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lia MULTIPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES.

77. A 7 . B. — Observons que , dans ce dernier exemple, Us deux facteurs de la multiplication sont les mêmes que ceux de l’exemple précédent; et cependant, on a obtenu deux résultats qui diffèrent l’un de l’autre, sinon par l’enlier.qui y entre , du moins par la nature de l’unité principale, et par les subdivisions de cette unité. Ainsi le principe du n° 25, qui consiste en ce que l'on peut intervertir l’ordre des facteurs d’un produit, sans changer le produit , ne semble vrai que pour les nombres abstraits. Pour le rendre applicable au cas de deux nombres complexes, il faudrait concevoir chacun de ces nombres réduit (n° 09) en un seul nombre fractionnaire de l’unité principale qui lui correspond ; et les deux nombres qu’on obtiendrait en intervertissant l’ordre des facteurs, seraient égaux , abstraction faite toutefois de la nature de l’unité principale , laquelle devrait être différente dans les deux produits. En effet , d’après la définition de ' la multiplication , toutes les fois que l’on considère des nombres concrets , le produit et le multiplicande doivent être de même nature ; tandis que le multiplicateur, quoique pouvant être d’abord exprimé pér un nombre concret, doit toujours être considéré, dans l’opération, comme un nombre abstrait qui désigne combien de fois on doit répéter le multiplicande, ou quelle partie on en doit prendre. Il faut donc , lorsqu’on a une multiplication à effectuer, avoir soin de déterminer lequel des deux facteurs doit être pris pour multiplicande , ce qui n’est pas difficile, puisqu’il est toujours de même nature que le produit, et que la nature de celui-ci est indiquée par l’énoncé de la question.

78. La preuve naturelle de la multiplication se fait par la division ; mais il est en général plus simple, à cause des fractions compliquées que renferme souvent le produit, de doubler le multiplicande et de prendre la moitié du multiplicateur, ou réciproquement. Nous engageons les commençants à reprendre les opérations ci-dessus, et à en faire les preuves d’après cette méthode. Voici d’ailleurs de nouveaux exemples sur lesquels ils peuvent s’exercer :

DIVISION DES NOMBRES COMPLEXES. Il 3

i°. Déterminer le prix de 35 tfe i m 5 ®" 4 f 4 ®*' ^ une certaine marchandise, en supposant que la livre-poids coilte 23 * i 3» .

liésuhat: 855 * 8 ' 10»

2“. Multiplier 13 g 1 5 P o p 1 1 1 y.or 25 * ig r 1 1 ».

liésuhat : 3635 1 2 P 5 p i o 1

3 ®. Multiplier 3 i* 17' 9» par i 5 * 11' 5 ».

liésultat : 4 q 6 * 10' 3 »

Nous aurons à traiter, par la suite ( Chap . Vll' n des questions susceptibles de donner lieu à la dernière operation.

Division des nombres complexes.

Nous distinguerons également deux cas principaux 1 ou le dividende et le diviseur sont de nature différente ; ou bien Ht sont de même nature.

79 . Premier cas. — Le dividende et le diviseur étant de nature differente.

Dans ce cas, il peut arriver deux circonstances : ou le diviseur est incomplexe, ou bien il est complexe.

i°. Si le diviseur est incomplexe, considérez-le comme abstrait, et effectuez la division du dividende par le diviseur, en réduisant le quotient en unités principales et subdivisions de. la nature du dividende.

2°. Si le diviseur est complexe, converti ssez-le (n° 69 ) en un seul nombre fractionnaire de son unité principale j multipliez le dividende par le dénominateur de la fraction diviseur , et divisez le produit par le numérateur, en réduisant toujours le quotient en unités principales et subdivisions de la nature du dividende.

PREMIER EXEMPLE

On demande le prix de la toise et un certain ouvrage, en supposant que l’on ait payé 2.546g* 19' 1 1 » pour 568 toises du même ouvrage.

Arith JB. 8