CHAPITRE I

DE* VBACTIOm ORDINAIRE*.

Mesure des grandeurs.

44. On appelle grandeur tout ce qui est susceptible d’augmentation ou de diminution.

Il faut distinguer deux sortes de grandeurs. Certaines grandeurs, comme une compagnie de soldats, un monceau de pommes, sont des collections d’unités ; si l’on compte combien de soldats renferme la compagnie, combien de pommes le monceau , on obtient un nombre. C’est là l’origine du nombre, et c’est sous ce point de vue que nous l’avons étudié jusqu’à présent.

Il est d’autres grandeurs que l’on nomme continues, parce qu’on peut les augmenter ou les diminuer d’aussi peu qu’on veut; la longueur d’un fil, la capacité d’un vase, la durée d’un phénomène, sont des grandeurs continues. Les grandeurs de cette nature ne renferment pas en elles l’idée de nombre ; cependant il est possible de les représenter par des nombres, et c’est là une première application très-importante de la science des nombres.

En effet, si l’on veut évaluer les longueurs, par exemple , on choisira l’une d’elles pour servir de terme de comparaison , et l’on cherchera combien de fois cette longueur est contenue dans chacune des autres. Si elle est contenue 5 fois

dans une première, 12 fois dans une seconde, ces longueurs seront représentées , l’une par le nombre 5, l’autre par le nombre 12.

15. On appelle unité la grandeur prise pour servir de terme de comparaison h toutes les grandeurs de même espèce.

Mesurer une grandeur, c’est la comparer à son unité ; c’est chercher combien d’unités et de parties d’unité elle renferme.

1“ Lorsque l’unité est contenue exactement dans la grandeur, 5 fois, par exemple, il n’y a pas de difliculté, la grandeur est exprimée par le nombre 5.

2° Lorsque la grandeur à mesurer est plus petite que l’unité, on partage cette dernière en un certain nombre de parties égales , et l’on cherche combien de parties renferme la grandeur. Je suppose que, l’unité ayant été partagée en douze parties égales, la grandeur renferme 7 parties exactement; on dira que la grandeur est les 7 douzièmes de l’unité, ou qu’elle est exprimée par la fraction sept douzièmes.'

3° Lorsque la grandeur à mesurer est plus grande que l’ unité , et quelle ne la contient pas exactement, elle se compose d’un certain nombre d’unités et d’un reste plus petit que l’unité, reste que l’on évalue par une fraction , ainsi qu’il a été expliqué. De cette manière, la grandeur est représentée par un nombre, augmenté d’une fraction.

Par extension d’idée , on appelle nombre , en général, la mesure d’une grandeur au moyen de l’unité; le nombre proprement dit a été distingué par la qualification de nombre entier ; la fraction est considérée comme un nombre plus petit que l’unité; enfin un nombre entier, augmenté d'ütte fraction, constitue un nombre fractionnaire.

Les grandeurs, quand elles sont ainsi mesurées ou représentées par des nombres, portent le nom de quantités.

Je reprends en détail les définitions que je viens de don-

Définitions.

96. Lorsqu 'on partage l’unité en plusieurs parties égales, et qu’on prend un certain nombre de ces parties , on a ce qu’on appelle une fraction.

Je partage l’unité en cinq parties égales , et je prends trois de ces parties ; j’ai la fraction trois cinquièmes.

Le nombre qui indique en combien de parties on a paitagé l’unité s’appelle dénominateur ; le nombre qui indique combien on prend de parties s’appelle numérateur. Dans l’exemple précédent, 5 est le dénominateur, 3 le numérateur.

On énonce une fraction en disant d’abord le numérateur, puis le dénominateur, que l’on fait suivre de la terminaison ième. '

On écrit une fraction en mettant le dénominateur audessous du numérateur, et séparant les deux nombres par un trait horizontal. Ainsi la fraction trois cinquièmes s’écrit • 3

De même , si l’on partage l’unité en trente-sept parties égales, et que l’on prenne vingt-quatre de ces parties, on aura la fraction vingt-quatre trente-septièmes, qui s’écrit

99. On appelle nombre fractionnaire un nombre entier augmenté d’une fraction. Ainsi 7-f-*est un nombre fractionnaire.

Il est aisé de mettre un nombre fractionnaire sous forme de fraction. Je remarque en effet que, puisqu’une unité vaut cinq cinquièmes, sept unités valent sept fois cinq cinquièmes, ou trente-cinq cinquièmes; j’ajoute les trois cinquièmes, j’ai trente-huit cinquièmes. Ainsi :

RèAe. Pour mettre un nombre fractionnaire sous ta forme

DliS FRACTIONS ORDINAIRES.

d'une fraction ordinaire , on multiplie l’entier par le dénominateur de la fraction , et on ajoute au produit le numérateur.

Puisqu’on peut mettre ainsi un nombre entier ou un nombre fractionnaire sous la forme d’une fraction, on a étendu la dénomination de fraction aux nombres en général. Lorsque le numérateur de la fraction est plus petit que le dénominateur, la fraction représente une quantité plus petite que l’unité ; c’est une fraction proprement dite. Quand le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction représente une quantité plus grande que l’unité ; elle tient la place d’un nombre entier ou fractionnaire. Enfin , quand le numérateur est égal au dénominateur, la fraction désigne l’unité elle-même.

Je considère , par exemple , la fraction Puisqu’ avec cinq cinquièmes on forme une unité , autant de fois 38 cinquièmes contiendront 5 cinquièmes , autant la fraction ~ contiendra d’unités ; or 38 contient 5 sept fois, et il reste 3 ; donc

Règle. Pour extraire les entiers contenus dans une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur , on divise le numérateur par le dénominateur.

UNE FRACTION. NE CHANGE PAS DE VALEUR QUAND ON MULTIPLIE OU QUAND ON DIVISE SES DEUX TERMES PAR UN MÊME NOMBRE.

7 H. Je remarque d’abord que, lorsqu'on rend le numérateur d'une fraction un certain nombre de fois plus grand ou plus petit , la fraction devient le même nombre de fois plus grande on plus petite.

Il est évident que si, sans changer le dénominateur, on augmente le numérateur, la fraction augmente; car les

parties restent les mômes , et on en prend un plus grand nombre. Si on rend le numérateur deux, trois... fois plus grand, on prend un nombre de parties deux, trois... fois plus grand, ce qui donne une quantité deux, trois... fois plus grande. Ainsi, en multipliant par 3 le numérateur delà fraction *, on prend un nombre de septièmes trois fois plus grand, ce qui donne une nouvelle fraction — trois fois plus grande que la première.

De même, en divisant le numérateur de la fraction -y par 3, on obtient une fraction *, trois fois plus petite que la première.

19. Je remarque en outre que, lorsqu’on rend le dénominateur d’une fraction un certain nombre de fois pim grand ou plus petit, la fraction devient le même nombre de fois plus petite ou plus grande.

Si , sans changer le numérateur, on augmente le dénominateur, il est clair que la fraction diminue ; car l’unité étant partagée en un plus grand nombre de parties égales, les parties deviennent plus petites, et , comme on en prend le même nombre, on a une quantité plus petite.

Pour fixer les idées , je suppose que l’on multiplie par 3 le dénominateur de la fraction ~, ce qui donne la fraction f f . Pour former la première fraction f , qn a partagé l’unité en sept parties égales ; je subdivise chacune de ces parties entrois parties égales; l’unité se trouve ainsi divisée en 3 fois 7, ou en 21 parties égales. Avec un seul septième , j’ai formé par ce moyen trois vingl-ct-unièjncs ; le ringtet-unième est donc trois fois plus petit que le septième; et, comme on prend le même nombre de parties de part et d’autre, la seconde fraction est trois fois plus petite que la première.

En divisant par 3 le dénominateur de la fraction on obtient de même une fraction f , trois fois plus grande que la première.

&0. Supposons maintenant que l’on multiplie par un

même nombre 3 les deux ternies de la fraction y. Si l’on multiplie d’abord le numérateur par 3, on obtient une fraction ~* t trois fois plus grande que la première; si l’on înultii plie ensuite le dénominateur de cette seconde fraction par 3, on obtient une troisième fraction trois fois plus pen tile que la seconde ; donc cette dernière fraction ou ff est égale à la première y. En un mot, on voit que la fraction , devenant d’abord trois fois plus grande, puis trois fois plus petite, reprend sa valeur primitive. Ainsi, la valeur d'une, fraction ne change pas quand on multiplie scs deux termes par un même nombre.

81 . Supposons actuellement que l’on divise par un même nombre 3 les deux termes d’une fraction ÿ?. Si l'on divise d’abord par 3 le numérateur, on obtient une seconde fraction j*;, trois fois plus petite que la première; si l’on divise ensuite par 3 le dénominateur de cette seconde fraction, on obtient une troisième fraction y, trois fois plus grande que la seconde ; donc cette dernière fraction ‘ est égale à la première ÿf. En un mot, on voit que la fraction, devenant d’abord trois fois plus petite, puis trois fois plus grande, reprend sa valeur primitive. Ainsi, la valeur d’une . fraction ne change pas quand on divise ses deux termes par un même nombre.