E1YRE II

Le nombre 252 est encore divisible par 2, et l’on a 252 = 2X 126.

Le nombre 126 est encore divisible par 2 , et l’on a 1 26 = 2 X 63.

Le nombre 63 n’est plus divisible par 2 ; mais, la somme de ses chiffres étant divisible par 3 , ce nombre est divisible par 3 , et l’on trouve , en effectuant la division ,

Le nombre 21 est encore divisible par 3 , et l’on a 21=3 X 7.

Le nombre 7 étant premier, la décomposition est terminée. On a finalement

On dispose ordinairement l’opération de la manière suivante :

€1#. On abrège beaucoup l’écriture à l’aide d’une notation que je vais faire connaître. Le produit de plusieurs facteurs égaux à un nombre donné s’appelle une puissance de ce nombre ; ainsi 5 X 5 X 5 est la troisième puissance de 5 ; pour simplifier, on représente ce produit par la notation 5’; le jvetit chiffre 3, placé en haut et à droite pour indiquer le nombre des facteurs, s’appelle un exposant ; on l’énonce : cinq puissance trois. Par analogie , le nombre 5 lui-même peut être considéré comme la première puissance de 5 ; on pourra lui supposer un exposant égal à l’unité.

De cette manière , le nombre 504 qui a été décomposé

DES NOMBRES PREMIERS. 73

en trois facteurs 2, deux facteurs 3 et un facteur 7, s’écrira

Soit encore à décomposer le nombre 1500 en ses facteurs premiers. Au lieu d’opérer comme précédemment, on arrive pins Vite au résultat, en observant que 1500 = 15x100 et décomposant séparément les deux nombres 15 et 100. On a

100 = 10x10 = 2x5x2x5; il en résulte que

1500 = 2 X2X3X 5x5X5, ce qu’on écrit plus simplement

«». J' ai indiqué la manière de décomposer un nombre en ses facteurs premiers; je vais démontrer maintenant que, quel que soit le procédé de décomposition que l’on emploie, on arrivera toujours au même résultat final ; en d’autres termes, qu’wn nombre n’est dccomposablc qu’en un seul système de facteurs premiers. Tout se réduit évidemment à démontrer que , lorsque deux produits de facteurs premiers représentent le même nombre, ils sont composés identiquement de la même manière.

Je suppose que .le facteur premier 7 se trouve dans le premier produit, il se trouvera aussi dans le second. En effet, le nombre 7, divisant le premier produit, et par conséquent le second, qui est égal au premier, divisera l’un des facteurs qui composent ce second produit; comme ces facteurs sont premiers , l’un d’eux sera précisément 7.

Je suppose maintenant que le premier produit renferme le facteur 7 trois fois, c’est-à-dire 7 x 7 X 7 on 7*, le second produit renfermera aussi 7*. Car, si le second produit ne contenait que 7% en divisant les deux produits

égaux par 7*, on aurait encore deux produits égaux, l’un renfermant le facteur 7, l’autre ne le renfermant plus, ce qui est impossible.

Ainsi les deux produits égaux sont composés des mômes facteius premiers affectés des mêmes exposants. C’est identiquement la même expression.

90 . La décomposition des nombres en facteurs premiers permet de résoudre presque instantanément un grand nombre de questions sur les nombres.

1° Je remarque d’abord que, pour avoir le produit de deux puissances d’un même nombre, il suffit d’ajouter les exposants. Soit le produit 7* x En décomposant chaque puissance en ses facteurs , on a

Or, ce produit de cinq facteurs égaux à 7 n’est autre chose que 7 S .

2° Je considère maintenant deux nombres quelconques décomposés en leurs facteurs premiers, par exemple 360=2* x 3* X 5*

Le produit de ces deux nombres est

En réunissant les facteurs 2* x 2* , ce qui se fait par l’addition des exposants, on a 2 7 . De même le produit 3* x 3 donne 3’ ; car l’on peut considérer le second facteur comme étant affecté de l’exposant 1. Ainsi, on a pour le produit demandé

360 x 336 =2’ x 3* X 5 X 7, et l’on voit que l’on effectue la multiplication en ajoutant les exposants des facteurs premiers qui entrent dans les deux nombres et écrivant les autres à la suite.

3° Quand deux nombres sont décomposés en facteurs première, il est aisé de reconnaître si le plus grand est divisible

DES H0MRRES PREMIERS.

par le plus petit ; il faut pour cela que le premier renferme tous les facteurs premiers du second avec des exposants au moins égaux. Car, le nombre dividende , étant égal au produit du diviseur par le quotient , contient tous les facteurs premiers du diviseur et en outre ceux du quotient. Ainsi on voit immédiatement que le nombre 2‘ x 3* X 5 X 7 est divisible par le nombre 2* x 3* X 5- On effectue la division en retranchant les exposants du diviseur des exposants des mêmes facteurs dans le dividende , et écrivant à la suite les facteurs du dividende qui n’entrent pas dans le diviseur. Le quotient est ici 2* X 3 x 7 ; car en multipliant le diviseur par le quotient, on reproduit le dividende.

Plus grand commun diviseur.

11. Quand les nombres sont décomposés en facteurs premiers , on obtient de suite leur plus grand commun diviseur. En effet , tout diviseur commun de plusieurs nombres se compose évidemment de facteurs premiers communs aux différents nombres proposés ; en prenant tous les facteurs premiers communs, on aura le plus grand commun diviseur. Soient, par exemple, les nombres

360 = 2* xî’x5,

11 y deux facteurs 2 et un facteur 3 communs à ces trois nombres ; leur plus grand commun diviseur est 2* X 3. Ainsi, le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres se compose des facteurs premiers communs à ces différents nombres, affectés chacun de son plus petit exposant.

72 . On reconnaît que deux nombres sont premiers entre eux lorsqu’ils n’ont pas de facteur premier commun ; car alors ces deux nombres n’ont pas d’autre commun diviseur que l’unité. Aiusi les deux nombres ' 308 = 2* x7xli,

n’avant pas de facteur premier commun , sont premiers entre eux.

11 est bon de remarquer que, lorsque deux nombres sont premiers entre eux, deux puissances quelconques de ces deux nombres sont aussi premières entre elles. Caries deux nombres donnés, étant premiers entre eux, n’ont pas de facteur commun ; les puissances de ces deux nombres, se composant respectivement des mêmes facteurs que les nombres eux-mêmes , n’auront pas non plus de facteur commun , et par conséquent seront premières entre elles.

Considérons , par exemple , les deux nombres

premiers entre eux. Si l’on élève le premier 5 la deuxième puissance , le second à la troisième , on aura

Ces deux nombres 28 1 et 1 5* , n’ayant pas de facteurs communs , sont aussi premiers entre eux.

Plus petit multiple.

US. On appelle plus petit multiple de plusieurs nombres le plus petit nombre divisible à la fois par chacun d’eux. Un nombre divisible à, la fois par plusieurs autres doit renfermer évidemment les facteurs premiers de chacun d’eux. Soient les nombres

Tout nombre , divisible à la fois par chacun d’eux, renfermera au moins h facteurs 2 , deux facteurs 3, deux facteurs 5 et un facteur 7. On obtiendra le plus petit multiple

DES NOMBRES PREMIERS

des nombres proposés en ne prenant que les facteurs que l’on vient d’énumérer, et qui sont strictement nécessaires, ce qui donne

Ainsi, le pim petit multiple de plusieurs nombres se compose de tous les facteurs premiers t/ui entrent dans ces différents nombres , affectés chacun de son plus fort exposant.

Les quotients du plus petit multiple par chacun des nombres donnés sont ici

. 2*5X7^7a, JlS ^

Lorsque deux nombres sont premiers entre eux, ces deux nombres n’ayant pas de facteur commun , leur plus petit multiple est le produit même de ces deux nombres. Par exemple, les deux nombres

premiers entre eux, ont pour plus petit multiple le nombre

qui est le produit même des deux nombres donnés.