C.ONSTItUCTIOK ET USAGE
faudrait (n°24G), d’après la formule q— yj - qui donne l’expression de la raison , extraire avec un très-grand degré d'approximation, la racine 3'''”' de — , ou de to, opération que
l’on sait être déjà assez laborieuse. Que serait-ce donc s’il fallait en insérer tooooooo, comme l’indiquent les traités d’Aritlnnétjque? Mais notre objet était seulement de faire concevoir la possibilité de l’existence d’une table de logarithmes. C’est dans les parties plus élevées des Mathématiques, qu’on trouve des méthodes de détermination beaucoup plus expéditives.
2iî9. Voici néanmoins une méthode élémentaire qui est peut-;être plus aisée à comprendre , en ce qu’elle ne suppose que des extractions successives de racines carrées.
Supposons qu’on veuille déterminer le logarithme de 5 en particulier.
Comme 5 est compris entre î et to, insérons un seul moyen proportionnel entre i et to, puis un moyen différentiel entre o et i.
On a (n° 207) i ; x x to ;
d’où x = io= 3,16227766. ... ;
el(n°205) o.y ; y. 1 ;
d’où y == - = o.5.
Cela posé, -ou o,5 sera évidemment le logarithme de [/ 10 ;
résultat qui s’accorde d’ailleurs avec la propriété du n° 2S7.
puisque l’on a log. \/ 10 = - log. 10 = -.
Actuellement, comme 5 est plus grand que 3 , 162 ... et plus petit que 10 , insérons un nouveau moyen proportionnel
entre 3,1622. . . et 10 , puis un moyen différentiel entre '
il vieil L
des tahi.es.
3,16227766 ....; .r ”.r; 10 d’où .r -= 1/31,69.2776. . =5,623...;
el \ ■ r *• jr ■ 1 ;
cl ou J- = - = 0,75.
Le nouveau moyen différentiel est d'ailleurs le logarithme du nouveau moyen proportionnel.
Le nombre 5 se trouvant compris entre 3,162 . et
5,623. . . , nous sommes encore conduits à insérer un moyen proportionnel entre 3,162... et 5623..., puis un moyen différentiel entre o ,5 et 0,75.
Or, il est évident qu'en continuant cette série d’insertions de moyens proportionnels, on parviendra & en déterminer deux qui ne différeront l’un de l’autre que d’une quantité aussi petite que l’on voudra, et qui comprendront le nombre 5 . On pourra donc, sans erreur sensible, substituer 5 à l’un de ces moyens proportionnels, et le moyen différentiel corrcspon danl an moyen proportionnel sera le logarithme demandé. On obtiendrait par des opérations analogues, les logarithmes de 2,3,7,
Remarquons d’ailleurs qu’il suffit, en calculant ainsi le logarithme de chaque nombre entier, de déterminer directement les logarithmes des nombres premiers ; quant aux logarithmes des nombres multiples, on les obtiendrait au moyen des logarithmes des nombres premiers, en faisant usage* des propriétés des h n * 282 et 286 .
Par exemple, on aurait log i 5 = log ( 5 x 3 ) ax log 5 * 4 -log 3 ; log 36 e= log (2* X 3 ") = 2 log 2 - 4 - a log 3 ; et ainsi de suite.
Disjtosilion et usage des Tables l’ulgairrs .
260 . On appelle logarithmes vulgaires , ceux dont la formation est fondée sur le système des deux progressions
USAGE
| H « ; 10 : 100 : IOOO ; 1000 0... 1
parce que c’est de cette table qu’on se sert le plus communément. On les appelle encore logarithmes de Briggs , du nom du premier auteur d’une table de cette espèce.
Il résulte de l’inspection des deux progressions,
i°. Que le logarithme de l’unité est zéro ;
2 °. Que le logarithme de i o est 1 ;
3°. Que les logarithmes de tous les nombres entiers ou fractionnaires, compris entre i et io, sont plus petits que l’unité f que ceux des nombres compris entre io et ioo, se composent d’une unité et d’une certaine fraction ; que ceux des nombres compris entre ioo et tooo, se composent de deux unités et d'une certaine fraction; et ainsi de suite.
Dans les tables de Briggs, ces fractions sont évaluées en décimales.
Ainsi , les logarithmes des nombres d’un seul chiffre sont représentés par une fraction décimale proprement dite; les logarithmes des nombres de deux chiffres ont i pour partie entière , laquelle est d’ailleurs suivie d’une fraction décimale.
Les logarithmes des nombres de trois chiffres ont 2 pour partie entière. . . .
En général , la partie entière du logarithme d’un nombre renferme autant d’unités moins une , qu’il y a de chiffres dans le nombre si ce nombre est entier, ou dans la partie entière de ce nombre s’il est fractionnaire.
Cette partie entière d’un logarithme se nomme caractéristique , parce qu’on peut juger, d’après son inspection seule, l’ordre des plus hautes unités qui se trouvent comprises dans le nombre correspondant au logarithme proposé.
Ainsi, 2 , 74 o 56 .. . correspond à un nombre de trois chiffres , c’est-à-dire à un nombre compris entre ioo et iooo ; de même, 4>°5678... est le logarithme d’un nombre compris entre ioooo et 100000 .
r>ES TABLES.
SOI Connaissant le logarithme (l’un nombre quelconque, on peut obtenir facilement celui d'un nombre 10, 100, 1000 fois plus grand. Il suffit, pour cela, A' ajouter t, 2, 3 ... unités à la caractéristique.
Soit, en effet, a, un nombre dont on connaît déjà le logarithme ; on a (n°2i»2)
•og ("X 10) = log a -f- log io = loga+i, log ( a x 100)= log a -f- log 100 = log a -f 7,*
log (« X t o") = log a -f- log 1 o* = log a + n.
Réciproquement , le logarithme d’un nombre étant connu, pour obtenir celui d’un nombre 10, 100, 1000... fois plus
petit, il suffit de retrancher de la caractéristique , 1 ,2, 3,
unités.
tn eflet, on a (n° 2BS)
,° 6 £o = l°g«- log 1000= logo — 3 ; et ainsi des autres.
On peut conclure de là que les logarithmes des nombres 4567 | 456,7 I 45,67 | 4,567, par exemple, ne diffèrent pas les uns des autres par la partie décimale, mais seulement par la caractéristique, qui est 3 pour le premier nombre, 2 pour le deuxième , 1 pour le troisième , et o pour le quatrième.
En général, le logarithme d’un nombre fractionnaire décimât est le même , a la caractéristique près, que le logarithme de son numérateur, ou du nombre proposé dans lequel on ferait abstraction de la virgule : il n’y a point de différence dans la partie décimale du logarithme.
Il est bon d’observer que cette propriété est toute particulière au système des logarithmes de llriggs; et c’est ce qui doit faire préférer ce système à tout autre, puisque les fractions décimales sont les fractions sur lesquelles on a à opérer le plus souvent.
Ariih. B. 53
USAGE
262. 11 était impossible de placer dans les tables d’autres logarithmes que ceux des nombres entiers; car, deux nombres entiers consécutifs comprenant une infinité de nombres fractionnaires, il n’y aurait pas de raison pour y placer les uns plutôt que les autres. En outre, les calculs que nécessitait la confection d’une table, étaient trop laborieux pour qu’on pût l’étendre au-delà d’une certaine limite, même assez faible.
Ainsi*, il y a des tables qui ne vont que jusqu'à îoooo, d’autres jusqu’à 20000 ; une des plus étendues, celle de Callet, va jusqu’à 108000 .
Cependant, les applications logarithmiques exigent souvent la recherche du logarithme, soit d’un nombre qui excède les limites des tables, soit d’un nombre fractionnaire. Comment alors obtenir ce logarithme? G’est ce que nous allons développer sur des exemples. (Nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que l’on n’ait entre les mains que les petites tables de Rejnaud ou de Lalande. )
