RÉDUCTION D’UNE FRACTION A SA PLUS SIMPLE EXPRESSION

Plus une fraction est simple, plus l’esprit conçoit aisément la grandeur qu’elle représente ; ainsi on se figure parfaitement les quantités ~,‘,f;mais si la fraction est compliquée, comme on a plus de peine à concevoir la grandeur quelle représente ; il importe donc de simplifier les fractions autant que possible. Simplifier une fraction , c’est trouver une fraction égale à la fraction proposée, et composée de termes plus petits. Le principe que nous ve-

nons (l’établir nous fournit immédiatement un procédé de simplification ; toutes les fois que l’on apercevra un diviseur commun aux deux termes d’une fraction, on divisera ces deux termes par le diviseur commun, et l’on obtiendra de }a sorte une fraction égale à la proposée et plus simple qu’elle.

Soit la fraction r~. En divisant les deux termes d’abord

par 10, puis par 2 et par 9, on forme une série de fractions égales I

Ainsi la fraction proposée est égale à la fraction plus simple 4.

Puisque cette dernière a ses deux termes premiers entre eux, on ne peut plus la simplifier par division ; mais il n’est pas évident qu’on ne puisse le faire par un autre procédé, en retranchant, par exemple, de ses deux termes des nombres convenables. 11 importe donc de rechercher à quels caractères on reconnaît qu’une fraction est irréductible, c’est-à-dire ne peut être exprimée par des termes plus simples.

83 . Je vais démontrer que, lorsque les deux tenues d’une fraction sont premiers entre eux, cette fraction est irréductible.

Soit, par exemple, la fraction dont les deux termes h et 9 sont premiers entre eux. Considérons une fraction quelconque, telle que if, égale à la première. Je multiplie par 27 les deux termes de la première, par 9 les deux termes de la seconde ; les deux fractions ne changent pas de valeur et se mettent sous la forme

hX 27^12X9 9><27 27X9'

Ces fractions, étant égales et ayant même dénominateur,

doivent avoir nécessairement leurs numérateurs égaux ; on aura donc

Le nombre 9, divisant le produit 12 X 9, doit diviser le produit égal à x 27 ; mais il est premier avec le facteur h ; donc il divise l’autre facteur 27. Ainsi le dénominateur 27 de la seconde fraction est un multiple du dénominateur 9 de la première ; ce multiple est ici 9 x 3. Si dans l’égalité précédente , on remplace 27 par 9 x 3, il vient h X 9x3 = 12 X9,

et, en divisant par 9 ces deux produits égaux, h X3 = 12.

Ainsi le numérateur 12 de la seconde fraction est aussi un multiple du numérateur h de la première. De cette manière les deux ternies 27 et 12 de la seconde fraction sont les produits 9 X 3 et 4 x 3 des deux tenues de la première par un même nombre 3 ; ce qu’on exprime en disant que 27 et 12 sont des équimultiples de 9 et de h.

11 résulte de là que, lorsqu’une fraction £ a ses deux termes premiers entre eux, toute fraction égale à la première, a ses deux termes équimultiples de ceux de la première. Toute fraction égale à la fraction | est donc formée de termes respectivement plus grands que ceux de la fraction il n’existe donc pas de fraction égale à la fraction * et formée de termes plus simples ; en un mol, la fraction \ est irréductible. Ainsi, lorsque les deux tenues d’une fraction sont premiers entre eux, la fraction est irréductible.

84. Réduire une fraction à sa plus simple expression, c’est la transformer en une fraction irréductible égale. Nous avons réduit la fraction à sa plus simple expression, eu divisant ses deux termes par 10, puis par 2 et par 9, ce qui donne la fraction irréductible ; ; mais on opère tout d’un coup la réduction d’une fraction à sa plus simple expression en divisant ses deux termes par leur plus grand commun

diviseur; car la fraction égale que l’on obtient de Cette manière a ses deux termes premiers entre eux, et par conséquent est irréductible. Ainsi en divisant les deux termes de la fraction ~ par leur plus grand commun diviseur 180, on arrive de suite à la fraction irréductible | , trouvée précédemment par des divisions successives.

Dans la pratique, au lieu de chercher le plus grand commun diviseur, il est préférable en général de supprimer successivement tous les facteurs communs que l’on aperçoit dans les deux termes de la fraction ; quand il n’y a plus de facteur commun, les deux termes sont premiers entre eux, et la fraction réduite à sa plus simple expression.

Exemples :

On a divisé les deux termes de la première fraction deux fois par 2, ceux de la seconde par 2 et par 3, ceux de la troisième par 2 et par 9, ceux de la quatrième deux fois par 5, puis par 3.

RÉDUCTION DES FRACTIONS AU MÊME DÉNOMINATEUR. — PLUS PETIT COMMUN DÉNOMINATEUR.

85. On compare aisément des fractions qui ont même dénominateur, comme £ et Puisqu’on a des parties égales, des douzièmes, de part et d’autre, il suffit de comparer les numérateurs ; dans l’exemple précédent, on voit immédiatement que c’est la seconde fraction qui est la plus grande. On comprend par là combien il est utile de savoir réduire

les fractions au même dénominateur, c’est-à-dire de savoir trouver des fractions respectivement égales à des fractions données et ayant même dénominateur.

Je considère d’abord deux fractions \ et Si l’on multiplie les deux termes de la première par le dénominateur 7 de la seconde , on obtient la fraction égale |$. En multipliant de même les deux termes de la seconde fraction par le dénominateur 5 de la première, on obienl la fraction égale J**. Or les dénominateurs des deux nouvelles fractions sont égaux, comme produits des deux mêmes facteurs. Ainsi les deux fractions \ et ±, réduites au même dénominateur, deviennent et

Règle. Pour réduire deux fractions au même dénominateur, on multiplie les deux termes de chacune d'elles par le dénominateur de l’autre.

80. Je considère maintenant un nombre quelconque de fractions

Si je multiplie les deux termes de chacune d’elles successivement par les dénominateurs de toutes les autres, j’obtiens les fractions

3X6X7X11 5X7X11 4x5x6x11 10xMx7

5X6X7X11’ 6X5X7X11’ 7><5'X6XÏÏ’ 11X5X6X7’

respectivement égales aux proposées et ayant même dénominateur. Ce dénominateur commun est le produit des dénominateurs des fractions proposées.

Règle. Pour réduire plusieurs fractions au même dénominateur, on multiplie les deux termes de chacune d’elles par le produit des dénominateurs de toutes les autres.

Dans l’exemple proposé , le dénominateur commun est

2310, et il faut multiplier les numérateurs respectivement par 402 , 385, 330, 210, ce qui donne

Plus petit commun dénominateur.

SI. Il est possible ordinairement d’abréger beaucoup les calculs. En effet , puisque l’on transforme chacune des fractions données en multipliant ses deux termes par un certain nombre, le commun dénominateur est un multiple commun de tous les dénominateurs; et réciproquement tout multiple commun peut servir de commun dénominateur. La question revient donc à la détermination d’un multiple commun des dénominateurs des fractions proposées ; on prendra de préférence le plus petit multiple. 11 en résulte que, pour réduire plusieurs fractions au même dénominateur, il suffit de chercher le plies petit multiple de tous les dénominateurs, et de prendre ce plus petit multiple pour dénominateur commun.

Exemples: I. Soient les fractions

Ici le plus grand dénominateur 36 est divisible exactement par chacun des autres; c’est le plus petit multiple; on le prendra pour dénominateur commun. Ce nombre 30, divisé par 12 et par 18, donne pour quotients 3 et 2 ; on multipliera le numérateur de la première fraction par 3, celui de la seconde par 2, et l’on obtiendra les fractions