RAPPORT DES GRANDEURS CONCRÈTES

De finition.

lïl. On appelle rapport de deux grandeurs de même espèce le nombre qui exprime combien de fois la première contient la seconde et combien de parties de la seconde.

En d’autres termes, le rapport de deux grandeurs de même espèce est la mesure de la première quand on prend la seconde pour unité.

Par exemple , si la première grandeur contient trois fois la seconde exactement, le rapport est le nombre entier 3.

Si la première grandeur contient trois fois la cinquième partie de la seconde, le rapport est la fraction |.

Si la première grandeur contient quatre fois la seconde, plus trois fois la cinquième partie de la seconde , le rapport est le nombre fractionnaire 4-}-{.

11®. Lorsque deux grandeurs d’une espèce ont été mesurées au moyen d’une môme unité , le rapport de ces deux grandeurs est égal au quotient des deux nombres qui les mesurent.

Nous pouvons remarquer en effet que le quotient indique combien de fois le dividende contient le diviseur et combien de parties du diviseur. Supposons d’abord que le quotient soit un nombre entier 3 ; le diviseur multiplié par 3 , ou répété trois fois, donne le dividende ; donc le dividende contient trois fois le diviseur , et par conséquent le rapport du dividende au diviseur est le quotient 3.

Supposons maintenant que le quotient soit une fraction [,

Le dividende est toujours égal au produit du diviseur parle quotient. Or multiplier le diviseur par la fraction f , c’est répéter trois fois la cinquième partie du diviseur ; donc le dividende contient trois fois la cinquième partie du diviseur et par conséquent le rapport du dividende au diviseur est encore le quotient f.

I)e même, si le quotient est un nombre fractionnaire A-[-‘ , le dividende , qui est égal au produit du diviseur par le quotient, contient A fois le div iseur plus trois fois la cinquième partie du diviseur : le rapport est A-f-*.

Ainsi, d’une manière générale, le quotient exprime le rapport de la quantité dividende à la quantité diviseur. C’est pourquoi l’on a adopté le signe de la division, le trait horizontal, pour indiquer le rapport de deux quantités. On écrit au-dessus la première quantité , ou le numérateur , au-dessous la seconde quantité, ou le dénominateur. Par exemple, le rapport du nombre 5 au nombre ,7 s’écrira ‘ ; le rapport

Mj 5 I »

de J à f s’écrira—; le rapport de 5-j-|à 2-j--| s’écrira j- î.

Le rapport de deux nombres fractionnaires peut toujours être ramené à celui de deux nombres entiers. Soit le rapport de 5-f-j à 2-j-i, ou de ” à “ ; si l’on réduit ces deux fractions au même dénominateur, on a le rapport de 09 douzièmes à 20 douzièmes ; mais ce rapport est évidemment égal à celui des nombres entiers 09 et 20. De celle

manière le rapport proposé --—} se met sous la forme d’une

fraction ordinaire

Propriétés des rapports.

03. l’ne fraction ordinaire exprime le rapport de deux nombres entiers, le rapport de son numérateur à son dénominateur. 11 est aisé de voir que les propriétés fondamentales des fractions ordinaires s’étendent aux rapports en général.

RAPPORTS

Il résulte de la notion même du rapport que, lorsqu’on rend le numérateur d’un rapport un certain nombre de fois plus grand on plus petit, la valeur de ce rapport devient le môme nombre de fois plus grande ou plus petite, et que, par conséquent, si l’on multiplie le numérateur d’un rapport par un nombre quelconque entier ou fractionnaire, la valeur du rapport est multipliée par le môme nombre.

11 résulte aussi de la notion du rapport que, si l’on rend le dénominateur un certain nombre de fois plus grand ou plus petit, la valeur du rapport devient le môme nombre de fois plus petite ou plus grande, et que, par conséquent, si l’on multiplie le dénominateur par un nombre quelconque entier ou fractionnaire, la valeur du rapport est divisée par le même nombre.

On conclut de là que la valeur d’un rapport ne change pas quand on multiplie ses deux termes par un même nombre. Car le rapport, étant ainsi multiplié et divisé parle le même nombre, couserve la môme valeur.

De même, la valeur d’un rapport ne change pas , quand on divise ses deux termes par un même nombre.

fl. 7 - 1 . On sait que l’on obtient le produit de deux fractions ordinaires en les multipliant terme à terme. On effectuera de même le produit de deux rapports en les multipliant terme à terme.

5 4 i (iî\ lïi) .

Soit en effet ■ -} ou ou le rapport multiplica-

^ "I ï VÏ

(fl)

leur; ce rapport étant égal à la fraction ordinaire fj, il s’agit de répéter lit) fois la 2(1^ partie du rapport multiplicande; on prendra la 2(i° partie du rapport multiplicande eh multipliant son dénominateur par 2(1 ; on la répétera (19 fois en multipliant le numérateur par (19. Si maintenant l’on divise par 12 les deux termes du quotient, ce qui ne change pas sa \aleur, on voit que le numérateur du rapport multiplicande aura été multiplié par || ou —, c’est-à-dire par le nuinéra-

teur du rapport multiplicateur, le dénominateur par ff ou dénominn leur du second rapport.

11 en résulte que l’on divise un rapport par un autre en multipliant le premier par le second renversé.

On élève un rapport au carré ou au cube en élevant ses deux termes séparément à cette puissance.

On extrait la racine d’un rapport en extrayant la racine de ses deux termes.

175- On appelle rapports inverses deux rapports composés des deux mêmes termes , mais disposés en ordre inverse. Ainsi les deux rapports * et | sont inverses l’un de l’autre. Il est clair que le produit de deux rapports inverses est égal à un.

DANS UNE SUITE DE RAPPORTS ÉGAUX, LA SOMME DES NUMÉRATEURS ET CELLE DES DÉNOMINATEURS FOR- MENT UN RAPPORT ÉGAL AUX PREMIERS.