CHAPITRE IV

munmumii.

Définition.

29. La multiplication corniste à répéter un nombre nommé multiplicande autant de fois qu’il y a d’unités dans un autre nombre nommé multiplicateur. Le résultat s’appelle PRODUIT.

Ainsi, multiplier 9 par 5, c’est répéter le nombre 9 cinq fois. 9 est le multiplicande ou le nombre que l’on multiplie ; 5 est le multiplicateur, ou le nombre qui indique combien de fois il faut répéter le multiplicande.

Si l’on a plusieurs monceaux renfermant chacun le même nombre de noix, et si on les réunit en un seul, on fait une multiplication. Le monceau total est le produit de la multiplication.

La multiplication, comme on le voit, n’ëst autre chose que l’addition de plusieurs nombres égaux entre eux. Pour multiplier 9 par 5, j’écris donc le nombre 9 cinq fois,

et j’additionne; j’obtiens le produit 45.

Mais, si les nombres étaient plus grands , s’il s’agissait , par exemple , de multiplier 258 par 36 , l’addition deviendrait très - longue , car il faudrait écrire 36 fois le multipli-

22 CHAPITRE rv\ — LIVRE I.

cande. Je vais expliquer comment on parvient à simplifier l’opération.

Table de multiplication.

*3. 11 est nécessaire de savoir d’abord par cœur les produits que l’on obtient en mtilfipliànt les neuf premiers nombres les uns par les autres deux à deux; tous ces produits sont réunis dans la table suivante, dont on attribue l’invention à Pythagore.

Voici comment on forme cette table :

J’écris sur une même ligne horizontale les O premiers nombres. J’ajoute chacun de ces nombres à lui-même , en disant : 1 et 1 font 2, 2 et 2 font h, 3 et 3... 6, A et A... 8, 5 et 5... 10, GetO... 12, 7et7... lA,8et8... 10, 0et0...18, et j’écris les résultats dans une seconde ligne horizon talé au-dessous de la première. Cette seconde ligne renferme,

MULTIPLICATION. 23

comme ©b le voit; les premiers nombres répétés deux fois, c’est-à-dire les produits des neuf premiers nombres par 2. *

A.la seconde ligue j’ajoute la première , en disaut : 2 et 1.;; 3, A et 2.». 6, 6 et 3... 9, etc* ; et j’écris les résultats dans une .troisième ligne horizontale. A deux /ois .chacun des neuf .premiers nombres j’ai ajouté une. fois ces mêmes nom? bfes, j’ai ainsi trois fois ces nombres', la troisième ligne contient donc les produits des neuf premiers nombres par 3.

A la troisième ligne j’ajoute la première , en disant : 3 et 1... A, 6 et 2... 8, 9 et 3... 12, etc. ; et j’écris les résultats dans une quatrième ligne horizontale. A trois fois Chacun des neuf premiers nombres j’ai ajouté une fois ces mêmes nombres, j’ai ainsi quatre fois ces nombres ou leurs produits par A.

On continuera de la sorte à ajouter aux nombres de la dernière ligne obtenue les nombres correspondants de la première, jusqu’à ce qu’on soit arrivé aux produits des neuf premiers nombres par 9. Alors on s’arrêtera; la table est complète, elle renferme tous les produits que l’on obtient en multipliant les neuf premiers nombres les uns par les autres deux à deux.

Les nombres contenus dans une même colonne verticale sont les produits du nombre placé en tête de cette colonne par chacun des neuf premiers nombres ; les nombres contenus dans une même ligne horizontale sont les produits des neuf premiers nombres par le nombre placé en avant. Si donc on veut trouver dans la table un produit, le produit de 7 par 3 , par exemple , on regardera la ligne verticale qui commence par 7 et la ligne horizontale qui commence par 3 ; le nombre 21, placé au point où se croisent les deux lignes , est le produit cherché.

Par analogie, on dit qu’on multiplie un nombre par l’unité quand ou écrit ce nombre lui-même; de cette manière, la première colonne horizontale contient les produits des neuf premiers nombres par l’unité. ,,,

Il est nécessaire d’apprendre par cœur la table de multiplication ; on l’énonce ainsi :

2 fois 1..

..2, 2 fois 2....

.4, 2 fois 3 6, ....

2 fois 9...

3 fois 1..

..3, 3 fois 2...,

.6, 3 fois 3 9,....

.3 fois 9...

• • • • 9foisl...

..9, 9 fois 2....

18,9fois8....27„...

9 fois 9...

Multiplication d’un nombre de plusieurs chiffres par un nombre d'un chiffre.

94 . Soit à multiplier 497 par 6. L’opération consiste à répéter le multiplicande six fois ; je répéterai six fois les unités, puis les dizaines, puis les centaines. J’écris le multiplicateur au-dessous du multiplicande,

et je souligne. Je dis : six fois 7 unités font 42 unités, j’écris 2 unités sous la colonne des unités, et je retiens 4 dizaines; six foix 9 dizaines font 54 dizaines , et 4 dizaines retenues font 58 dizaines, j’écris 8 dizaines sous la colonne des dizaines, et je retiens 5 centaines ; six fois 4 centaines font 24 centaines, et 5 centaines retenues font 29 centaines, j’écris 9 centaines et 2 mille. Le produit est 2982.

On effectuera rapidement l’opération en disant : 0 fois 7.... 42 , je pose 2 et retiens 4 ; 6 fois 9.... 54 et 4.... 58 , je pose 8 et retiens 5; 6 fois 4.... 24 et 5.... 29, je pose 2!). Le produit est 2982.

On commence l’opération par la droite à cause des retenues ; la raison en est la même que pour l’addition.

Multiplication de deux nombres quelconques.

95 . Soit à multiplier 5637 par 258. J’écris le multiplicateur au-dessous du multiplicande, et je trace un trait horizontal.

. Ml] LTI PL I CA T ION . ÎO

Multiplier 5637 par 258 , c’est répéter le multiplicande 258 fois, ou bien , c’est le répéter 8 fois, plus 50 fois, plus 200 fois.

Je répète d’abord le multiplicande 8 fois ; j’ai le premier produit partiel 45096 que j’écris sous le trait horizontal.

Je répète maintenant le multiplicande 50 fois. Mais 50, c’est 5 fois dix. On répétera donc le multiplicande 50 fois, en le répétant d’abord dix fois et répétant ensuite le résultat 5 fois. Pour répéter le multiplicande dix fois , c’est-à-dire pour le rendre dix fois plus grand, ilsuflit de mettre un zéro à sa droite, ce qui donne 56370; en effet, le chiffre 7, qui exprimait des unités , exprime maintenant des dizaines ; le chiffres, qui exprimait des dizaines, exprime maintenant des centaines , etc. Chaque partie du nombre est donc devenue dix fois plus grande, et par conséquent le nombre luimême est devenu dix fois plus grand. Il faut ensuite répéter ce nombre cinq fois , c’est-à-dire le multiplier par 5 ; on a ainsi le second produit partiel 281850, que l’on écrit au-dessous du premier.

Je répète enfin le multiplicande 20Q fois. Mais 200 , c’est 2 fois cent. On répétera donc le multiplicande 200 fois, en le répétant d’abord cent fois , et répétant ensuite le résultat 2 fois. Pour répéter le multiplicande cent fois, c’est-à-dire pour le rendre cent fois plus grand, il suffit de mettre deux zéros à sa droite , ce qui donne 563700 ; en effet , en mettant un premier zéro , on rend le nombre dix fois plus grand ; en en mettant un second , on le rend encore dix fois plus grand; le nombre devient donc dix fois dix fois ou cent fois plus

CHAPItftE IV. — OVltE I.

grand. Il faut ensuite répéter deux fois le nombre 563700, ce qui donne le troisième produit partiel 1127400 , que l’on écrit au-dessous du second.

Ayant obtenu les trois produits partiels, on les additionne, et l’on trouve ainsi le produit demandé 1454346.

186. On obtient le premier produit partiel en multipliant le multiplicande par le premier chiffre 8 du multiplicateur. On obtiendra évidemment le second en multipliant le multiplicande par 5 , ce qui donne 28185 et mettant un zéro à la droite ; mais on peut se dispenser d’écrire ce zéro, en plaçant ce nombre 28185 de manière que son premier chiffre 5 se trouve dans la colonne des dizaines. On obtiendra de même le troisième produit partiel en multipliant par 2, ce qui donne 11274 et mettant deux zéros à la droite ; mais on se dispensera d’écrire les zéros en plaçant Ce nombre 11274 de manière que son premier chiffre 4 soit dans la colonne des centaines.

L’opération est disposée de la manière suivante :

Oh Opère en disant : 8 fois 7 66 , je pose 6 (dans la

colonne des unités) et retiens 5; 8 fois 3 24 et 5 29,

je pose 9 et retiens 2 ; 8 fois 6 48 et 2..;.. 50, je pose 0

et retiens 5; 8 fois 5..... 40 et 5...;. 45; je pose 45;

5 fois 7 35, je pose 5 (dans la colonne des dizaines) ,

et retiens 3; 5 fois 3;.... 15 et 3 18, je pose 8 et retiens

1 ; 5 fois 6 ..;.. 30 et 1 31 , je pose 1 et retiens 3 ; 6 fois

5 25 et S 28 , je pose 28.

2 fois 7tmi 14, je pose 4 (dans la coîoime des centaines)

MULTIPLICATION

et retiens 1 * 2 fois 3..*,. 6 et 7, je pose 7 i 2 fois 6,.,.*

12, je pose 2 et retiens 1 ; 2 fois 5 10 et l..«»n 11 , je

pose 11.

J’additionne : le produit demandé est 1454346.

Nous pouvons maintenant formuler la règle généi'aledë la multiplication.

Règle. Pour multiplier deux nombres quelconques , on écrit le multiplicateur sous le multiplicande ; on souligne; puis on multiplie le multiplicande successivement par chacun des chiffres du multiplicateur, en ayant soin d’écrire le premier chiffre de chaque produit partiel sons le chiffre du multiplicateur qui l’a fourni. Ensuite on additionne les produits partiels.

“SV. J’applique cette règle à l’exemple suivant :

11 n’y a pas à s’occuper des zéros qui se trouvent au multiplicateur; on multipliera d'abord par 7, puis par 5 et par 3, en ayant soin d’écrire le premier chiffre de chaque produit partiel sous le chiffre du multiplicateur qui l’a fourni. On dira donc : 7 fois 6 42 , je pose 2 (sous le chiffre 7) et retiens

4 ; 7 fois 4 28 et 4 32, je pose 2 et retiens 3, etc. — -

5 fois 6 ,..«. 30, je pose 0 (sous le chiffre 5) et retiens 3 ; 5

fois 4 20 et 3 etc. — 3 fois 6 18, je pose 8 (sous

le chiffre 3) , et retiens 1, etc.

Quand on effectue un produit partiel , il y à avantage , à cause des retenues, à aller de droite à gauche dans le multiplicande. Mais on peut prendre les chiffres du multiplicateur dans un ordre quelconque ; cependant , pour plus de

régularité , on s’avance aussi de droite à gauche dans le multiplicateur.

Remarques.

Il est clair que si l’on augmente le multiplicande sans changer le multiplicateur, le produit augmente ; car en répétant un même nombre de fois un nombre plus grand, on doit trouver un résultat plus grand. Si , par exemple, on rend le multiplicande deux fois plus grand, comme on répète le même nombre de fois un nombre deux fois plus grand, le produit devient aussi deux fois plus grand. De même, quand ou diminue le multiplicande, le produit diminue ; si le multiplicande devient deux ou trois fois plus petit, le produit devient lui-même deux ou trois fois plus petit.

La même chose a lieu quand on change le multiplicateur sans changer le multiplicande. Si l’on augmente lemultipli cateur, on répète un plus grand nombre de fois un même nombre , ce qui donne un résultat plus grand. Si , par exemple , le multiplicateur devient deux fois plus grand, comme on répète le même nombre deux fois plus , on a un produit deux fois plus grand.

Ainsi le produit de 21 par h est trois fois plus grand que celui de 7 par h. — Le produit de 7 par 1 2 est aussi trois fois plus grand que celui de 7 par à.

Des signes abréviatifs.

ICO. On a imaginé des signes abréviatifs pour indiquer les opérations de l’arithmétique. Le signe + signifie plus, le signe — signifie moins , le signe X multiplié par. Ainsi

5 plus 3 s’écrit 5 + 3,

5 moins 3 5 — 3,

5 multiplié par 3 5x3.

Le signe = , que l’on prononce égale , indique l’égalité de deux nombres. Ainsi on écrira

MULTIPLICATION

prononcez ; 5 plus 3 égale 8 ; 5 moins 3 égale 2 ; 5 multiplié par 3 égale 15.

L’expression

indique qu’il faut multiplier 5 par 4, ce qui donne 20; qu’il faut multiplier ensuite 20 par 3 , ce qui donne 00; et enfin 60 par 7 , ce qui donne 420. Les nombres 5, 4, 3, 7, qui, dans cette suite de multiplications, servent à former le produit final , s’appellent les facteurs du produit.