AV

et, de plus, nous représenterons par m le coefficient de Tune dfs inconnues dans Téqualion A^=B^ et par n le coefficient de celle même inconnue dans A = B.

Multipliant les deux membres delà première équation par m, et les deux membres de la seconde par /i, nous aurons

mA = iTiB /iA^== /iB';

et ajoutant ces deux dernières, il viendra

//lA + /îA' = mB -f- ^^'*

BisOL. DES i^AT. DU PREM. DEO. A 2 INCOIflfVBS. / 227

Il s'agît dt; démontrer que Ton peut mettre cette éfjaation en place d'une des proposées, de la seconde, par exemple; ou, ce qui revient au même, que Ton peut remplacer le système /i) par le système / A = B, -1 /

mlL + »A'= mîi + nh\ ]""f ^'*^*

Ainsi que nous l'avons fait dans Fezemple ci-dç^sus.

Pour cela, muhiplions la première équatîoiv^du système (a) par mi et de la seconde relrani bons Téqualion mk = mB qui résultera de cette opération ; nous aurons nK^ = n B\ on >^ = B^

Ainsi, de même que le système (a) est une conséquence du système (i), réciproquement le premier /ystcmc est une conséquence du second ; donc les valeurs dexet/àej' qui satisferont à lun de ces systèmes devront aussi satisfa!i?é à l'autre.

Gela posé , remarquons que, 4bldb la marche que nous venons de suivre, les nombres m et n ^fant les coefficients de l'une des inconnues, cette inconnue dispaniitra néeessairement dans l'équation mA, -|- nk! =z mB -f- /iB'^ ainsi celte équa lion ne renfermera plus qu'une des inconnues, x , ^ar exemple. Donc si de cette équation on tire la valeur de x^ et $\ on la substitue dans A = B , on aura les valeurs de :r et de jr qni devront satisfaire au système (i») et par conséquent celles qui devront satisfaire au système (i), puisque d'après ce qui vient d'être dît, ces deux systèmes doivent admettre les mêmes valeurs de x el de ^.

La démonstration que nous venons de donner paraît supposer que Ton ajoute toujours les deux équations après que l'une a été multipliée par m, et l'autre par 7^. Il est évident que l'on pourrait raisonner d'une manière analogue dans le cas où, iVaprès la méthode, on serait conduit à retrancher les deux équations Tune de l'autre après la multiplication.

614. An lieu de substituer dans l'équation A = B la valeur de X tirée de l'équation finale mk + nk* = mB + /iB', on pourrait éliminer x entre les équations A == B , A^ =3 B^, en opérant avec les coefficients de x comme on l'a fait avec ceux de y pour

228 BltoOL. OBS ÉljVÀl. BU PBBM. DBG. ▲ 2 IMGORBIJBS.

éliminer celte inconnue (a** 613). Alors réqualion finale qA,^itipA. = ^B' dz qJi (*), ferait connaîtrez.

Ainsi dans Texemple du n^ 613, multipliant la première équation par 2, et la seconde par 5, II viendra lo^ — 4^ = a loa: -|-35lr= 275. ^

Retrancbant la première de la seconde, on aura ^qx ==273,

d'où y = 1 ,

comme précédemment.

Pour démontrer que la valeur de ^ trouvée de cette manière et celle de x quia été déterminée par rélîmînation de y, doivent nécessairement satisfaire aux deux éqtialions proposées 1 reprenons le système

et multiplions la première équation par le coefficient /» de x dans la seconde, et celle-ci par le coefficient q de cette même inconnue dans là première: nous aurons

qK'=qW.

Retranchant la première de ces deux nouvelles équations de It seconde, il viendra

^k' — pk = ^B' — />B;

et comme nous avons déjà obtenu (n*^ 613) d*une manière analogue

mjL -|- /?A' = mB + nW , il en résulte que le système

iTîA + 7/A' = ///B + /iB' ) .^.

qfif—pH =qBf — pB I ^^

est une oonséquence du système (x).

{*) Nous supposons que p 68l le coefficient de x dans la seconde équation I et que q est celui de la même inconnue dans la première.

BÉSOL. SS8 iQVAT. BV FRIM. DBG. A 2 IRCORRUBS. 229

Si nous démontrons que la réciproque est vraie, c'est-à-dire, que le système (i) est aussi une conséquence du système (3), on sera certain qite les valeurs qui saiisfonl à ce dernier système satisfe* ront aussi au premier.

Pour y parvenir, multiplions la première équation da système (3) par g et la seconde par /z, ce qui donnera

mqhf + nqk' == mq^ -|- /i^B', nqh, — npK = nqW — iî/>B ,

et retranchons la seconde de ces nouvelles équations de la première, nous aurons

mqk — npk = mq^ — np^ , ou {mq '•^np)k = (mq — •/?/^)B,

on A = B.

Multipliant encore la première des équations do système (3) par p et la seconde par m^ el ajoutant les deux résultats, nous aurons

{mq + np)k' = {mq + np)B^f on A^ = B^

Ainsi, de même que le système (3) est une conséquence du système (i), réciproquement, le système (i)est une conséquence du système (3). Mais les nombres met n étant les coefficients dejr dans les équations proposées, et les nombresy et q étant les coefficients de X dans ces mêmes équations, la première dusysîème (3) ne contiendra plus ^, et la secondeneconiiendra plus jr, d*où il résulte que les valeurs données immédiatement par les équations du système (3), obienuescomme il a éîédil (n^^ôlS et 614), conviendront aux équations du système (x), c'est à-dire, aux proposées.

Dans l'exemple que nous avons donné,|?a première équation da système (3) ayant été obtenue par voie d'addition , et la seconde par voie de soustraction, nous avons rédigé la démonstration conformément à ces coud liions. On conçoit aisément que Ton pourra employer un raisonnement analogue, quelle que soit la manière dont on devra combiner les équations mA = 77?B et nkf = nB\ ainsi queles équaïions/^A =/7B er^A^= çB^ provenant de celles dn système (i), pour obtenir celles du système (3).

230 tiiaùi. BB8 iQVAT. bu pebm. ma. ▲ 2 iNootmirBS.

Bemieque. 1. Lorsque les coefficients de l'inconnue qu'on veut éliminer ont des facteurs communs, t opération peut se simplifier d'après ce qui a été dit (n« 206) pour trouver le plus petit nombre divisible par plusieurs nombres donnés.

Soient les équations

Pour rendre les coefficients de^ égaux entr'eux, il suffit de maltiplier tous les termes de )a seconde équation par 4« sans rien changer à ceux de la première; effectuant celle opération^ on aura i6x -|- %Sy = ii6, gSx — a8x = io8,

d*où il vient, par addition,

iixr == aa49 et j: = a.

Pour rendre les coefficients de x égaux entr*eux, il suffit de muttiplier la première des équations proposées par 3, et la seconde par 3, ce qui donnera

48x + 84^^ = 348, et 48j: — i4r = 54,

d*oà il viendra, par soustraction,

98^ = 294, et jr = 3.

RxiiiRQiJB a. La méthode de réduction consistant à rendre égaux, dans les deux équations, les coefficients de l'inconnue qu'on veut éliminer, on peut, par fois, employer la division pour parvenir à ce but.

Supposons que l'on veuille éliminer x dans les équations

4ox + 8^ = 176, 5a: + 4r == a8.

On voit que si on divisait par 8 le coefficient de x dans la première équation , on aurait pour quotient ^ qui est le coefficient

BiSOL. »S8 ÉQOAT. DU PBI«. VB6. A 2 nfCOIflTITSS. ' 231

de X dans la seconde ; et comme toas les termes de la première équation sont des multiples de 8, on les divise par 8, ce qui donne

Retranchant cette équation de la seconde des proposées, il vient

ir= 6, d'où j^ = a.

Remâbqus 3. La méthode de réduction est généralement préférable aux deux premières qui donnent Heu à une équation renfer* mant des dénominateurs que Ton est obligé de faire disparaître* Cependant on peut employer avec avantage la méthode de substitution «lorsqu'une des inconnues n'a pas de coefficient dans une des équations proposées, parce qu'alors le même inconvénient n'existe plus.

Soient les équations

t^x — 3r = 7- La première doniie ^ = 27 — Sx.

Substituant cette valeur dans la seconde , on a kx — 81 + iSx = 7, d'où a: = 4.

Substituant cette valeur de x dans celle de^, il vient r == 27 — a4 == 3.

615. 4.'"* MÉTHODE. Après avoir ramené les deux équalions à la forme ai + by = c> on multiplie tous les termes de lune d'elles par une quantité littérale m ^ et on ajoute à l'autre Véquation qui résulte de cette multiplication^ puis on fait la somme algébrique de tous les termes en x , celle de tous les termes en y et celle de tous les termes connus, de la nouvelle équation. On supprime, dans cette dernière^ le terme qui contient inconnue qu'on veut éliminer, et dans Nquation finale, que l'on obtient de cette manière, on remplace la lettre

33? liSOI. PB8 tqVàt* PU PRIX. SBO. a 2 1N00N1IVK8.

m par une vaieurde cette indéterminée, conclue d'une équation de condition que Con forme en égalant à zéro le coefficient de tinconnue dans le terme supprimé Soient les équations

ax + Sj' = i3, 5a: — a^ = 4* Si on moltipHela seconde par iti, elle deviendra 6mx — * 2/ny === 4"»»

quiy étant ajoulce à la première, donnera

(a + 5m) ^ + (3 — am) j' == i3 -|^ 4''> («)•

Il est évident que, si dans cette dernière équation, lemoltiplicatenr de tétait ôgal à zi^ro, le terme (a -|- Sm) x deviendrait nal (n^ 45, rem,), et que Téquation se réduirait à

(3 — 2m) jr = i3.-|- 4/71, d*où il viendrait

•^ "^ 3— am *

Il s*agit donc de déterminer la valeur de m qui est susceptible

de rendre le coefficient (a -f- 5//z)de x égal à zéro, c*esl à-dire, de

résoudre, par rapport à m , réquai ion a -f- 5/n = o, cequidon-

nera m = .

Substituant cette valeur de m dans celle de jt, on trouvera a 65—8

Connaissant r, pour avoir x^ il suffira de remplacer ^ par sa Taleur dans une des équations proposées , dans la première, par exemple, qui deviendra

aor + 3 X 3 = i3, d'où X = a.

On pourrait ^lemenl dans l'équation (-) supposer 3—- am=30y "et alors elle se réduirait à

^*où il viendrait

«t substituant dans celle ci la valeur m = lîrécde la nouvelle

^uatioD de condition 3 i3+4X

— a/7t =3 o , on aurait 3 a6+ii a a 38

comme ci- dessus.

PROBLÈMES DU PRBBUBft DEGRÉ A DEUX INCONNUES.

616. PaoBLÂME 1. Trouver deux nombres dont la somme soie 76, et la différence 3a.

Si on représente le plus petit des deux nombres cherchés par x^ €t lé plus grand par y^ on aura évidemment les deux équations

Si on applique à ces deux équations une d^s méthodes d*éllmisfttioii qiii tiennent d*étre exposées, la troisième par exemple, on aura d'abord, par addition

aj^ = io8 , d'où y ;=3 54 j

ToMi IL 3o

*0 é on retrancb« U seconde 4^ t^ première, il viendra

SMT =3 44 f

d*où ;r = aa.

Si on substitue ces valeurs de x et de ^ dans les équations da problème, on aura

64 + aa c=3 76^

54 — aac=s3a, ou 76 =3 76 et 3a 2= 3a,

équations identiques.

617. Pour obtenir une solution générale de toutes îes question» de cette espèce , nous énoncerons le problème de la manière sni- \anle :

Trouver deux nombres dont la somme soU ^ et ta différence d.

Représentant le plus petit des deux nombres pa^ x et le plu» grand par^, on aura les équations

X — x^d ^ qui donneront, par addition f

d'où. y = "" =» — 4" " >

et, par soustraction.

ax =3 # — </,

d'où

comme au n*" 591.

618. Problème a. Trouver deux nombres positifs tels que le quintuple du premier ajouté au triple du second donne pour somme i4>ei que le quadruple du premier ajouté au double du second donne pour somme la.

SI on rq>rë$ente la premier de ce« nombres par x et U second ^pkt y^ les équations do problème seront

4jf ^ a/ c=3 ia#

Ces équations étant résolues par une des méthodes exposées (n^ 610, e# /ittV.) donneront

Si on met ces valeurs en place de or et de j" dans les équations ^ probHme ; on aura 5x4 + 3x«^»'^i4 et4X4 + 3( X — > es» i3i%ou ao — 6 e= i4 et i6 — 4 c=3 iî,ou i4 c=:i4 ^ I» e=3 1), équations identiques. Ainsi les nombres 4 et — «i sont bien les valeurs de;» et de^ dans les équations 5jr 4* ^ ^=^ '4 et

La valeur de m est la senle qui satisfiiBse en même temps aui équations et à l'énoncé de la question : la valeur de y^ qui satisfait aussi aux équations, étant négative, elle ne peut satisfaire à fénoncé, puisque Ton demandait deux nombres positifs. Mais si on compare les équations 5 X 4 + 3x — ac=3i4et4x4 + a X— a = la, ou(n* 125, a».), 5x4 — 3Xac=ni4et4x4 — a X a s=3 10, à celles du problème, on verra qu'au lieu d*ajouter le triple de la valeur absolue a de>^ au quintuple de x, ainsi que cela était indiqué dans l'équation 5jr4~^^=^ 14) on doit au contraire l'en retrancher ; et que, au lieu d'ajouter le double de la valeur abaolue a dey au quadruple de x^ comme cela était indiqué par la seconde équation, il faut aussi l'en retrancher. En sorte que, si au lieu d'écrire 6x-h 3/ «w i4 et 44f + V«=a ta, on éarit 5x — 3/ £39 1 4 et 4j;— >a/tB3ia,oa aura la traduction algébrique d'un pro» bUme possible, savoir \ tromer deuat mombres posUifi tels que é du quintuple du premier on retranche U tripte du seeond^ie reste soit i4; et que, si du quadn^le du premier on retramcAe le double du second, le reste soit i%.

Effectivement, si on résout les équations 5x — - 3^" css 14 et 4;r -~ ay = la, on trouvera x s=a 4,^ s=3 a; valeurs qui satisfont à «es équations et à l'énoncé de la nouvelle ^jnestion.

Ainsij la valeurnégativej trouvée pour y dons la fésolulien

236 raoB* Bv raxH. oio. a 3 ikcmhubs.

du problème précédant , prouva que cê problème eft impossible, et, de plus, elle donne le moyen de lé rendre possible en conservant les mêmes données. Pour ceU , il suffit de changer ie signe de cette inconnue dans les équations du pro^ blême»

619- PaoBLàMB 3. Trouver deux nombres entiers positifs tels que f si on ajoute le double du premier au triple du second, la somnio soit 3, et que , si de i6 fois le premier on rttranche le triple du second, le resle soit 6.

En représentant le premier de ces nombres par x, et le second par^, on aura les équations

ajp + 3/ *= 3, i6x — 3^ eaa d.

Ajoutant ces deux équations, il viendra

iSx «a 9 ,

Substituant cette valeur dans la première équation, on aura I + 3/ =» 3 5

d*OM il viendra y es=> 1=3 .

Ce^ valeurs satisfont aux équations du problème , et ne satisfont point à renoncé. De même qu'au n* 1^, cela tient à ce que Ton n'a pu écrire dans les équations la condition que les nombres de* mandés devaient être entiers.

620. pAOBLiHB 4. Un homme a deux sortes de pièces d'argent. 20 pièces de la plus forte-espèce^ avec 35 pièces de la plus petite, font I ']0 francs, et 3S pièces de la plus forte espèce^ avec a8 pièces de la plus petite f font lâS firmes» On detnande la valeur des pièces de chaque espèce.

PKai. MJ iBiM. 9S6. A ^ inooniraBS. t^7

Représentons par x la valeur des pièces de la plus forte espèce, et par^ la valeur des autres pièces.

30 pièces de x francs feront un nombre de francs représenté par aojr, et 35 pièces de>: francs feront un nombre de francs représenté par 3Sy.

Pareillement, 36 pièces de x fratics vaudront 36x francs, et 28 pièces de/ francs vaudront aSLr francs.

Les équations du problème seront donc

nox -f- 35^ = 170,

36a: + aSjr = 2 36-

Ces équations étant résolues donneront

en sorte que les pièces de la plusforte espèce seront des pièces de 5 francs, et les autres des pièces de a francs.

621. Paoblème 5 On a un mélange de deux sortes de matières j donc le volume j en centimètres cubes, est représenté par a> et dont le poids, en grammes, est représenté par b. Le centimètre cube du la première matière pèse c grammes j et le centimètre cube de la seconde matière pèse d grammes. On demande e&mbien il y a de centimètres cubes de chaque espèce de matière dans le mélange.

Eeprésentons par x le nombre de centimètres cubes de la première matière, et par^^ le nombre de centimètres cubes de la seconde matière , que doit contenir le mélange, là première équation du problème sera

Le centimètre cube de la première matière pesant c grammes , le poids de x centimètres cubes de cette matière sera çx grammes^ et le centimètre cube de la seconde matière pesant d grammes, le poids des J' ceatimètres cubes de cette matière sera dj^ grammes. Le poids total du mélange étant b grammes, la seconde équation sera donc ex '\- dr =i b.

136 9MB, 19 niic MM. ▲ a moomim.

La premUn équation x -^y «a a donne

SobtlitoaDt celte talear de jr dans la seoonde, il TteBl c(a-^) + 4r = J, ou a# — ey ^ 4y c=s b^

on (</ *— c) j" B 6 ^-> oc,

a ou y es ■ I ■ ■ .

Substituant cette valeur dans celle de jr, on a

b — ac

d — c éiJ— ac— i-j-tfc

ad^b

699« Remarquons que si le mélange dont nous venons de reprëienler le poids par b n'était composé que de la première matière, soB poids serait exprimé par ac grammes, puisque ce volume est a centimètres cubes, et que le centimètre cube de la première ■Mtière pèse c grammes. Pareillement, si ce même mélange n'était composé que de la seconde nutière, son poids serait cul grammes, puisque cbaque centimètre cube de la seconde matière pèse à grammes.

D'après cette remarque, les formules

ad — b b — ûfc

dr^^Ki d — c

trouvées précédemment, donneront la règle suivante, pour résoudre tontes les questions de cette espèce.

1* Pour Iroui^er le nombre de parties de la première malien que contient le mélange , il faut calculer ce que pèserait ce mélange s'il n'était composé que de la seconde matière, r»irancherde ce poids le poids réel du mélange, et diviser k

niOB. 9w Mui. Mm. A 1 mMQivu. 389

r<B4ie par la différence dês pêsanieurs spécifiques (*) des deux nnaiières.

2.® Pour trouver le nombre de parties de la seconde matière €fue contient te mélange, il faut calculer ce que pèserait ce wwiéiangej s'il n'était composé que de la première matière $ retrancher ce poids du poids réel du mélange , et diviser te reste par la différence des pesanteurs spécifiques des deum matières.

N. B. Il est bon de renitrqaçr que, dan» )t règle que nous venons

d*ënoncer, nous avons considéré tacitement |]a première matière

comme ayant mie pesanteur spécifique plus grande que celle de la

ad ^6

seconde, quoique les dénominateurs des valeurs x c=3 ,

d—c h—ae

y = paraissent supposer que ^ est plus grand que c. Maïs

avec un peu d'attention on verra que, si d est plus petit que c, la

prodoit ad sera aussi plus petit que h\ donc, dans ce cas, les deux

aà — h termes de là fraction ^ seront négatifs, et par eoMéqnent ta

▼aleur de x sera positive. De même, quand d est plus petit que c,

le produit ac est plus grand que 6, d*où il résulte que les deux

b'-^ac termes de la fraction ■ sont aussi négatifs» et que fa valeur

de j est positive.

La règle que nous venons d*énoncer est oonnae sous le nom de

règle d* alliage.

Xf) On appelle pesanteur spécifique d'une maiiSre ou d'une fubetanoe quelconque , le poids d'un volume déterminé de cette lubitance , pris pour unité de volume. Ainii, quand on dit que le centimètre cube d'une ceruine matière pèse 25 grammes , et que le centimètre cube d'une antre matière pèse 20 grammes ^ la pesanteur spécifique de la première matière est 2S grammes I et celle de la seconde est 20 grammes.

240 raoB. 9BS covBK. A 2 tmsotmvËÊ.

PROBLàMB DBS GOITRRIBRS, A DEUX ING0T9NIJES.

623. PaOBLàME 6. Deux courriers partent de deux villes A eu "B dont la distance est de d kilomètres. Le courrier A fait a kilomètres par heure j le courrier B en fait b et part h heures avant le courrier A. On demande le chemin qu'aura fait chacun des courriers lorsqu'ils se rencontreront.

Nous avons déjà résolu ce problème (n^'601 et suiv,),àu moyen d*une équation à une seule inconnue ; nous allons le résoudra de nouveau , à Taide de deux équations à deux inconnues.

Supposons que le point de rencontre soit en R, c*est-à dire, que les courriers marchent dans le sens AfiR , ce qui exige que a soit plus grand que 6 (n® 601).

Représentons par x le chemin AR qu*aura fait le courrier A quand il sera en R, et par ^ le chemin BR qu*anra fait au même instant le courrier B.

Les points de départ A et B étant distants Vun de Tautre de if kilomètres, il est évident que la première équation du problème sera