a5 :: iS : x
En calculant x, on saurait combien il faudrait de jours aux 4S ouvriers pour faire les i5o mètres que les a 5 autres ouvriers ont faits en 1 5 jours; et il ne resterait plus qu*à chercher d'après cela combien il faudrait de jours aux 4^ ouvriers pour faire les 180 mètres. Mais on peut se dispenser de faire le pi emier calcul, eC raisonner sur x oomme si ce sombre était comut.
Or X étant le nombre de jours que les 45 ouvriers doivent em-* ployer pour faire i5o mètres, il est clair que Ton trouvera le
3^ BieiBS DE nois.
nombre de jours qu'ils devront mettre à faire i8o mèlreS} au moyen de la proportion
i5o : i8o :: X : xL
MallipUant par ordre cette proportion et la première (n** §02), il viendra
45 X i5o : a5 X- 180 :: i5 X a: : a: X ^^ on (n« 468)
45 X i5 : a5 X 18 :: i5 : a:'; d'où
a5Xi8xi5 5xi8 5xa
45xi5 9 I
en sorte que les 45 ouvriers mettront 10 jours à faire les 180 mètres d'ouvrage.
689. Question VII. 55 ouvriers, ttaçaUlant 8 heures par JQUts ont mis 16 jours ^ fiùre 200 mètres d'un certain ouvrage,' combien io5 ouvriers devront-ils travaiiter d* heures par jour pour faire 35o mètres du même ouvrage en 2^ jours?
Supposons d'abord que les io5 ouvriers travaillent pendant le même nombre de jours que les 55 premiers^ et qu'ils aient à faire le même nombre de mètres. Il est évident qu'ils devront avoir moins d'heures de travail par jour que les premiers, et que Ton trouvera ce nombre d'heures par la proportion
io5 : 55 :: 8 : j: ,.•. (i).
En calculant x, on connaîtrait le niMiibre d'heures jquû les io5 ouvriers devraient travailler chaque jour pour faire 200 mètres en 16 jours. Mais, comme dans l'exemple précédent, on peut se dispenser de faire ce calcul , et raisonner sur x comme s'il était connu.
Or X étant le nombre d'heures que io5 ouvriers doivent tm» vailler par jour» pour faire aoo mèlres en 16 jours, il est clair qiM ces mêmes ouvriers ayant a4 joorapour faire le même ouvrage, ila auront moinS' d'heures de travail par jour. Oo obtiendrait évidem-
Bà«Ln DB TBOTS. 329
-ment ce norabrtf d'heures, i[iie noua reprësenteroiid par x^, an moyea «U la proportion
i4 i 16 II x : x* (1)
Eafin, les io5 ouvriers traTaillant .a/ heures par jour pour faire Aoo BMtres ^n %k jours » ils devront travailler pendant un plus ^rand nombre d'heures par jour pour faire S5o mètres du même ouvrage dana le même nombre de jours; et si on représente ce nouveau nombre d*beures par x*'\ on aura
aoo : 35o :: x* ix^* (3>
Multipliant par ordre les proportions (i), (a) et (3), on aura
io5xa4Xaoo : Ô5xi6x35o :: Sx^rXar' : orX^'xA
on io5 X a4 X aoo : 55 X i6 X 35o :: 8 : x";
55xi6x35ox8 55xi6X7X8
d*où
io5Xa4Xaoo 105x^4X4
— = 4^ — d'heure.
aix3 63 63
ou (n® 438, réctp.)
x^f == 4»'- 53"»- ao*-
Donc lea io5 ouvriers devront travailler pendant 4*^' 53** 9o*« par jour*
690. D'après le raisonnement que nous avons employé dans les deux ezem^des prèoëdents , il est aise de voir que pour ré$oudra toute question qui conduit à une règle de troii composée > il suffira d établir, confbrmément aux conditions de C énoncé ^ ie rapftort qui existe entre chaque couple de quantités données de même espèce^ et de multiplier tous ces rapports entf^eux ,• an aura ainsi le rapport qui des;ra exister entre la quantité cherchée et la quantité donnée de même espèce. L'exemple suivant suffira pour éclaîrcîr le procédé que nous venons d'in diqoer.
Qtr^Tio»! VIII. Soou^ftiers, âraçaillant lo heures par jour. Tome H. ^^
996 tàevEê bb timb.
9fU mi$ l^Sjeurs à creuser un bassin de 4 mètres de frofondsmr sur Bo mètres de longueur et i6 mètres de largeur, éans m terrain dont la difficulté est représentée par 3/ combien fau* drait'il employer d'ouvriers travaillant 8 heures par jour, pendant iS jours, pour creuser un autre bassin tfui aurait 6 mètres de profondeur sur !i5 mètres de longueur et is* mètres de largeur, dans un terrain dont la difficulté est représentée par 2 ?
En raisonnant comme non* Tavons fait ( n^* 688 et 689), on aurait tet proportion» taivantes:
lO
ao :
qui étant multipliées par ordre donneraient 8 Xî8X 4X 3oX t^ X3 : ioX45x6Xa5xi2X3^ : : 3o : x^^ en remarquant que les nombres^, x^, x'', ;r'" et x^^ se trouvant facteurs communs dans les deux termes du dernier rapport de la proportion composée, on peut les supprimer. Mais il est facile devoir que l'on arrivera également à la proportion ci-dessus en raisonnant comme il soit :
Si la condition du nombre d'heures existait seule, il faudrait employer plus d'ouvriers dans le second cas que dans le [iremier, puisque, dans le second cas, il y a moins d'heures de travail par jour que dans le premier. Ainsi, pour cette première condition, le nombre d'ouvriers doit augmenter, dans le rapport de 8 à lo.
Si la condition du nombre de jours de travail existait seule, il faudrait encore plus d'ouvriers dans le second cas que dans le premier, et par conséquent, pour cette seconde condition, le nombre d'ouvriers doit encore augmenter, dans le rapport de i8 à 4^*
On trouvera pareillement que pour la troisième condition, le nombre d'ouvriers doit augmenter, dans le rapport de 4 à 6 ; qoe, pour la quatrième, il doit encore augmenter, dans le rapport de no à 25^ que pour la cinquième, il doit diminuer, dans le rapport de
BftOLis DB raoïs. SSt
«6 à I a| et que poui^ la sixième enfin, il doit encore diminuer, dant le rapport de 3 à a.
• On aura donc les rapports 8 l lo, i8 : 4S« 4 ! ^i ^o C aS, i6 : la et3 : 2, dont le rapport composé sera égal à celui de 3o à la quantité d^^rchée, en sOrte que Ton aura la proportion 8xi8X 4 XttXi6x3 : ioX4Sx6xaSxisX9i U 3o ; »▼ , comme ci-deuns.
Cett^ proportion donnera
ioX45x6Xa5XiaX»x3o
8Xi8X4XaoXi6x3 5x5x3X5x3XaXio
4XaXaX4X4 5X5X3X5X3X5
La réponse à la question est donc 87 ouvriers et — .
L'interprétation de la fraction •*- ne peut présenter aucune di#^
ficulté, car on conçoit aisément qu'une fraction d'homme ne saurait exister; mais aussi on conçoit bien qu'il j a des hommes dont les forces diffèrent entr'elles. On doit donc entendre ici qu'il fautemplojfer 87 ouvriers de force ordinaire, et un seul ouvrier dont la
force serait les — de celle des autres. On pourrait encore consi-
dérer le nombre d'heures que cbaqsa ouvrier doit traTailler par jour, et alors on devrait entendre qu'il faudrait employer 87 ouvriers qui travailieraîttit 8 heures par jour pendant 18 jours, et un seul
ouvrier qui ne travaillerait chaque jour que pendant les de 8
382 BteLB n'inTÉBÈt
hmtts. KuT^tt^ comme une approximation suffisante est tout ce qu'on doit chercher dans la pratique, on peut prendre le nombre
88 pour résultat , parce que la fraction est plus grande
que .
RuiAaQUB. Avant d'effectuer les opérations indiquées dans les deux termes de Pexpression fractionnaire qui fait conoaitre la valeur de la quantité cherchée, nous avons eu soin de supprimer tous les facteurs communs de ces deux termes. Cette suppression simplifie évidemment le calcul , et, par conséquent^ on ne devra jamais la négliger lorsque les facteurs communs seront faciles à apercevoir.
IMS LA RÈGLB d'iNTERÊT.
691. L 'intérêt d'une somme d'argent est le bénéfice que fait au bout d'un certain tens celui qui la préie ou qui \sl place; cette somme se nomme le ca/?i£a/. L'intérêt d'une somme dépend évidemment du tenta qu'elle reste placée.etdu bénéfice que le capital 100 francs doit rapporter au bout d'un an, d'après une convention établie entre \e préteur et Yemprunleur; ce bénéfice de convention est ce qu'on appelle le taux de Vintérél ou le taux de V argent» Ainsi, quand on convient que 100 francs doivent rapports 5 francs de bénéfice au bout d'un an, on dit que le taux de l'intérêt est 5, ou que l'argent est à 5 pour ^/^ ^y Le tanx ordinaire de l'intérêt est de 4
(^) C'est U manière usitée d'écrire cinq pour e^nt dans le commerce { on écrit même souvent 5 p. Vu»
on 5 pour ®/o» ^ptelqMlois 6; un tant txlut él«vé «eiwlap^lé
On apfMlle diniêr le qtolical de la dmston de loo feaoct par le taai de Tîntérét. Ainsi, lorsque Targent eet à 5 poar ^/«^ le denier est ao , et on dit alors que la Somine est placée au denier vingt. QHte mesfiéfed'exprioier^e: que rapporte AMineUe«ie»l>tmeertain capital est assez usitée dans les transactions relatives aux bieat ruraux .
693. Il y a deux sortes d'intérêts : Vintérét simple et Vintérét composé.
L'inlérét est simple quand il ne doitpasétre joint au capital d*une ai>oée pQiir produire vu plot grand bénéiice pendant les iKonées suivantes; il est composé , quand à la fia de f)ia4|ue ann^e qa 1a joint au catpital pour produire un bénéfice pendant Tannée luivante. On dit alors qne Ton •recevra les intérêts des intérêts.
L'opération par laquelle on détermine le bénéfice que doit rap*» porter un certain capital , après un tems donné, se nonme ^èf^ d*intérét.
La résolution des questions relatives aux intérêts simples dépend delà théorie des proportions. Quant ieellesqui traitent de rintérét composé, leur résolution est une application immédiate de la théorie des progressions.
