Passons au cas des fractions périodiques mixtes

Pour fixer encore lés idées, nous supposerons qu’il y ait quatre chiffres avant la période et cinq dans la période; mais la manière de raisonner n’en sera pas moins générale.

Soit donc o,pqrs abede abede. . . la fraction proposée.

Observons qu’en la multipliant et divisant en même temps par 10000 , on peut la mettre sous la forme

ioooo

( pqrs , abede abede. . . . ).

Or, la quantité entre parenthèses équivaut , d’après la règle précédente, à pqrs 4- > ou bien, réduisant l’entier en

fraction , à

pqrs X 99999 4- abede

Donc , si l’on désigne par x la fraction proposée.

pars X QQQQQ 4- abede 10000 a? = — ;

pqrs X 99999 + abede 999990000

et par conséquent, x

UES FHACTIONS PÉRIODIQUES. 207

Mais ce résultat est susceptible d’une modification qui le rend plus commode pour les applications.

Comme on a 99999 = 100000 — i, il en résulte pq rs X 99999 = pqrsooooo — pqrs ;

d’où pqrs x 99999 -H abede = pqrsabcde — pqrs.

Dont enfin la fraction proposée a pour valeur, pqrsabcde — pqrs

Ce qui prouve qu’une fraction périodique mixte quelconque est équivalente à une fraction ordinaire ayant pour numérateur l'ensemble des chiffres de la partie non périodique et de la première période. , diminué de la partie non périodique , et pour dénominateur un nombre formé d autant de g qu'il y a de chiffres dans la période , suivi d’autant de zéros qu’il y a de chiffres dans la partie non périodique.

Soit pour exemple , la fraction •

E11 appliquant la formule précédente, on trouve 319306 — 3 t 319276 — 9999 °° 9999 °°’

ou, divisant successivement les deux termes par les facteurs 9, 25 , et 11, qui leur sont évidemment communs ( voyez les caractères de divisibilité établis pour ces trois nombres) ,

Nous proposerons pour exercice les fractions

16,2857142857 14 -*- ; 4>94 5! ®^7 , 4 2 ®^7 ■•••• 1 5,62027027... Mais dans l’appliration des règles précédentes, il faudra nécessairement faire d’abord abstraction delà partie entière, sauf à l’ajouter ensuite à chacun des trois résultats réduits à leur plus simple expression.