SOMMATION DES FRACTIONS PÉRIODIQUES

Dans cet exemple, la période ?.go ] 84 se manifeste après la 8“' opéra- 38o | o,345238ogj 5238o;)... tion. Mais, ce qu’il y a de remar- 44° quable, c’est que les deux pre- 200 miers chiffres décimaux ne font 3ao

pas partie de la période ; tandis 68o

que , dans les deux premiers 8oo

exemples, la période commence 44

au premier chiffre décimal.

Les fractions décimales périodiques dout la période commence au premier chiffre décimal , s’appellent fractions périodiques simples; et celles dont la période ne commence que plus tard , se nomment fractions périodiques mixtes.

ISO. Nous venons de voir que certaines fractions ordinaires, réduites en décimales, donnent lieu à des fractions décimales périodiques.

Réciproquement, toute fraction décimale périodique , simple ou mixte , provient d’une fraction ordinaire; et l’on peut retrouver facilement la fraction qui lui a donné naissance.

Cette question présente deux cas distincts : ou la fraction périodique est simple , ou bien elle est mixte.

Considérons d’abord le premier cas, et supposons, pour fixer les idées , une fraction périodique simple dont la période ait cinq chiffres.

Soit o,abcde abcde abcde. ... la fraction proposée , et désignons par x la valeur inconnue de cette fraction. On a d’abord

x ~ o , abcde abcde abcde . ... (i).

Multiplions les deux membres de cette égalité par io 5 , ou par l’unité suivie d’autqnt de zéros qu’il y a de chiffres dans la période, ce qui se fait (n° 86) en avançant la virgule de 5 rangs vers la droite; il -vient

io°..r, ou 100000 X. x abcde, abcde abcde... , ou looooo X x— abcde -f- o , abcde. abcde ( 2 )

SOMMATION DFS FRACTIONS PÉRIODIQUES. 2o5

Si maintenant on retranche l'égalité (i) de l’égalité (2), en observant que 100000 * — * = 99999*,

on obtiendra 99999* = abede ;

abede

donc enfin

Ce qui prouve qu 'une fraction décimale périodique simple est équivalente à une fraction ordinaire qui a pour numérateur l'ensemble des chiff res de la période , et pour dénominateur un nombre composé, d’autant de 9 qu’il jr a de chiffres dans la période.

Ainsi la fraction o,35i35i35i. . est, d'après celte règle, équivalente à la fraction

Celle-ci peut être simplifiée si l’on remarque que ses deux termes sont divisibles par 9. On obtient, par la suppression

de ce facteur, — ; supprimant de nouveau le facteur 3 qui

est encore commun, on trouve enfin pour la fraction réduite, ■ 3

. C’est la fraction du second exemple traité au n D 1 J 50

Soit encore la fraction 0,03960396. . . .

La période est ici 0396; donc la fraction est équivalente à

-, ou simplement, à . (On supprime le o comme inu- 9999 9999

tile ; mais on a dû d’abord en tenir compte, parce qu’il fait partie des chiffres delà période. )

F.c facteur 9 étant commun aux deux termes de ce résultat ,

on le supprime, et il vient ■ ** ■— , fraction dont les termes

sont encore divisibles par 1 1 ; et en supprimant ce facteur,

on obtient enfin pour la fraction réduite à ses moindres 101 1

termes

206 autres propriétés

Nous citerons, comme remarquables, lesexemples suivants :