Seconde propriété. — En reprenant la fraction continue

générale x — a-\ ,

on reconnaîtrait aisément, par un raisonnement analogue à celui qui a déjà été fait au n° 165 sur un exemple particulier, que la valeur de x est comprise entre la première et la seconde réduite, entre la seconde et la troisième, et ainsi de suite;

ü FS RÉDUITES.

aa3

d’où l'on pourrait conclure, par analogie, qu’eu général la valeur de x est comprise entre deux réduites consécutives de rang quelconque.

Mais nous allons démontrer cette propriété fort importante d’une manière plus générale.

Soient , pour cet effet , deux réduites consécutives, —, — ,

de rang quelconque; et proposons-nous d’évaluer les différences

Observons que si, d

R Qr 4- P

vante, -57 ou n

ans l’expression de la réduite suioii met à la place du quotient incom-

plet r , le quotient complet y, ou r -|

dont r n’est que la partie entière, on reproduira la» valeur du nombre réduit en fraction continue, puisque alors on aura la réduite de la fraction continue totale. Il viendra donc, d’après cette remarque ,

- QzJ:

Qlr + P'

d’où x

et x

P __ Qjr 4 - P P (QP' - PQ’)j l 1 ' ~ Q> + P' P' (Q> + P')P' ’

Q- ~ 9Z-±I Q PQ' - QP . Q' Q'jr + P' Q' (Q> + P , )Q' ’

ou, à cause de QP' — PQ' = ±i, PQ' — QP’= rp 1 (n° iCO),

P — jr

Cela posé, comme les nombres jr, P, P', Q, Q', sont, par leur nature, essentiellement positifs, il s’ensuit que les deux ré-

PROPRIÉTÉS PRINCIPALES

sultats précédents sont de signes contraires. Donc , si l’on a x > ou <■ — on doit avoir nécessairement x ou )> ^7 ;

ce qui veut dire que, si le nombre réduit en fraction continue

est plus grand ou plus petit que la réduite —, ce même nombre

est plus petit ou plus grand que Donc enfin, la valeur du

nombre réduit en fraction continue est toujours comprise entre deux réduites consécutives de rang quelconque.

Remarque. — Si la réduite est de rang pair, le numéra-

le P

teur de la différence entre ^7 et p?, ou QP' — PQ', est positif

et égal à -f- 1 (n° 168); ainsi l’on a x > — et *< 77 ■

Donc f toutes les réduites de rang pair sont des fractions plus grandes , çt toutes les réduites de rang impair sont des fractions plus petites, que le nombre réduit en fraction continue.

171. Troisième propriété. — Lue réduite de rang quelconque donne une valeur plus approchée de x que celle qui la précédé.

En effet, considérons encore les deux différences du n° 170. Comme on a (n° 167) Q' > P', il s’ensuit que le dénominateur (Qy P') Q' est > (Qy -f- P') P' ; d’ailleurs est > 1 ;

donc, par cette double raison , la différence entre x et q> est

numériquement moindre que la différence entre a: et p.

Remarque. — Puisque, d’après la remarque du n° 170, les réduites de rang pair sont des fractions plus grandes, et les réduites de rang impair sont des fractions" plus petites que la valeur de x , et que d’ailleurs, en vertu de ce qui vient d’être démontré, les réduites convergent sans cesse vers la valeur de x,à mesure qu’elles s’éloignent de la première réduite, 011 doit nécessairement conclure :

« c . — Que les réduites de rang pair vont en diminuant de

DES KëDUITLS. .^5

valeur, à par l ir de la seconde a®. qu’au contraire, les réduites de rang impair, à partir de la première , vont en augmentant de valeur.

172. Quatrième propr.été. - Le degré d’approximation que donne chaque réduite, peut être évalué de plusieurs manières :

D’abord, de ce que (n“ 170) la valeur de ar est comprise entre deux réduites consécutives quelconques p , — , il s’ en suil que la différence entre x et l’une de ces réduites est moindre que p^-r , différence qui existe entre les deux réduites. Donc déjà , l’erreur commise lorsqu’on prend une de ces deux réduites pour la valeur de x , est moindre que V unité divisée par le produit de leurs dénominateurs.

En second lieu, puisque la différence entre x et —, est, abstraction faite du signe, exprimée ( n° 170) par

(gr-HP')^ ’ el que lon, “ r > 1 > d ’ où (Q>+P') QXQ'+P')Q , il en résulte nécessairement

nQ”

pf à fortiori , x — —

Ainsi, la différence entre x et ^ , ou l’erreur commise

lorsqu’on prend pour la valeur de x , est moindre que tu-

nité divisée par le produit du Mnominalcur de la réduite , multiplié par la somme faite de ce meme dénominateur et de celui de la réduite précédente ; ou moins exactement , mais en termes plus simples , que l'unité divisée par le carré du dénominateur de la réduite considérée.

N. B.— Il est à remarquer que les' trois propriété*" uré-

Arilh. B , 1