Soient les deux nombres 312 et 108. Le plus grand

diviseur de 108 étant ce nombre lui-même , je remarque d’abord que si le plus grand des deux nombres donnés était divisible par le plus petit, ce dernier serait le plus grand commun diviseur cherché. On est conduit de la sorte à diviser 31*2 par 108; la division ne se fait pas exactement : elle donne 2 pour quotient et 90 pour reste; ainsi le plus petit des deux nombres 108 n’est pas le plus grand commun diviseur cherché. Cependant cette division n’est pas inutile ; je vais démontrer que le plus grand commun diviseur des deux nombres donnés est le même que celui du plus petit d’entre eux et du reste de la division du plus grand par le plus petit.

En ellet, le dividende étant égal au produit du diviseur par le quotient, plus le reste, on a 312 = 108 X 2-j-90.

Je considère un commun diviseur quelconque des deux nombres 312 et 108; ce nombre, divisant 108, divise le multiple 108 X 2 ; divisant à la fois les deux nombres 312 et 108 X 2, il divise leur différence 90. Ainsi, tout commun diviseur de 312 et de 108 est aussi commun diviseur de 108 et de 90.

Réciproquement, je considère un commun diviseur quelconque des deux nombres 108 et 90; ce nombre, divisant 108, divise le multiple 108 X 2; divisant à la fois 108 x 2 et 90, il divise leur somme 312. Ainsi, tout commun diviseur de 108 et de 90 est aussi commun diviseur de 312 et de 108. Si donc on formait deux tableaux renfermant, l’un les communs diviseurs de 312et de 108, l'autre ceux de 108et de 90, ces deux tableaux seraient identiquement les mêmes. Il en résulte que le plus grand commun diviseur est le même de part et d’autre.

D’après cela, la recherche du plus grand commun diviseur des deux nombres 312 et 108 est ramenée celle du plus grand commun diviseur des deux nombres plus simples 108 et 90. Je recommence sur ces deux nombres les mêmes

DES NOMBRES PREMIERS

raisonnements : si le plus grand nombre était divisible par le plus petit, ce dernier serait le plus grand commun diviseur cherché ; on est conduit à diviser 108 par 96 ; la division ne se fait pas exactement : elle donne 1 pour quotient et 12 pour reste, et l'on a

Ainsi 9(5 n'est pas le plus grand commun diviseur cherché ; mais on démontrera, comme précédemment, que le plus grand commun diviseur des deux nombres 108 et 96 est le même que celui du plus petit 96 et du reste 12 de la division du plus grand par le plus petit.

La question est ainsi ramenée à la recherche du plus grand commun diviseur des deux nombres 96 et 12. En effectuant la division, on voit que 96 est divisible par 12; ce dernier 12 est donc le plus grand commun diviseur des deux nombres 96 et 12, et par conséquent c’est le plus grand commun diviseur cherché.

On déduit de là la règle suivante :

Règle. Pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, on divise le plus grand par le plus petit, ce dernier par le reste de la division, le premier reste par le second reste, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on arrive à un reste nul; le dernier diviseur est le plus grand commun diviseur cherché.

On dispose l’opération de cette manière s

en plaçant les quotients au-dessus des diviseurs, afin de laisser la place libre pour les restes.

J’applique la règle à la recherche du plus grand commun diviseur des deux nombres 1476 et 648.

Après quatre divisions, on arrive à deux nombres 72 et 36, tels que le plus grand est divisible par le plus petit ; donc 36. est le plus grand commun diviseur cherché.

Remarques.

©O. Reprenons les opérations qui ont servi à trouver le plus grand commun diviseur des deux nombres 312 et 108. La première division donne

Considérons un nombre qui divise à la fois les deux nombres 312 et 108; ce nombre divisant 312 et 108x2, divise la différence 96 ou le reste de la division. Ce nombre, divisant 108 et 96, divise de même le second reste 1 2. Ainsi tout nombre qui divise les deux nombres 312 et 108 divise leur plus grand commun diviseur 12.

En général, tout nombre qui divise deux nombres, divise tous les restes successifs et par conséquent le dernier d’entre eux, qui est le plus grand commun diviseur des deux nombres proposés. Il en résulte que tout nombre, qui divise deux nombres, divise leur plus grand commun diviseur.

«1. I .orsque l’on multiplie le dividende et le diviseur par un même nomlîre, il est aisé de voir que le quotient ne change pas, et que le reste est multiplié par ce même nombre. En divisant 312 par 108, nous avons trouvé un quotient 2 et un reste 96,

Multiplions par un même nombre 3 chacune des deux parties qui composent le dividende 312 ; nous aurons

DES NOMBRES PREMIERS

Puisque le reste 96 est plus petit que 108, le nouveau resfe 96 x 3 est encore plus petit que le nouveau diviseur 108 X 3. Si donc on divise 312 x 3 par 108 X 3, on trouvera ■ le même quotient 2 et le reste 96 x 3.

Reportons-nous à la série des opérations par lesquelles ou détermine le plus grand commun diviseur des deux nombres 31 2 et 108, et supposons que l’on multiplie ces deux nombres par 3 ; le premier reste 96, comme nous l’avons dit, sera aussi multiplié par 3 ; mais, les deux nombres 108 et 96 étant multipliés par 3, le second reste 12 sera aussi multiplié par 3, et le reste suivant sera encore nul. Ainsi le plus grand commun diviseur des deux nombres 312 x 3 et 108 X 3 sera 12 X 3.

En général, si l’on multiplie deux nombres par un même nombre, les restes successifs seront tons multipliés par ce même nombre, et par conséquent le dernier d’entre eux, * qui est le plus grand commun diviseur. Ainsi, quand on multiplie deux nombres par un même nombre, le plus grand commun diviseur est aussi multiplié par ce même nombre.

B9. De même, quand on divise le dividende et le diviseur* par un même nombre, le quotient ne change pas, et le reste est divisé par ce même nombre. Nous avons démontré, en effet, que lorsqu’un nombre 3, par exemple, divise à la fois les deux nombres 312 et 108, il divise aussi le reste 96; si nous divisons par 3 les deux pallies qui composent le nombre 312,

il viendra

Donc, si l’on divise 104 par 36, on aura le même quotient 2 et le reste 32, tiers du précédent. Les deux nombres 108 et 96 étant divisés par 3, le second reste 12 sera aussi divisé par 3. Ainsi le plus grand commun diviseur des nombres 104 et 36 est 4. En général, quand on divise deux nombres

par un même nombre, le plus grand commun diviseur est aussi divisé par ce même nombre.

Supposons, en particulier, que l’on divise les deux nombres 312 et 108 par leur plus grand commun diviseur 12, ce qui donne les deux quotients 26 et 9, les restes successifs seront tous divisés par 12, et par conséquent le dernier d’entre eux 12 ; les deux quotients 26 et 9 auront donc pour plus grand commun diviseur 12 divisé par 12, c’est-à-dire 1 ; donc ces deux quotients sont premiers entre eux. Ainsi, quand on divise deux nombres par leur plus grand diviseur , on obtient deux quotients premiers entre eux.

TOUT NOMBRE QUI DIVISE LE PRODUIT DE DEUX FACTEURS ET QUI EST PREMIER AVEC L’UN DES FACTEURS, DIVISE l’autre.

03. Lorsqu’un nombre divise un produit de deux facteurs, il arrive souvent que ce nombre ne divise aucun des deux facteurs. Ainsi, le nombre 9, qui divise le produit la / 24, ne divise aucun des deux facteurs. Mais, quand le nombre est premier avec l’un des facteurs, alors on peut affirmer qu’il divise l’autre facteur.

Par exemple, le nombre 9 divise le produit 504 des deux facteurs 14 et 36 ; il est premier avec 14, je dis qu’il divise l’autre facteur 36. En effet, le plus grand commun diviseur des deux nombres 14 et 9, premiers entre eux, est 1. Si l’on multiplie ces deux nombres par 36, le plus grand commun diviseur sera aussi multiplié par 36, et les deux nombres 14 X 36, 9 X 36, admettront pour plus grand commun diviseur 1 X 36 ou 36. Or le nombre 9 divise son multiple 9 x 36 ; j’ai supposé d’ailleurs qu’il divise le produit 14 X 36; le nombre 9 divise donc à la fois deux nombres 14 X 36, 9 X 36, et par conséquent il divise leur plus grand commun diviseur 36.

De la propriété que nous venons d’établir, et qui a une

DES NOMBRES PREMIERS

grande importance, on en déduit un grand nombre d’autres. Nous nous bornerons aux suivantes.

64 . Lorsqu’un nombre premier divise te produit de plusieurs facteurs, il divise au moins l’un d’eux.

Le nombre premier 7 divise le produit 14 X 20 de deux facteurs, je dis qu’il divise l’un d’eux. En effet, si 7 divise 20, la propriété se vérifie ; si 7 ne divise pas 20, ce qui a lieu dans le cas actuel, il est premier avec 20 ; car, les seuls diviseurs du nombre premier 7 étant 1 et 7, comme 7 ne divise pas 20, les deux nombres 7 et 20 n’admettent pas d’autre commun diviseur que l’unité, et, par conséquent, sont premiers entre eux. Le nombre 7, qui divise le produit des deux facteurs 14 X 20, est alors premier avec l’un deux 20, et par conséquent, d’après ce qui a été dit précédemment, il divise l’autre facteur 14.

Je considère maintenant un produit de trois facteurs, par exemple 14 X 20 x 10, divisible par un nombre premier 7; je dis que l’un, des facteurs, au moins, est divisible par 7. En effet, je suppose effectué le produit 14 X 20 des deux premiers facteurs ; le nombre premier 7 divise le produit des deux nombres 14 X 20 et 16, et par conséquent divise l’un d’eux. S’il divise 16, la propriété énoncée se vérifie. S’il ne divise pas 16, il divise l’autre nombre 14 X 20 ; dans ce cas, le nombre premier 7 divise le produit 1 4 X 20 de deux facteurs, et l’on sait qu’il doit diviser l’un d’eux, 20 ou 14. Ainsi 7 divise nécessairement l’un des trois facteurs 16, 20, 14.

Ce mode de raisonnement peut être étendu facilement à autant de facteurs que l’on veut. Je suppose que le nombre premier 7 divise un produit de quatre facteurs

je dis qu’il divise l’un d’eux. Je regarde, en effet, le produit des trois premiers facteurs comme effectué, le nombre 7 divise le produit des deux nombres 14 X 20 x 16 et 12, et par

70 chapitre ii. — Livre n.

conséquent divise l’un d’eux. S’il divise 12, la propriété se vérifie. S’il ne divise pas 12, il divise l’autre nombre là X 20 x 10 ; dans ce cas, le nombre premier 7 divise un produit de trois facteurs, et par conséquent divise l’un d’eux.

65 . Quand un nombre est divisible séparément par deux nombres premiers entre eux, il est divisible par leur produit.

Lorsqu’un nombre est divisible séparément par deux nombres, il arrive souvent que ce nombre n’est pas divisible par leur produit. Ainsi, le nombre 72, divisible séparément par (5 et par 8, n’est pas divisible par le produit 48 de ces deux nombres. Mais, si les deux diviseurs sont premiers entre eux, on peut affirmer que le dividende est divisible par leur produit.

Soit un nombre 540 divisible séparément par deux nombres h et 9, premiers entre eux, je dis qu’il est divisible par le produit 36 de ces deux nombres. En effet, 540, étant divisible pas 4, égale le produit de 4 par un certain nombre 135,

Or 9 divise 540, ou le produit 4 X 135 ; il est premier avec le facteur 4; donc il divise l’autre facteur 135. Ce nombre 135, étant divisible par 9, égale le produit de 9 par un certain nombre 15. Si l’on remplace 135 par le produit 9X15, on a

En regardant comme effectué le produit des deux premiers facteurs, on voit que 540 est un multiple de ce produit 36; donc le nombre 540 est div isible par 36.

66 . On déduit de là un moyen facile de trouver les caractères de divisibilité dans certains cas. Je considère, par exemple, le diviseur 0, produit des deux facteurs 2 et 8, premiers entre eux. Pour qu’un nombre soit divisible par 6, il

DES NOMBRES PREMIERS

est nécessaire d’abord que ce nombre soit divisible séparément par 2 et par 3 ; car tout multiple de (5 est nécessairement multiple de 2 et de 3. Cette condition d’ailleurs est suffisante , parce que les facteurs 2 et 3 sont premiers entre eux ; si un nombre est divisible séparément par 2 et par 3, il sera divisible par 6. Ainsi on reconnaît qu’un nombre est divisible par 6 , lorsqu’il est terminé par un zéro ou par un chiffre pair, et que la somme de ses chiffres est divisible par 3.

De même, 15 étant le produit des deux facteurs 3 et 5, premiers entre eux , un nombre est divisible par 1 5 quand il est divisible séparément par 3 et par 5. On reconnaît donc qu’un nombre est divisible par 15 , quand il est terminé par 0 ou 5, et que la somme de ses chiff res est divisible par 3.