ÇiieZf i/wc soient p et q, ona totrjoun
et par coniequent \/ ^j '^ = a * -
Car \\/^) - û^et(«"V - ''''î
donc (v/û^/ = («" V •
et par conséquent \/ a" =« a ^ •
3^. On démontrerait de même qae
Ces égalités sont encore vraies lorsque les exposants/? et q sont fractionnaires.
Il résulte évidemment de ces dernières égalités que la remarque
Tft KtTïtop. 0E£ rtîïis. EUT. iT roirr. ^ es iîtioiîb.
du n^ 37G est Traie pour un eiposant et dn Indict ncgalifa, entiers ou fraclîonnarrest
404. La théorîedes radieaus re^pusc sat ie principe du n^ 3Sf , et ce priDcipe a élé démon ti'é k Taidcde la remarque du ïi** 576, dans laquelle il û éxà suppose que Tindice du r^drï^ai çt rÊxposanÇ de la quanïîlû qui eu* est affecter son tdes^nonibrea co tiers ptvsiùfs. Il a elé démontré (ii" û9T) qtie celle remarque éi^t vraie pour nu eipasant et un itidîce fraciionuaires positifs, et nous vt-nons de faire voie ( n* 403) qu*i[ en esf de mtjme pour un* exposant et un indice ncgalifs, entiers ou rracliounaircs, Doïic ta théorie des radicaux ariiliméLîques est tDaîiitenant démontrée dans toute sa giinérslité.
DÉVELOPPEMENT DES PUISSAINCES E^TrÈRES ET POSITIVES d'un BINOME.
40n. Soîl lebiuôme j7 + ^. - •
On sait déjà (n°^ 340 ) que
(.r + a/ = j:* -[- 2ttr -|- û* , ct(n? 360) que
(a: + ay = jc^ + 3a.r^ + 3a^a: + a'.
En multipliant la 3.*"* puissance de j: -[- « para? -j- if, on trouvera
(r + ay = a:* *+- ^^-r' + 60^.1:' + Aà^x^ à\ : ^
Multipliant encore cette 4»™® puissance -par .r + «, il viendra (.r + a'j^ = .r^ + 5ax^ + ioû:^r^4- loa^^c^ + Sa^a: + û', et ainsi de suite. .
Si on examine ces divers résultats, on verra qu'il existe une loi constante dans la marche des exposants de a: et de ûr; dans le premier terme de chaque développenient» l'exposant de a: est égal au degré de la puissance à laquelle le binôme je -{- a est ëleve; les
«itpo&ants de ^ vont en diminuant successiveiiit*iii d^ine uni lé dqvuifl le premier terme jusqu'au dernier qui ne conlienL pltih jt^ oa ce qui reviÊnt au zucoie, dans lequel lei posant de eetle JeUre est sséro (h** 135,4;'*}* Les exposanls de a suivent une marclio con- ' iraLre: Vexposaût de a e$l zéro dan^ le premier terme de et^aque dëvdoppemenC , et il augmente ^uccessivetuenl d'une uni lé, depuis le premier terme juâqu'au dernief', d^n^ lequel il eu égal au degré de la puissance.
40(i, Par analogie, on est poité k croire que celle loi dnit exister pour une puhsanee d'un degré quel conf|ue; c'est adiré que Ton est conduits [Jtenser quek dé>cîtnq>emctu d'une putisat.ce d'un degré quelconque m du bînùtnt; k -|- a serait
^^ + aT- x" + Ao^"'-* + B«^^'^-' + -h T«— < ^ + «•'t
A j B,. . * . . . . T étant des coëffîcîenls dont un ne connaît pas eucore Ja' composUîon. Mais par Ja raison qui a Jijà été d un née n" ^OU), il faul drioonirtT la gi-néralttcdc cette loi ipourceU , il 'suffira de faire voir que , si elle e*iste dans le dévcloppemfnt d'niie certaine puissance , ellt existera aussi dans le développ^mtul de la puissance du degré immédiatement supérieur,
^ous allons donc démontrer que si le développement delà puissance «-™* du binôme ./j H- a Cil de la forme
ï" + A^x""' -h BaV"-' +.,....+ Ta"-' x + a'^ , Celui de (^ + aj''+* sera dt; la forme
jt^+i + A W + B V x*»-* + -j. T ««^ ^ a"-f ».
Connaissant la puissance du degré n du binôme a: -f- a , pour obtenir la puissance du degré /? + i , il suftit de multiplier la puissance du degré n par a: + a; or cette multiplication donne deux produits partiels que Ton peut écrire comme il suit :
a:"+* + Aoa:'* + Ba»*«-* + . + Ta"-* x» + ^n^
+ ax^ +Aa**»-* + + Sa"-» x» + Ta«x -j- a«+* .
La somme de ces deux produits partiels , c'est-à-dire, le développement de {x + a)'^* sera donc
xM-i^. ( A+i)aar"+(B+AVx»~*+ 4-(T+SV-«*»4.
ti+T) «"ar+aM-t, Tome H. 4
dans lequel ta ïoi dcâ exposants est exacletnent la même que dans le dévelopiienient de (x-\-ii)"y
Donc, loules les fois que m sera un Dombte entier positif, on aura ■ ^'^ ,
407. Il ne reste donc pins qu'à déterminer la forme des eoërfl-
cientâ A , B , T, car il est éviâenl que le premier et le dernier
termes dn d^Heloppement ci -dessus ne peuvent avoir d'aulies coèflicieuts que l'unité , puisque l'un protienl de ^ éîevé à la puissance m^ et l'autre de a enlevé a la même puissance*
Si on examijie encore les 4 développements du n' 403, on verra bien qu'il existe une loi d^ns la formation des coefficients ^ car le coefficient du second terme de cljaque développement est égal à Tesposant du premier; les coefficients vont en augmentant jusqu'au terme ou aux deux termes du milieu , et ces mêmes coèfficienls repa ^ raissent ensuite dans Tordre inverse. Mais quelle est cette loJPcom ment la découvrir?
La difficulté provient de ce que les coefficients sont des nombres qut ne présentent aucune trace des opération* qu il a fallu faire pour les trouver, et cela tient nécessairement à des réductions de lermeà sem blahl es qui oui été fa i les dans le cours des opérations. 1 1 aurait donc fallu ne pas faire ces réd ne lions, pour être à même de découvrir la îoi de comjïositiun des résultats. Ainsi , il est indispensable de recommencer les calculs sans effectuer aucune réduction ou bien , de multiplier entr*euz plusieurs binômes tels que of -{• a^ a: + i, aî + c, etc., dont les seconds termes soient différents, sauf à voir ensuite quelle modification il faudra faire dans la loi de composition des produits, pour revenir au cas où tousks seconds termes sont égaux.
Or le produit des deux binômes x + a et ar-^-i est a:* + « j a: -f ûô.
Le produit des 3 binômes x-^a^jr-^ i et .r -|- c est
