Ainsi, tout nombre entier, non carré parfait, n’a

EXTRACTION DES RACINES 155

pas de racine exacte ; mais on peut trouver deux nombres fractionnaires, qui diffèrent entre eux aussi peu qu’on veut, et dont les carrés comprennent le nombre donné, c’est-à-dire soient, l’un plus petit, l’autre plus grand que ce nombre. Je veux , par exemple , trouver deux nombres fractionnaires , qui ne diffèrent entre eux que de j— , et dont les carrés comprennent 28. J’écris le nombre 28 sous la forme de fraction, u *“, 0 , et j’extrais la racine du plus grand carré contenu dans le numérateur 280000, ce qui donne 529. Le numérateur 280000 étant compris entre les carrés des deux nombres entiers consécutifs 529 et 530, la fraction 1 “ V 1 " es * comprise elle-même entre les carrés des deu x fractions J J J et|{î. Ou dira en conséquence que chacune des deux fractions et ~ est la racine approchée de 28 , à moins d’un centième près, la première par défaut, la seconde par excès.

165 . Considérons maintenant un nombre décimal tel que 45, 8732. Ce nombre décimal est égal à la fraction ordinaire “y” , dont le dénominateur est le carré de 100 ; en extrayant la racine du plus grand carré contenu dans le nombre entier 458732, on trouve 677 : le numérateur étant compris entre les carrés de 677 et de 678, la fraction proposée est comprise entre les carrés des deux fractions — et J!J, et sa racine entre ces deux fractions elles-mêmes. Ainsi on dira que chacun des deux nombres 6,77 et 6,78 est la racine approchée de 45,8732, à moins d’un centième près.

Pour que ce raisonnement soit possible, il faut que le dénominateur soit un carré parfait , c’est-à-dire que le nombre proposé renferme un nombre pair de chiffres décimaux. Si le nombre des chiffres décimaux était impair, on le rendrait pan- en ajoutant un zéro à sa droite. Si l’on demande, par exemple, la racine de 45,873, on ajoutera un zéro et l’on cherchera la racine du nombre égal 45,8730,' ce qui donne encore 6,77, à moins d’un centième.

Règle. Pour extraire la. racine carrée d’un nombre dé-

cimal renfermant an nombre pair de chiffres décimaux, on supprime la virgule et l'on extrait, à moins d’une unité, la racine du nombre entier ainsi obtenu ; puis on sépare par une virgule sur la droite de la racine un nombre de chiffres décimaux moitié du nombre des chiffres décimaux du nombre proposé, et l'on a ainsi la racine avec une erreur moindre qu’une unité du dernier ordre.

fl 66. Ce procédé permet d’exprimer en décimales les racines carrées avec une approximation aussi grande qu’on veut. ,

Si l’on demande, par exemple, la racine carrée de 45,87.1 à un millième près, on ajoutera trois zéros à la droite de ce nombre afin d’avoir six chiffres décimaux ,et l’on appliquera la règle précédente au nombre décimal 45,873000, ce qui donne la racine 0,773 approchée à moins d’un millième.

On calculera de même la racine carrée du nombre entier 528 à moins d’un millième près en appliquante règle énoncée au nombre décimal 528,000000. Mais dans la pratique, il est inutile d’écrire d’avance les zéros; on opère d’abord sur le nombre entier proposé, ce qui donne la partie entière de la racine ; ajoutant deux zéros à droite du reste, on obtient le chiffre des dixièmes ; ajoutant deux nouveaux zéros, on obtient les chiffres des centièmes et ainsi de suite.

167. Lorsqu’une fraction ordinaire irréductible n’a pas ses deax termes carrés parfaits , il n’existe pas de fraction qui, élevée au carré, reproduise exactement la fraction proposée ; car le carré d’une fraction ordinaire irréductible est une fraction irréductible ayant ses deux termes carrés parfaits. En d’autres termes , la fraction proposée n’admet pas de racine carrée exacte ; mais on peut l’obtenir avec une approximation aussi grande qu’on veut.

Soit, par exemple, la fraction \ dont on demande la racine à un centième près. On commencera par convertir en décimales la fraction proposée , et l’on s’arrêtera quand on

EXTRACTION DES RACINES.. 157

aura quatre chiffres décimaux ; on trouve ainsi que la fraction | égale la fraction décimale 0,71428..., ce qu’on peut écrire de la manière suivante :

On extraira ensuite la racine du numérateur à moins d’une unité près; la racine du plus grand carré contenu dans le nombre entier 7142 étant 84, il est clair que le nombre entier 7142 , et par suite le nombre fractionnaire 7142,8...., sont compris entre les carrés des deux nombres entiers consécutifs 84 et 85 ; donc la fraction proposée elle-même est comprise entre les carrés des deux fractions et Ainsi la, racine demandée est 0,84, à moins d’un centième près.

De même, si l’on veut trouver la racine du nombre fractionnaire 32 -f- , à un millième près, on convertira la fraction f en décimales, et l’on extraira la racine du nombre décimal 32,06606(5, ce qui donne 5,715.

Remarque.

IBS. Quand on a extrait la racine carrée du plus grand carré contenu dans un nombre entier, on connaît deux nombres entiers consécutifs, entre lesquels est comprise la racine du nombre proposé. 11 est aisé de voir, à l’inspection du reste, duquel de ces deux nombres elle est le plus rapprochée.

Soit , par exemple, le nombre 28 dont la racine est comprise entre 5 et 6 ; ce nombre contient le carré de 5, plus le reste 3. Formons le carré de 5-j- 1 ; ce carré, d’après ce qui a été dit , comprend trois parties : le carré de 5 ou 25 ; le double produit de 5 par |, c’est-à-dire 5 ; enfin le carré de-, ou Ainsi le carré de 5 { surpasse le carré de 5 de

5 -j- En général, quand on ajoute une demi-unité à un nombre, son carré augmente du nombre lui -même plus un quart. Si donc le reste est égal ou inférieur à la partie en-

tièrede la racine, la partie fractionnaire sera moindre qu’une demi-unité. C’est ce qui a lieu dans l’exemple actuel : le reste 3 étant inférieur à 5, la racine est plus petite que 5 -f- ^ ; on prendra 5 par défaut, à moins d’une demi-unité près.

Mais si le reste est plus grand que la partie entière de la racine, la partie fractionnaire sera plus grande qu’une demiunité. Par exemple , le nombre 32 contient le carré de 5, plus le reste 7; ce reste étant supérieur à 5, la racine est plus grande que 5 -}- j ; elle est comprise entre 5 -|- j et 6 ; on prendra 6 par excès, à moins d’une demi-unité.

Ainsi, dans l’extraction des racines , on aura soin de forcer le dernier chiffre quand le reste sera plus grand que la racine trouvée.

Racine carrée d’un nombre approché.

1 0®. On a vu que l’erreur relative d’un produit de facteurs approchés est la somme des erreurs relatives des facteurs; le carré étant le produit de deux facteurs égaux, l’erreur relative du carré d’un nombre approché est le double de l’erreur relative du nombre lui-même ; il en résulte que l’erreur relative de la racine carrée d’un nombre approché est la moitié, de l’erreur relative du nombre.

A l’aide de ce principe , il est aisé de voir que la racine carrée a toujours au moins autant de chiffres exacts que le nombre lui-même, moins un.

Soit le nombre 12,456 approché à moins d’un millième. L’erreur relative de ce nombre est celle de la racine 0 * ; on pourra donc compter sur quatre chiffres exacts à la racine, autant qu’il y en a dans le nombre proposé, moins un. Cette racine est 3,529, à un millième près.

Souvent on peut compter sur autant déchiffrés exacts à la racine qu’il y en a dans le nombre proposé. Soit le nombre 8,756 approché à moins d’un millième. L’erreur relative de ce nombre est celle de la racine — ou plus sirnple-

Extraction des racines.

ment On peut donc compter sur quatre chiffres exacts à la racine, autant qu’il y en a dans le nombre proposé. Cette racine est 2,959, à un millième près.

Mais dans la pratique, pour aller plus vite et éviter toute discussion, nous ne prendrons la racine qu’avec un chiffre de moins.

Exemples.

1" Calculer ]/ y/132 , à moins d’un millième d’unité.

Il s’agit d’extraire deux racines carrées successivement. La première n’ayant que deux chiffres à sa partie entière, la seconde n’en aura qu’un; comme on veut avoir trois chiffres décimaux, on demande le résultat avec quatre chiffres exacts; il suffira évidemment de calculer la première racine avec un chiffre de plus, c’est-à-dire avec cinq chiffres exacts. La racine de 132 est 11,489 ; en extrayant la racine carrée de ce nombre, on trouve 3,390.

2“ Calculer [/ \J1 avec une erreur relative de ou de

Si l’on obtient la première fraction avec une erreur relative de , on aura la seconde avec une erreur relative deux fois plus petite ; il suffira donc de calculer la première avec quatre chiffres exacts. La racine carrée de 2 est 1,414 ; en extrayant la racine carrée de ce nombre , on trouve 1,189.

3° Calculer l/^l-f- y/2~) X ( \/5 — 2) avec une erreur relative de ,, ou de 7*7*.

Il s’agit d’effectuer le produit des deux facteurs approchés 1 -\- sJ'T et \Jb — 2 et d’extraire la racine carrée de ce produit. Si l'on calcule chaque facteur avec une erreur relative de 77* , l'erreur relative du produit sera 77 ; celle de la racine deux fois plus petite , soit Il suffit donc de calculer chaque facteur avec cinq chiffres exacts.

f GO

A» r. a lmW (* + ^~) X (3 - y/W) X (15- VT ) ( 120 —J— y/7 ) X ( 3 -f- y/5 )

avec une erreur relative de -fj.

Il entre dans le calcul cinq facteurs approchés , et l’on sait que l'erreur relative du résultat, dans le cas le plus défavorable , celui où toutes les erreurs s’ajoutent , est la somme des cinq erreurs relatives. Si l’on obtient chaque facteur avec une erreur [relative de , 011 aura le résultat avec une erreur relative égale à \\> , et par conséquent moindre que ~f?. On calculera donc chaque facteur avec quatre chiffres exacts.

\fW*= 1,189

\jT— 2,6

\fT= 122,6

(1 -f y/2 ) X ( 3 — sJ n ) X (15 — y/i~) = 58,00 (120 X y/7 ) X (3-f- y/5~ ) = 64,179

Opération abrégée.

fl 90. Quand on veut extraire, à moins d’une unité près, la racine carrée d’un nombre entier très-grand, il est possible d’abréger un peu l’opération. Lorsqu’on a trouvé plus

EXTRACTION DES RACINES

de la moitié des chiffres de la racine par le procédé habituel, on obtient immédiatement tous les autres en divisant le reste par le double de la partie déjà trouvée à la racine.

Soit le nombre 2558966348260.

Il y a sept chiffres à la racine ; je calcule les quatre premiers 1599 par le procédé habituel ; puis je divise le reste 2165348260 par le double 3198000 de la partie déjà trouvée à la racine ; plus simplement , je divise 2165348 par 3198. Le quotient par défaut 677 me donne les trois derniers chiffres de la racine.

En effet, si nous considérons la racine comine formée de deux parties, la partie déjà trouvée 1599000 et la partie encore inconnue, le reste 2165348260 doit contenir le double produit de la première partie par la seconde, plus le carré de la seconde. En divisant ce reste par le double 3198000 de la première partie , nous avons trouvé 677 ; si le reste de la division contient le carré de 677, le nombre proposé contient le carré de 1599677, et l’on a la racine par défaut à moins d’une unité. Mais si le reste de la division ne contient pas le carré de 677, ce qui a lieu dans l’exemple actuel, concevons que l’on augmente le nombre proposé d’une quantité telle qu’il admette pour racine 1599677 ; cette quantité additionnelle est évidemment moindre que le carré de 667, et par conséquent , que le carré de 1 000 , ou que 10‘ ; on ne modifierait de la sorte que les 6 derniers chiffres du nombre proposé ; les sept premiers restent exacts. La