LOI DE FORMATION
s’obtiennent également en multipliant respectivement les deux ternies de la troisième, par le quatrième quotient d, et en ajoutant aux deux produits les deux termes de la seconde fraction.
Si l’on fait attention à la manière dont la troisième et la quatrième réduite ont été formées, on sentira que cette loi de formation doit s’étendre aux réduites suivantes ; mais , pour en démontrer rigoureusement la généralité, nous aurons recours à un moyen auquel on a souvent recours en Mathématiques. Nous ferons voir que, si cette relation a lieu pour trois réduites consécutives de rang quelconque , elle a encore lieu pour la réduite suivante ; car alors , ayant été reconnue applicable à la troisième, elle le sera à la quatrième; étant applicable à celle-ci , elle le sera à la cinquième, et ainsi de suite indéfiniment.
Soient donc rr;, , trois réduites consécutives, r le
quotient incomplet auquel on s’est arrêté pour former g; ;et
R Qr 4 - P
supposons que l’on ait g-, = --p (R et K' étant
respectivement égaux à Qr -)- P et Q'r+P / ).
Ajoutons maintenant une nouvelle fraction intégrante - à S
la suite de r, etsoit ^7- la réduite correspondante; il est clair
que, pour former — , tout se réduit à remplacer dans l’expres-
sion de 7-7-, r par r q — : ainsi 1 on aura K j
( Qr -t-P)s-f-Q IW-f-Q
et l’on voit que 'f, se déduit des deux précédentes, d’après la loi énoncée plus haut. Donc cette loi est générale.
nlS RÉDUITES CONSÉCUTIVES.
Ainsi, le numérateur d’une réduite quelconque se forme en multipliant le numérateur de la réduite précédente par le quotient incomplet qui lui correspond, et en ajoutant au produit le numérateur de la réduite qui précédé de deux rangs celle qu’on veut former. Le dénominateur se forme d'après la même loi, au moyen des deux dénominateurs précédents.
N. H . — Lorsque le nombre rc'duit en fraction continue, ou x ,
est moindre que l’unité, on substitue - ù la place de a, aiiu de
pouvoir former la troisième réduite d’après la loi, qui suppose nécessairement qu’on ait d’abord formé les deux premières réduites.
Soit proposé, pour premier exemple, de former les réduites consecutives de la fraction continue,
On a pour les deux premières réduites , - et-.
Pour former la troisième, multiplions le numérateur 1 de la seconde par 3 , et ajoutons o au produit ; multiplions ensuite le dénominateur 2 de !n second par 3 , et ajoutons au produit le
dénominateur 1 de la première ; il vient -.
On trouve de même pour les réduites suivantes,
On obtiendrait également pour les différentes réduites île la
fraction continue provenant de
( voyez n» !64),
2 ao
PROPRIÉTÉS PRINCIPALES
167. Conséquence de la loi précédente. — Il résulte évidemment de cette loi, que les termes des différentes réduites augmentent à mesure que l’on prend un plus grand nombre de fractions intégrantes, puisque le numérateur ou le dénominateur d’une réduite quelconque est au moins égal à la somme des numérateurs ou à la somme des dénominateurs des deux réduites qui la précèdent.
