CN

\àb—a'h J

h cVo—a'hc — eife-^-abcf

b ahcf — <Jbc àb^—t/b

ae' — e^c

aV — afb

Remarque. Les valeurs de i et de j ont te même dénomi^ nateur ab' — > a'b , et pour chacune de ces inconnues , le numérateur ne diffère du dénominateur commun qu'en ce que les coefficients de cette inconnue qui se trouvent dans le dénominateur sont remplacés par les termes connus c et d dans les termes correspondants du numérateur.

627. Ces valeurs de x et de y sont des formules qui peu^^ent servir à trouver les valeurs des inconnues qui doivent satisfaire à un système de deux équations numériques quelconques à deux inconnues.

Soient les équations 5^ + S^* = 19 ,

Si on compare les nombres qoe contiennent ces deux équations à cem qui sont représentés par les lettres a, by c, a', V^ codant les équations formulaires, on verra que, dans cet exemple» a b= 5^

346 DÛCUM. mS É^AJ. BV PAlIf. Ptfl. A. 2 UIG01IIIUI8'

SobstiloâDt ces valeurs dant !•• formoles (i) et (a) da n^626, on tara pour la première ,

—4x19— 3xa

—76— S — ao — ai

et pour la seconde ,

5xa— 7X19

Remarque. Les formules (i) «* {^) du n® 626 peuvenê encore servir à trouver les bateurs des inconnues, lorsqu'une des équations proposées ns contient qu'une seule inconnue. Soient les équations 5:r =: a5 ,

On a ici a s=» 5 , i =» o , c c= a$ , a' = 3 , i' = a , cf^23.

On aura donc

ax^S — 0X^3 5o

5x» ^3xo ip

et

5xa3— 3xa5 40

5xa— 3Xo 10

Il est aisé de voir qu*il serait plus simple de prendre la valeur de X dans la première équation, et de la substituer dans la seconde, pourei^ conclure la valeur de^«

Voyons maintenant ce que deviennent ces mêmes formules dans les différents cas qui peuvent se présenter.

638. La discussion des formules (i) et (2) du n"" 6^6 se i^irit a trois cas principaux :

1 .^ Celui dans lequel les deux termes de chacune des expressions

fitafttioiv)<iirei ^ r-^ — «et — j. » ■ ■ ■ ont djcs. Araleurs luaflMb-

aV — çJb aV — ah

riques.

sisctst. ma iqvàt. ws pbbb. dm. ▲ 3 inooiminMl ^7

3.* Celoi dans lequel Us deux tenues de chacune de ces etptH^ sions sont égaux à zér&, en même temps.

3.^ Celui dans lequel le déUominateur commun ab^ — a^b seul est égal à zéro/

629 • I.** CAS. Les taleurs x «a - — — — , y = — -

ab^^-^b ay — atb

satisfont toujours aux équations ax ^ bjr ^=s c^ a^x -|- 6^ s= c'.

Cax si on lerspbttitoe dantla première, on aura

(Vc — bc^ \ /'oc'— *fl'c \

ab'—a'b)^ Vaô'—a'ô / "^ ""

qui se réduit à

et, si on les substitue dans la seconde y on aura , toutes réductions faites, c'r=xc'.

Donc, lorsque les expressions b'c — bc', ac' ^-a'cefab' ^a'b auront des valeurs numériques, ou, ce qui revient au même, seront des quantités significatives finies , les valeurs trouvées pour z et pour y satisferont aux équations proposées.

De plus, ces valeurs seront les seules qui pourront^ satisfaire.

Car toute valeur de x qui , conjointement avec une valeur dc^,

satisfait aux équations proposées doit aussi satisfaire à t*équation

finale (a) (n^ 626), puisque cette équation exprime la condition

nécessaire pour que j^ ait la même valeur dans les deux proposées.

Or cette équation finale n*admet qu'une seele valeur pour x

(ja? 589), qui substituée dans Tune ou dans Tautre des équations

c — ax c' — d^x y = , y = , doit dontier la même valeur pour j^,

puisque les stoénda nombres de ces deux équations so»t préoi* aémeot les deux. membres de Téquation finale.

Ainsi, lorsqu'on ûura en même tempe ac' — a^e se n^ M — e'b = n et b'c — * bc' =p, (*) les inconnues xetj Ourwu des valeurs

{*\m, n, pf «tant des quantités significatives finies.

MÊÊménqmes qm satàsfenmt aux éqmiUUms proposées, ces équations mepommmt admeUre aucmm 4uttrc couple de vaieurs de x etde j, et pur eomséquau luptobième sera désennbsé. Si ces pâleurs sont posUhes, le problème qui aura dotmé Heu mux équations serti pos^ sibie, à moins qu'il ne renfisrme quelque condition qui n'aura pu être erprisnée atgêbriquanaU , et û n'aura qu'une seule so'

a.**CAt. Si on a en même temps les relations

aI/a'b = o,

mcf — t'c «= o ,

bc — bc' ac ~a'c

tjorm

ia,/./b''' M-*-h

c'ett-â-dire que hs inconnues z et j seront indéterminées

Cette indétermination de x et de j peut se déduire des deux dernières relationsyc — b</= oetSLcf — a^c= o seulement. Car ces

Ibc^ acf

relations donnent ^= ——— eta'= , ^alears qui étant

sobttitoéei dans la teooodAA'jr-f- b^jr=zc' des équations formaac'x bc^jr

laîres, la changent en 1 = </ , ou ac'x -f" ^'x

= cc^fOnox-^ ^ = c ; d'où il résnlta que la seconde des équations propoaéef ne diffère pas de la preaûère, lorsqna Ton a b'c -^ bc^ s= o et ac* — o^c = o. Il n'j a donc réellement, dans ce casi qn'nnc équation à deni inconnneS| et par conséqa^it (n* 607) k proMèmeest indéterminé.

631 . Ilparait résulter de ce qui précède que les deux rtlatious b'c — bc' =0 e/ac'—a'c ne peuvent exister simultanément sans

9<c^ /*o;i ait aussi ab' — a'b es o, puis({ue, si on pouvait avcnr a&^

a'5 =:n, il en résulterait nécessairement x =6= et ^ = ,

ou a: c=: o,j^ =o. C^est effectivement ce qui arrive touteà les fois ^œ c n'est pas égal à zéro, car ta rclatibn ac' — aft; h^^o ûotmt a^c

^r .^ qjij ^igni 8«bstimée dans *'« — . ^' ca o 'donne

^'c-— ■ ■ = «, ooti^c — «'ie«=n=o, o«<aA' — a'ft) «= o;

•d^où on peut conelure que si a a*cil pas é^ à aëro« il faudra que

€ih' —> a' h c= o. Donc toii^ que c 17e xern /m7/ ira/, ia relation M

— a'b s=3 o sera une conséquence nécessaire des deux autres rela^

-tiens ac' — a'c a o et Wc — bo' 2= o .

634. Si c est égal à zéro, on né pourra pas conclure , comme précédemntent, que M — alh = o; puisque le facteur c étant nul, le produit {ah' — a'b)c que nous venons de trouver (n* 631) €st nul sans que l'autre facteur ^ — < cfb le soit (n^ 4{S, f«m.).

Au restCi on peut remarquer que l'hypothèse c &= o change les relations ac' — * afc =3 o et Vc — ic^ =z o en ac' — • o = o et o — bc' =0, ou en ac' :=: o et o = i</, et que chacune de ces dernières donne c' s=3 o, puisque, sans cela, il faudrait, pour que les produits ac^ et bc' fussent nuls, que les coèfficientsiz et b fussent égaux à zéro en raéoM temps, ce qui ne peut être, oa alors Téquation ax + fy c=i c n*eiisterait plus. Donc si c = o, on a aussi c' == o.

D*après cela, les équations proposées sont de la forme a^ >f- by

Vc — le' ac' — a/c = o et a'j: + b'Y^=o, et les valeurs x = ef r=: .

o se réduisent à zéro, et non pas à — .

o On voit donc que les deux relations ac' — ac' = o et b'c — bc' = o entraùientahf--^ a^b s=s optant que c n*est pas nul, et qu* alors

onax=i-^ ety fi= — , d*ott il résulte que le problême est indéter^' o o