PREMIÈRE PARTIE

On est souvent conduit, dans les questions d'Aiitlimcnque ( r*»r cz I.» fin

4fc

«la 4 e chapitre) h effectuer îles operations «lans lesquelles figure un assez grand nombre de chiffres décimaux, bien qu’il suffise, pour l’objet qu’on se propose, d'obtenir le résultat avec un nombre de décimales - beaucoup moindre que n’en comportent les nombres sur lesquels on opère. Il est donc mile de faire connaître des méthodes h l’aide desquelles on puisse , sans être obligé d’exécuter le* opérations en entier , obtenir les seuls chiffres décimaux dont on a besoin.

Méthode abrégée pour la Multiplication .

2 . Commençons par la multiplication, et prenons les deux nombres 34*s53467 et 5,46379 en supposant qu'on veuille eu obtenir le produit a 0,001 près.

L'artifice à employer consiste .5 ne tenir compte , dans le* multiplications par les differens chiffres du multiplicateur, que des millièmes , ou des unités d’ordres supérieurs, c’esi-à-dire des centièmes , dixièmes , unités simples , etc. Cependant, comme il suffit de 10 dix-millièmes pour faire 1 millième t il est encore nécessaire d’avoir égard aux dix-millièmes que peuvent donner les produits partiels.

D'après ecs premières observations , voici comment on doit opère» :

1 7 1 2673 . dix - millièmes .

On commence par écrire le chiffre des unités du inultiplicatcnr sous le chiffre des dix-millièmes du multiplicande, et l’on dispose les aunes chiffres h la suite, en renversant l’ordre dans lequel ils étaient écrits; de sorte que le chiffre des dixièmes du multiplicateur est nécessairement placé sou* le chiffre «les millièmes du multiplicande , le chiffre «les centièmes sons le chiffre des centièmes , et ainsi «le suite. Quant aux chiffres des dix aines , centaines , etc., du multiplicateur, s’il en avait, ils seraient nécessairement places sous les chiffres des cent-millièmes , millionièmes , etc., du multiplicande. En un mot, chaque chiffrt do multiplicateur cal, par celte disposition, placé andc&soos du chiffre du multiplicande, dont le produit par celui du multiplicateur, donne de* dix-millièmes .

Cela posé , on multiplie d’abord par le chiffre 5 du innitiplicateur tous les chiffes du multiplicande, à partir du chiffre 4 qui correspond au chiffre 5 , et en négligeant le produit de 67 par 5 , h l’exception «les 3 onitésde retenue que donne le produit de G par 5 , et qui expriment des dix-millièmes , puisque ce produit est 3 o cen t-m i llièmes . On obtient ainsi 171*67.3 dix -

NOTE

millièmes , qre Ton écrit au-dessous des deux facteurs, après avoir souligné ceux-ci.

Passant au chiffre 4 des dixaines du multiplicateur, ou multiplie par ce chiffre tout le multiplicande, h partir du chiffre 3, et négligeant le produit de 4^7 par 4 « & Pexception de V unité de retenue que donne 4 fois 4* parce que cette unité exprime encore I dix-millième ; on obtient ainsi i 370 î 3 dix-millièmes , que l’on place au-dessous du premier produit, de manière que les derniers chiffres se correspondent, comme exprimant tous deux des dix-millièmes.

On opère de la même manière par rapport aux autres chiffres du multiplicateur, ayant soin de commencer chaque multiplication partielle au chiffre du multiplicande qui est placé immédiatement au-dessus du chiffre multiplicateur que l y on considère , et ajoutant seulement au produit les retenues fournies par le chiffre qui suit celui du multiplicande auquel commence la multiplication.

On obtient ainsi les trois nouveaux produits ao55i, 1027 , et ?3q, que l’on pince an-dessous des précédents , de manière que les derniers chiffres .N droite se correspondent.

On fait ensuite la somme de tous ces produits , et il vient i 87 î 5 o 3, nombre dont il faut séparer par une virgule quatre chiffres décimaux , puisqu’il doit exprimer des dix-millièmes.

F.nGn , on barre le dernier chiffre, et l’on trouve 187 , »5o pour le produit demandé, à o,ooi près.

Il est facile de vérifier ce résultat en effectuantla multiplication tout entière.

IV. B . — On pourrait croy^e , d'après ce procédé, que, comme on a, en apparence, tenu compte de tous les dix-millièmes que renferment les produits partiels, le chiffre des dix-millièmes est I ui- même exact ; mais on sc tromperait, car il est ordinairement trop faible de plusieurs unités. Cela tient à ce que la somme des uoités de la colonne des cent-millièmes peut donner plusieurs unités de retenue. Toutefois, on doit regarder l’erreur comme ne pouvant pas influer sur le chiffre des millièmes ; car pour que cela fût, il faudrait que le multiplicateur fût composé de dix chiffres au moins, attendu que, d’après le procédé ci-dessus, l'erreur commise k chaque multiplication partielle est , en général , moindre que 1 dix-millième.

5. Au reste, on peut encore atténuer da van tage les erreurs commises dans J( cours du calcul , au moyen des modifications suivantes.

Toutes les fois qn’h la simple inspection des deux chiffras à droite du chiffre multiplicande auquel «omrnence chaque multiplication partielle, 011 reconnaît que le second des chiffres du produit de l'ensemble des deux chiffres dont nous venons de parler, par le chiffre multiplicateur, est égal ou supérieur £ 5, on augmente ou l'on force d’une nnité le premier chiffre h gauche de ce produit, pour l'ajouter ensuite au résultat de la multiplication partielle que l’on exécute.

Développons celte modification sur J exemple déjà traité:

Dans la première multiplication partielle, comme le produit de 67 par 5 donne 33 pour le* deux premier» chiffres h gauche, on te borne h ajouter 3 au produit de 34*3534 par 5 $ cec|ui donne 171367.3 comme dans la première manière d’opérer.

Mais, Il la seconde multiplication, comme le produit de l'ensemble des deux premiers ch iffrei, 46, k droite du chiffre 3 , par le chiffre multiplicateur 4 , est ( 84 , on ajoute ? et non pas 1, an produit de 34 , 3.53 par 4 ; ce qui donne 17014 au lieu de 1 37033, que Ton avait obtenn dans le premier tableau.

Pareillement, le produit de 34 par 6 étant 304, on ajoute 3 an lieu de 1 au produit de 34,35 par 6 ; ce qui donne 30553 au lieofîe 3 o 55 t.

On reconnaîtra de meme que les deux derniers produit* doivent être 1028 et x4°.

Additionnant les produits partiels, on obtient pour résultat 117,1807 an lieu de 1 17, i 5 <> 3 .

Ce nouveau résultat prouve, en vertu de ce qui a été dit an n # I (note\ que 1 17,1 5 i est la valeur du produit h un demi-millième près, puisque le chiffre qui suit celui des millièmes est plus grand que 5 .

Appliquons le procédé et scs modifications k un nouvel exemple.

Soit proposé d’obtenir h 0,00001 près le produit des deux nombres 763,054031178956 et 354 , 463 o 578 ?

384 note

Puisqnc Ton veut que les cinq premiers chiffres décimaux soient exacts, il faut tenir compte des millionièmes que peinent donner les produits partiels. Ainsi, apres avoir renverse Tordre des chiffres du multiplicateur, on le place au-dessous du multiplicande, de manière que le chiffre 4 de ses unités soit sous les millionièmes du multiplicande; les antres chiffres se placent alors d’eux mêmes dans Tordre prescrit précédemment; et Ton effectue les multiplications en ayant égard, pour chaque chiffre du multiplicateur, à la retenue (modifiée s’il y a lieu) que donne le produit delà partie négligée au multiplicande, parce chiffre.

Dans cet exemple, on amorcé d’une unité chacune des retenues des i r ®, 3 e , 4 e » 5 e et 7® multiplications, pour la raison développée dans le premier exemple ; et comme le chiffre barré est plus grand que 5 , on peut conclure que 194*69,06347 exprime le produit en plus , h un denù-cent-millième près .

4 . Première remarque. En réfléchissant sur la nature du procédé abrégé de la multiplication , et des modifications indiquées au n° 3 , il est facile de voirqu’à chaque multiplication partielle, Terreur commise , tantôt en moins, tantôt en plus, est moindre que la moitié de l’unité de Tordre décimal qni suit ci lui auquel doit s'arrêter l’approximation. Donc, il faudrait au moins qo chiffres au multiplicateur, pour que l’erreur finale pût influer d’une unité seulejnent sur le dernier chiffre h droite, du produit approché.

Il y a plus; comme les erreurs partielles, commises en plus et en moins, se compensent jusqu’à un certain point , on peut presqu’affirmer que Te chiffre suivant ne diffère du véritable que d’une on de deux unités au plus.

En effectuant la multiplication précédente d’apres les règles ordinaires, on reconnaît, en effet, que le produit, jusqu’au chiffre décimal inclusivement, est 19 {169,0634681. D’où Ton voit, que le 6® chiffre décimal trouvé par la méthode abrégé ne diffère du véritable que d’une unité. Ici , la somme des erreurs commises en moins a surpassé la somme dc's crrcui s commises en plus.

8 . Seconde remarque . Une légère difficulté peut se présenter dans les applications; c’est lorsqu’on veut obtenir le résultat à moins d'une demi-unité d’on certain ordre décimal {voyez la Noie, u° i). Comme le chiffre barré peut être trop fort ou trop faible de quelques unités , et qu'il peut arriver que ce chiffre soit peu différcnl de 5 , on ne sait pas si Ton doit prendre tel qu'il est, le chiffre auquel on a arrêté l’approximation, ou bien s’il y a lieu de l'augmenter d’une unité.

Dans ce cas, le seul moyen certain de résoudre la difficulté consiste à chercher le produit avec un chiffre de plus qu’on ne veut en avoir. Comme, d’après cequi a été dit précédera ment, ce chiffre est toujours exact, on prendra dans le produit obtenu, la partie à gauche de ce chiffre, ou cette partie augmentée d’une unité, suivant qu’il sera moindre que 5 , on bien égal ou supérieur à 5 .

Ainsi , qu’on veuille obtenir le produit, à un demi-dix-millième près par exemple, on opérera comme si on voulait l’obtenir à un cent-millième ; et le chiffre obtenu des cent-millièmes indiquera s’il faut laisser le chiffre des dix-millièmes tel qu’il es 1, ou l’augmenter d’une unité.

U. Troisième remarque. 11 peut arriver que le multiplicande n’ait pat auez de chiffres décimaui pour qu’on puisse faire correspondre les chiffres des unités, dixaincs , centaines, etc., du multiplicateur , aux chiffres sous lesquels la règle prescrit de les placer. Dans ce cas, on commence par écrire 4 la droite du multiplicande un nombre convenable de zéros.

Soit, par exemple, h multiplier i8a5,4oÎ7 par ajaç , 1 15 , et supposons . qu’on demande un produit exact jusqu’aux dix-millièmes inclusivement.

Comme il faut que le chiffre des unîtes du multiplicateur corresponde su chiffre des cent-millièmes du multiplicande, qnc les dixaincs, centaines, etc., correspondent aux millionièmes , dix-millionièmes , etc., on pose quatre zéros & la droite du multiplicande ; et il vient 1835,40370000. Du reste, l'operation s’effectue comme précédemment.

Nous engageons les commençants 4 s’exercer sur 1rs exemples de multiplication traité* n®* 105 cl suivants.

7. Enfin , la méthode precedente est applicable 4 la multiplication de deux nombres entiers, composes l’un et l’autre d’un assez grand nombre déchiffrés , et dont on demanderait le pi odnit , 4 une unité pris d’un certain ordre.

Soient , par exemple , tes deux nombres 37945® et 89764 , dont on veut voir te prndu il a vu million près.

223565 centaines de mille.

ArilH. ti.

cent-millièmes.

NOTE

Pour avoir un produit exact jusqu’aux millions inclusivement , il est nécessaire de tenir compte des centaines de mille que peuvent donner les produits partiels. Ainsi , l’on écrira d’abord le multiplicateur renverse , au-dessous dn multiplicande, de manière que le chiffre de sc.s unités soit placé ious le chiffre des centaines de mille , Je chiffre de ses dïxaines sous le chiffre dés dïxaines de mille ; et l’on effectuera l’ope'ration comme précédemment. On obtiendra par ce moyen a5o85 millions pour le produit demandé. Ce résultat est trop fort , puisque top tes les retenues ont été forcées d’une unité.

Méthode abrégée pour In division.

8. Il existe aussi , pour la division de deux nombres composés «l’un grand nombre de chiffres, un moyen plus simple que le procédé ordinaire , d’obtenir le quotieut avec un certain degré d’approximation.

Nous considérerons d’abord le cas où le dividende et le diviseur étant deux nombres entiers, on voudrait obtenir le quotient h moins d'une unité près seulement ; il sera facile ensuite d’en déduire !c cas de deux fractions décimales.

La méthode qae nous allons exposer est fondée sur ce que, d’après le procédé ordinaire de la division, la détermination de chacun des chiffres du quotient ne dépend le plus souvent que des deux on trois premiers chiffres du dividende, et du premier ou des deux premiers chiffres du diviseur; d’où il résulte qu’on peut obtenir les véritables chiffres du quotient sans employer les derniers chiffres de chaque dividende partiel. Cela posé, voici en quoi consiste le procédé abrégé:

Supprimez sur la droite du dividende autant de chiffres monts deux, qu'il y en a dans le diviseur ; faites ensuite la division de la partie à gauche , par le diviseur , comme à P ordinaire. S’il n’y a point de reste, mettez a la suite du quotient autant de zéros que vous avez supprimé de chiffres dans le dividende. Mais s’il y a un reste, ainsi que cela arrive généralement, divisez ce reste, non pas par le même diviseur (ce qui n’est plus possible ) , mais par le diviseur dont vous aurez supprimé le dernier chiffre à droite. Toutefois , dans la multiplication du nouveau diviseur par le chiffre obtenu au quotient , ayez soin d’ajouter la retenue que donne le produit du chiffre supprimé, par le chiffre du quotient (en -ayant'égard à la modification indiquée au n° 3). Divisez ensuite le nouveauyeste par le diviseur précédent , dont vous aurez encore supprime le dernier chiff rc a droite. ( Même observation que tout h l’heure, pour la multiplication du nouveau diviseur par le chiffre du quotient.) Continuez ainsi de diviser, en supprimant, à chaque division, un chiffre sur la droite du diviseur , et arrêtez P opération quand il ne reste plus au diviseur qu’un chiffre non barré. Barrant alors le dernier chiffre obtenu au quotient , vous obtenez pour le quotient demandé , la partie il gauche du chiffre barré.

Pour nous rendre compte de ce procédé , nous allons prendre un exemple assez simple, cl Je traiter d’abord parle procède ordinaire, ensuite d’après celui qui vient d’être énonce'.

SU* LES A1>1>ROXI3 IaTIONS NUMÉRIQUES.

Snil à ilniser 43 j 450S;,6 par iViS’i

La «hvtsion ii gauche cil faite d'après le procède ordinal te , et il e*l ilffetilc île »’v arrêter . occunoys-nous seulement «le la seconde

Couronnement h 1s règle , «>n sépare deu x chiffres sur 1s «hotte «lu dividende, puisqu’il y en a quatre dans le diviseur, et l’on divise la partie à gauche, 43 (> 4568 , par 5683 , comme h l'ordinaire, ce qui donne pour quotient 75 7 , et ponr reste *j537.

Cela pose , on supprime le dernier chiffre 3 du diviseur , et l’on divise af >37 par 568 , ce qui donne 4 pour quotient. Ou multiplie 568 par 4 en ajoutant au produit l’unité de menue que fonrnit le produit 12 du chiffre supprime par 4» «1 l’on retranche le résultat 1*73 de cette multiplication, «le 2537 ; il vient pour reste 264.

Supprimant le chiffre 8 dans le dernier diviseur, cl divisant 364 par 56 , on obtient 4 pour quotient. Multipliant 56 par 4 » cl ajoutant au produit les 3 unités qui proviennent de la multiplication des deux chiffres supprimés , par .{, on trouve 337 , «pii , retranché «le 264, donne pour reste 37.

Divisant enfin 37 par 5 , on a pour quotient 7 ; ce chiffre est trop fort, car en mettant 7 , on serait conduit h retranche* 5 X 7 - 4 * 5 , ou 4 o de 37. On écrit donc le chiffre 6. Barrant alors ce dernier chiffre , on trouve, il une unité près , 76744 pour le quotient demandé. (Noos parlerons tout à l’henre du chiffre bar té. )

Eu comparant les deux opération» ci-desaus, ou reconnaît que les der ou trois premiers chiffres sont 1rs mêmes dans chaque division partielle, par conséquent, que les chiffres du quotient doivent être les mêmes dan Tune et l’autre; mais, dans les multiplications par les différent» chiffre» du quotient, il ne faut jamais oublier d’avoir recours aux modifications du n*5; autrement, on parvienrlrait à des restes trop fort» qui pourraient donner au quotient des chiffres supéricuis aux véritables.

9 - N» B. — Comme dan» l’exemple ci -dessus, le premier chiffre «H gauche * de la partie suppiimée au «lividcnde est moindre que 5 ; on peut conclure que le reste x537 est trop faible de moins d’une demi-unité «le Tordre du chiffre 7. Si le chiffre à gauche dont nous venons «le parler était 5 ou supérieur & 5 „ il conviendrait d’augmenter d’une unité le dernier chiffre à droite «le la partie conservée au dividende; et alors le nouveau divhlcndc sc trouverait augmenté de moins d y une demi-unité de l’ordre de ce chiffre h droite.

NOTE

D’an autre côte, en verni des modification» du n° 5 , chacun de» dividende» partiels des operation» suivante» est nécessairement augmenté on diminué en moins d'une demi-unité du même ordre.

Toutes ces erreurs, Jes unes en plus , les autres en moins, se compensent en grande partie. Mais, dans tous les cas, on peut affirmer que la limite de Terreur totale commise soit en plus , soit en moins sur le dernier dividende partiel que l’on a obtenu en barrant successivement tons les chiffres du diviseur moins le premier, est marquée par autant de demi-unités de l’ordre do premier chiffre h droite de la partie supprimée au dividende, que l’on a fait d’opérations partielles d’après le procédé abrégé.

Bè divisant cette limite pur le premier chiffre gauche do diviseur, on obtient pour quotient le nombre d’unités dont le chiffre barré du quo tient de la division totale peut être trop fort ou trop faible.

On voit, d’après cela, qu'il faudrait que le nombre des divisions partielles effectuées d’après la me'thode abrégée fût très-considérable (an moins égal à 10), pour qu’il y eût à craindre une seule unité d'erreur sur le chiffre qui précède le chiffre barré.

Soit , pour second exemple, a diviser 54 o 347 ° 567%°45 par 2786459.

25 oo 4

Ap ês avoir séparé dm/ chiffres sur la droilc «lu diviilcmle t c'est h-dire deux de moins qu’il n’y en a dan» le diviseur) , on divise la partie 11 gauche par le diviseur tout entier, rc qoi donne le quotient iqît), et le reste 5 o 656 . ' lei le dernier chiffre est augmenté d’une imité pour la raison énoncée pin» haut au n° 8.)

Cela fait, on snpprimc le dernier chiffre 9 do diviseur , et l’on divise 5 ï 6567 par 078645; on obtient le quotient 1 et le reste 047901 qnc l’on disise par 07864 ; il vient ponr nonvean quotient 8 , et pour nouveau reste, o 5 oo 4 qu’on divise par 0786 ; et ainsi de suite, jusqn’fi ce qn’on soit parvenu an reste 9 qui, divisé par o, donne pour quolient 3(4 serait trop fort). On barre le chiffre 3 , et l’on obtient 193918897 ponr le quotient demandé.

10 Remarque. — Si, au commencement de l'opéra lion , quand on a supprime sur la droite du dividende les chiffres que la règle prescrit, la partie h gauche ne contient pas le diviseur , on supprime tout de suite à la droite du diviseur le nombre de chiffres necessaire pour que le nouveau diviseur soit contenu dans cette partie à gauche du dividende.

Soit ü diviter 3 » * 564^07 P ar 673G4.

3 0 564 1 897 Gy *##

3 0 565 ’ * JSSf

Comme, après la séparation des trois derniers chiffres à droite du dividende bipartie & gauche, 3 o 564 , ou plutôt 3 () 565 , ne contient pas le diviseur, on supprime le dernier chiffre du diviseur, puis on divise 3 o 565 par 6 ^ 36 , ce qui donne |>our quotient 4, et pour reste 36 ig, sur lequel on opère comme précédemment.

II. Nous pouvons maintenant établir le procédé qui convient an cas 011, les deux nombres étant des fractions décimales, on demande le qootient avec tin certain degré d’approximation , par exemple à moins d’u/i millième , d'un dix -millième , etc.

Commencez par ramener la division à celle de deux nombres entiers rP après ta règle du numéro 90; écrivez ensuite à la droite du dividende autant de zéros que vous voulez avoir de chiffres décimaux au quotient ; faites la division d'après la règle ' Note , n° 8 ) ; séparez enfin vers la droite du quotient le nombre de chiffres décimaux demandé , plus un, et effacez le dernier chiffre.

Premier exemple. — On demande , à moi n de 0,001 p rè s , le quotient de i*i34,5(>9 par 27,3589},

J'écris cl aliord deux terot k la droite do dividende, en aupprimant la vir^oir de part et d’autre, ce gui donne t a J {Sôpno à divi.er par 273589$.