ai

■+■ ad

+ «rd

+ bcd

+iW

et alfisi de suite.

Sans aller pljtis loin , on recotuiait que, dans chacun de ces prodoils, le coefficient du second terme est la somme de tous les seconds termesdes binômes qui ont été multipliés; que dans le troisième terme de chaque produit, le coefficient est la somme d«fl produits des mêmes seconds termes multipli(^s deiue à deux; que dans le quatrième terme, le coefficient est la somme des produits trois à trois de ces mêmes seconds termes , et aiqsi de suite. Enfin, on voit que le dernier terme de chaque produit est le produit des seconds termes de tous les binômes qui ont été multipliés*

408. On est donc porté à croire que îe produit de m binômes tels que x -+■ a, x -]- b^x -j- c, etc. est de fa forme

en représentant par S^ la somme de tous les seconds termes des binômes multipliés, et par S, , S,, la somme des produits ou

combinaisons deux à deux y trois à trois y ete. de ces mêmes seconds termes. Comme la méthode d*induction n'est pas plus admissible ici pour les coefficients qu'elle ne Tétait au u* 40$ pour les éxposénls, nons allons faire voir que si cette loi existe pour le produit de n binômes, elle ekisUra aussi poar le produit de(/t+i) binômes, ce qui démontrera sa généralité.

Supposons donc que le produit de /i binômes toit de la forme x''+S,x-"*+s.x--».t. +S^i*-|.S„ ,

et multiplions ce produit par on (/i -f- i )•"** binôme or -|- ^ , ce qui donnera

28 UÉTELOP*, DES PVTê^. EHT* ET POSIT, D tl< BtI!(OVB*

qui est tîe la turme forme que le prodiiit de n premiers binomea» Car S, étant la somme dea seconds lerrut^s des n premiers bi- Doines, S^ + Â sera évidemmen! la somme des (// + t) second» termes. De mèint S^ éiant la somme des produîia deti± à deux dea n seconds (er mes dont h ne fait ^oitil ivartip, et S^/ étant la somme des produits de / par chacun àt% n seconds termes précédents, Sj + S^k sera la somme des produits deux à dcu.T dea (/i 4* ï ) seconds termes, et ainsi de suite. Enfin S„ étant Je seul produit qu'on puisse faire avec les w preniîers seconds termes, StA sera le seul produit que l'on pourra faire avec les (n-\- t) seconds Lermes. Donc Jfi loi des coèffieienïsest gt'néraîe, et par conséquent te produit d'un nombre //i de binômes j: -|- h ^ .^ ^- à^ ^ -^ c ^ etc. est de la forme

4Q9. Voyons matnlenant ce qui arrivera si Ions les seconds termes des binômes multiplias sont égaux à a^ auqud cas ions les binômes seront égaux à .i:~|- û, et par conséquent ions les produils deviendront des puissances du binôme ^ + a.

t^es seconds termes étant égaui à a^ leur somme sera égale a t2 pris aoiant de fois qu'il y aura de binômes; en sorte que si le nombre de binômes est m , on aara

S^ = ma.

Les produits ab, acy ad^ deviendront égaux chacun à a^,

et par conséquent le coefficient S, du troisième terme sera égal à

à^ pris autant de fois qu'un nombre m de lettres a^ 2, e,. . • • .

peut donner de produits ou de combinaisons deux à deux. Donc

(n® 326) on aura

Les produits ahc^ ahd^ acd^ devenant égaux chacune a',

te coefficient S, du quatrième terme sera égal à a' pris autant de

foii qu'un nombre m âe teLtres peut donner d« produîls f/Y>/j à iroîs ^ en sorle que Ion aura

et, CD général, te cocf Scient du 1 firme du rang n -\- i fera [ n'' S$6)

m (m — t) Cm — -j) . . * . . (/w — « | i )

• I * a - d , , . rt

Donc sr dans la formule

du prodtiil de /72 bindmes , on remt>lace les ct>èfticienl5 Si^S,, S, ,. * . . ^ par Ifs valeurs trouvées ci dessus, on anra

m{fn — i)

mim — 1> (wi — a)

pour le dëveloppement d^une puissance d*un degré quelconque m du binôme ^ -|- a^ m ëlant un Tiombre entier positif.

On donne ordinairement à ce ddveloppemenC le nom. à^ fortntdé du binâmé*

Si au Hca de '4? + ô)™, on avait ( j? — fl)"", il n'y aurait qu'à écrire — a aa lieu de -f- ^ dans ]a formule prëcédentei ce qui n*y apporterait d'autre changement que de rendre négatifs les termes qui contiennent des puissances d'un degré impair de a (n^ 123 , 7.«). On aurait donc

selon que m serait pair ou impair.

M njiiiÂfi^'Ei SDn la formdlc hv stuosk.

EEM ARQUES 8VTk Là FORSiULB DU OI^ÏOME.

410, On appelle tenne géM^ral d'une snite qnficanqnf de t£rm«5 ç Dn€ expression algébrique telle que sî on y fail nne hypotbèae qui dêlermine krang d'un lerroe, le résultat des opération» indiquées se trouve précisément égal à re lerme.

Le coefficient du second 1er me de la formule du binôme est^

conime on Ta déjà vu ^ égal à l'eiposant de ^ dans le premier

m (m— ri)

terme* Le coëffieieni — — — - du troisième terme est égal au

nombre de combînai&ons ou de produits de deux lettres que Ton

m (m — ^t) (rn—^)

peut former avec m lelires. Le coefficient — — ■ — do

quarncme terme est le noitibre de combinaisons de trois lellres

que Ion peut faire avec m leïtres, et ainsi de suite. En gé néral . le

coefficient du terme du rang {n -{- 1) est le nombre

dç produits de n lettres que l'on peut faire avec m lettres (n* 326). L'exposant de a est i dans le second lerme de la formule, 3 dans le troisième, 3 dans le quatrième, et ainsi de suite; donc dans le terme du rang {n -\- i ), il sera n. Les exposants de x suivent une loi contraire , et , daQS çbaque terme, la somme des exposants de a et de X est égale à m ; donc , dans le tjCrme du rang (a -}~ ' ) i ^^^^^ posant de a étant /t, celui de x sera m — né Donc si on représente par Tn 4- 1 le terme du rsQg ( » 4~ ') « ^^^ a^**^ m{m — iX/zi— a) [m — (/? — i)j

Cest là le terme général de la formule du binôme; car si on^ y

RBtfjinQiritg ivk Là FOKMiri^ nv bikoxm. $\

ftu}>pose successivement n= i , it = a , /î = 3, etc. , on retrouvera tous les termes de la formule , à partir du second.

Supposons , par ei(;mple , que /i = i •

Le ders^iei^^lieur m -^ (n -^ i) du auiftéralenr deviendra m — (i — . i) ou m, et le dernier facteur du dénominateur de-

viendra i; donc le coefficient se réduira à ou m. De plus,

a" ^"ï^n deviendra «x*""* ; donc on aura T, = maas*""^ , qui est bien le second terme de la formule du n° 409.

Si on suppose n = 2, le dernier facteur m — (/i — 1) du numéraraleur de T,^i deviendra .jw— (a — i) ou m — i,et le dernier facteur

n du dénominateur deviendra a; donc le coefficient sera ,

m(wi— i) et comme a^x*" " deviendra a**'"""*, on aura T, =

a^^"* ', et ainsi de suite.

Remarque. Le coefficient général ne peut donner celui du pre^ mier terme x"* de la formule , parce que ce coëfneient n'est pas , comme tous les autres , un nombre de produits.

411. Le nombre de termes de la formule du binôme estm -\' i, l.a loi des eiposants démontre cette vérité; car les exposants

vont en augmentant d'une unité, de zéro à m pour -a, et en diminuant d'une unité, de m à zéro pour x,

412. Les coefficients de deux termes quelconques pris à égales distances des deux extrêmes sont égaux.

Car (n* 406) le développement de (* + rt)*^ eslx»" -}- Afljr'""* + Ba*x'»-«+. . . + Sû'»-*x» + Ta"*-*x + a"^.

Si on change a en « , et x en a , îl viendra

Ces deux développements ne peuvent manquer d'être égaux, puisque a !- a? = .r \- ay donc en renversant le secoiid développement , on aura

On a donc deuv polynômes égâui ordoBnés par rapport aux puissances descendanles de j?, et contenant les mêmes puissinct:» de cûUe Ici ire j donc ( n** 144 ) les coèfficienls dca lermça cprrespoti danti Bont (?gaux. On a donc Aa = Ta,6a=i Sa', etc., ei , pfl?r conséquent, A =:^ T, B ^ S » etc.

.413- Chaque terme de laJotmuUdubiaâtt^peaLiedéthtire de celai qui le précède - «il»^ '

Car si dans la formule du n^ 410

m{m — (w — il' * -['" — U — ï)] [ot — ('t — ^ï)]

qui est Te^preASton du ferma du rang(/î-|^ i), on remplace /i

par n — i ^ on aura

mitn — 1 ) (iïî — a) .\rri — (n — a}]

T, = — ^ — — — fl^-'j:'"-C"-^>.

En comparant ces deux rêsuUats^on verra que le iertne du rangin^ i) se déduit du terme du rartg n^ou du terme pré^ cèdent :

I® En multipliant celui-ci par V exposant m — (n — \) de x dans ce même terme ; a°, en divisant par le nombre n de termes qui précèdent celui qu* on cherche ; 3®, en augmentant l* exposant fie a d'une umtc, et en diminuant d'autant celui de x.

Ce procédé s*emploie avec avantage quand on veut former une puissance particulière d'un binôme.

Soit, par exemple , le binôme a: -{- a que Ion veut élever à la 5."* puissance.

Le premier Jerme du développement sera a:*, ainsi qu'il est démontré par la formule générale.

Le second terme sera Sax*, puisqu'il est généralement max'*—* .

Ensuite, on auia

5x4 3."»* terme ==

itCM ARGUES 8VB LA fOlUIULB DP BINOMB, 13