DES RÉDUITES. 2» I

ou, effectuant les calculs et réduisant,

R Q PQ— QP

D’où l’on voit que le numérateur de la différence — — ^ ,

est numériquement égal, mais de signe contraire, au nuniéra-

Q P Qp' P(Y

leur de la différence ^ — p»» ou — Q,p, x .

C’est-à-dire que les numérateurs de deux différences consécutives sont numériquement égaux , mais de signes contraires.

Or, si l’on considère les deux premières réduites

ah -+• i a

a ab - l-i

7 ct

bX 7 ’

donc, d’après ce qui vient d’élredit, le numérateur de la différence suivante doit être — i ; le numérateur de la troisième différence doit être -f- i ; et ainsi de suite. .

Donc, en général , le numérateur d’une différence quelconque est -f- i si la seconde des deux réduites que l’on considère est de rang pair, et — 1 si elle est de rang impair ; quant au dénominateur, il est évidemment égal au produit des dénominateurs des deux réduites. C. Q. F. D.

169. Conséquence de la propriété précédente. — line réduite de rang quelconque , ( formée d’après la règle du n 1 166) ,

est toujours une fraction ou un nombre fractionnaire irréductible.

En effet, supposons pour un instant que R et R' aient un facteur commun h; comme, d’après la propriété précédente, on a RQ' — QR' = ± i , il en résulte

RQ' QR' RQ' QR’ ,

Or, le premier membre de cette égalité est un nombre entier puisque R et R' sont divisibles par h, tandis qu’au contraire le second membre est essentiellement une fraction,

2„ PROPRIÉTÉS PRINCIPALES

donc il est absurde de supposer que R et R' 11 e soient pas premiers entre eux.

Il résulte de là que , si l’on convertit en fraction continue une fraction dont les deux termes ne sont pas premiers entre eux , et si l’on forme ensuite toutes les réduites jusqu’à la dernière inclusivement, on ne retrouvera pas la fraction proposée, sous sa forme primitive , mais bien cette même fraction réduite à sa plus simple expression , c’est-à-dire débarrassée du plus grand diviseur commun à ses deux termes.

Soit, par exemple, la fraction ^

En la convertissant en fraction continue, on trouve

et les réduites sont. . . .

La dernière réduite — est la valeur de la fraction dé-

barrassée du facteur 12 commun à ses deux termes.