyfn de trouver le nombre correspondant è un logarithme don( la caractéristique n*excède pas 4 unités, et dont la partie décimale ne se trouve pas exactement dans les tables. Par le procédé que nous avons indiqué, on obtient toujours un nombre de 5 chiffra ; en sorle que , si le logarithme donné se trouve avoir une caractéristique moindre que 4 unités I quelques uns des chiffres du ncymbre correspondant représenteront des décimales » et alors on l^l^a le nombre cherché à xBoins de o,i , de o,oi , etc.» selon qu il faudra séparer sur la droite du nombre trouvé i , 21 , etc. chiffres. l)ans le cas que nous rappelons ici » on pourra se procurer quçtques chiffres décimaux de plus , en opérant comble au n*^ 565 9 pt Texactitude du premier de ces nouveaux chiffres ne sauçait être douteuse (n^ 576) lorsque la partie décimale du logarithme donné sera moindre que 0.602060.
II est bon de savoir reconnaître la possibilité d'obtenir à un certain degré d'approximation le nombre correspondant à un logarithme donné 9 en se servant d'une table quelconque.
Pour cela, on ajoutera le logarithme donné au loifu ri ihme du dénominaleur de la fraction qui indique le degré d'approximation , et si la somme n'excède pas le logarithme limite de la table dont on doit se servir , on sera certain d'obtenir le degré d'approximation demandé. Si la somme surpasse le logarithme limite s on ne sera pas certain d'obtenir ce degré d'approximation i et, dans ce cas, on trouvera la limite de l'erreur du nombre cherché, au moyen du nombre qui correspond à la différence entre le logarithme limite et la somme
184 niBXU&S BBS TABLSS,
des deux logarithmes qui auront été ajoutés , comme on va le voir dans l'exemple suis^ant.
Soit proposé de reconnaître si , an moyen de la table à 6 âéci^ maies , on peut obtenir le nombre qui correspond au logarithme 3,435674, à moins de 0,001 près.
Ajoutant ce logarithme à celui de 1000, qui est 3 , on trouve 5,435674 , logarithme plus petit que 5,6o3o6o; donc (n* •''T6) le nombre de 6 chiffres 272693 qui répond à 5^435674 est approché à moins d'une unité , donc le nombre 372,693 qui ( n® 545, r^c//?.) correspond à 2,435674 sera approché à moins de 0,001 •
Voyons maintenant si on pent obtenir ce même nombre k moins de 0,00001 près, et, dans le cas où cela serait impossible , déterminons la limite de Terreur dont il pourra être affecté.
Ajoutant le logarithme de^tooooo, qui est 5, au logarithme donné 2,435674» 00 aura 7,435674 qni surpasse le logarithme limite 5,6o2o6o de i,8336i4; d*où on peut conclure qu'on n'etc pas certain d'obtenir le nombre demandé à moins de 0,00001 près, mais que l'erreur sera moindre que la cent millième partie du nombre 68,173 qui correspond an logarithme i.8336i4-
En effet 9 le nombre qui correspond atl logarithme 7,435674 est le produit du nombre qui correspond au logarithme limite, multiplié par le nombre 68,173 qui correspond an logarithme x,8336i4 («• 551). Or, Terreur du nombre qui correspond à 5,602060 est plus petite que i , donc Terreur du nombre correspondant au logarithme 7,435674 sera moindre que 1 multiplié par 68,173^ ou que 68,173, et à fortion, que 69 unités. Mais le nombre correspondant au logarithme proposé 2,435674 doit être 1 00000 fois plus petit que celui qui correspond à 7,435674 (n*545, récip,)\ donc Terreur de ce dernier nombre étant moindre que 69 unités^ Terreur de l'autre sera moindre que 0,00069.
iQVATions. ISS
