OBSERVATION PRÉLIMINAIRE

I . Tontes le* fois qne l’on a à développer une fraction ordinaire en décimales, et que le quotient doit être composé d’un nombre infini de chiffres décimaux, on s’arrête ordinairement , dans l’évaluation du quotient, à un certain ordre décimal. Or il peut arriver deux cas : on le chiffre qui suit celui auquel on s’est arrêté est moindre qnc 5; ou bien il est égal ou supérieur

Dans le premier cas, il est évident que la partie du quotient À laquelle on s’est arrêté exprime la valeur cherchée, non-seulement à une unité pris de l’ordre du dernier chiffre II droite, mais même h nne demi-unité de cet ordre; et Terreur commise est alors en moins.

Dans le second cas, si Ton augmente d’une unité le chiffre auquel on s’est arrêté, on a encore la valeur cherchée, h une demi-unité de Tordre de ce chiffre; mais alors on commet une erreur en plus, laquelle est inférieure h celle qui résulterait de la suppression pure et simple des chiffres qui suivent celui auquel on s’est arrêté.

Soit, pour exemple, la fraction h développer en décimales.

NOTE

Dans ccl exemple , le» partie» 0,739 | 0,7391 | o,73gi3o4 | ...» expriment en moins la valeur totale du quotient à un demi-millième ,à un demi-dix-mil • lie me , h un demi-dix millionième près, puisque les parties négligées sont évidemment moindres que la moitié d'un millième, ou d'un dix-millième, ou d’un dix-millionième.

Mais 0,74 | o,739i3o>J35, | expriment en plus le quotient à un demi-centième, à un demi-billionième près; caries quantités dont le quotient a été ainsi augmenté sont évidemment moindres que la moitié d'un centième, ou d’un billionième.

D'où il suit qu’un quotient de division susceptible de se prolonger à l'inlini par le développement en décimales peut toujours être évalué, soit en moins , soit en plus, à une demi-unité d'un ordre décimal quelconque. Il suffit que l’on sache si le chiffre qui suit celui auquel on veut s’arrêter, doit être plus petit que 5, ou bien égal ou supérieur à 5.

Or il est à remarquer ici que l'on n’a pas besoin de connaître la vraie valeur du chiffre qui suit celui auquel on s’est arrêté, c’est-à-dire de déterminer ce chiffre suivant : il suffit de considérer le reste correspondant au chiffre de la dernière opération. — Suivant que ce reste est moindre que la moitié du diviseur, ou supérieur a cette moitié, l’on peut affirmer que le chiffre qni viendrait après celui auquel on s’est arrêté, serait moindre que 5, ou bien <gal ou supérieur à 5.

Ainsi, dans l'exemple précédent, on voit que tous les reste» qui correspondent aux quotients 9 , 1 , 3 , 0,4, 3, sont 3,7,1)10,8,11, nombres évidemment moindres que la moitié du diviseur 33 ; tandis que les restes correspondant aux chiffres, 3 centièmes, (\ billionième s , sont ui et 18 , nombres qni surpassent la moitié du diviseur.

Une remarque analogue peut être faite pour la racine carrée d’un uombie développée en décimales.

Comme, d’après la formule du n° 177,

(a -f- b)* z=. ■+• lab -f- b * ,

= fl’ + <i +

il en résulte que, si a désigne la partie déjà trouvée à la racine, selou que le reste correspondant est au plus égal à a, ou bien supérieur à a, l’on peut affirmer que a exprime la racine à une demi-unité près de l'ordre du dernier chiffre à droite de a, et que l'erreur commise est en moins, ou bien que a -h 1 exprime en plus cette même racine, à une demi-unité de l'ordre du dernier chiffre; et cela, sans qu'il soit besoin de faire une npnvclte opération , laquelle donnerait certainement un chiffre plus petit que 5, ou bien un chiffre égal ou supérieur à 5.

Passons maintenant à l'objet piiucipul que nous nous sommes proposé-