AUTRES PROPRIÉTÉS

r r . pqrsabde — pqrs

i6i. La formule x~ — — —

conduit à des résultats assez remarquables.

D’abord, il est e'videut que, les calculs indiques au numérateur étant effectués, le résultat ne peut être terminé par un ou plusieurs zéros ; car, pour que cela fût, il faudrait que quelques-uns des derniers chiffres de pqrs fussent les mêmes que les derniers chiffres de abede ; et dans ce cas , la période ne commencerait pas après le 4° chiffre décimal, comme on l’a supposé. (Par exemple, si l’on avait s=e, r = d, la fraction primitive serait o ,pqdeabcdeabcde . . . ; et la période, commençant au 3 e chiffre, serait deabc. ) On voit donc qu’après la réduction de l’expression ci-dessus à ses moindres termes , le résultat doit être une fraction dont le dénominateur renferme les deux facteurs 2 et 5 , ou au moins l’un des deux, à la 4 e puissance, c’est-à-dire à une puissance d’un degré marqué par le nombre des chiffres qui ne font pas partie de la période.

Nous pouvons conclure de là les deux propositions suivantes: i°. Toute fraction dont le dénominateur ne renferme aucun des deux fadeurs premiers •>. et 5, ou est premier avec io, donne lieu , étant réduite en décimales , à une fraction périodique simple.

En effet, si l’on pouvait parvenir à une fraction périodique mixte, il s’ensuivrait que la fraction ordinaire équivalente à laquelle on parviendrait d’après la règle du n" 160, étant réduite à ses moindres termes, serait égale à la fraction proposée. Or cela est impossible: car on a vu (n°i85) qu’une fraction dont les deux termes’sont premiers entre eux, ou qui est irréductible, ne peut être égale à une autre fraction, si les termes de celle-ci ne sont des équimulliples des termes de la première ; il en résulterait donc que le dénominateur de la fraction proposée serait multiple de 2 ou de 5 ; ce qui est contre l’hypothèse.

2 °. 'Toute fraction ihhéductibi.e dont le dénominateur ren-