Soient les trois rapports égaux

Je dis que la somme des numérateurs et celle des dénominateurs forment un nouveau rapport

éga à chacun des rapports proposés. En effet, chacun des rapports proposés est égal à la fraction |, ce qui signifie que le numérateur 9 du premier rapport est égal aux trois cinquièmes de son dénominateur 1 5 ; que de même le numérateur 12 du second rapport est égal aux trois cinquièmes de sou dénominateur 20, et que le numérateur 21 du troisième rapport est égal aux trois cinquièmes de son dénominateur 35.

RAPPORTS

Or, imaginons que l'on veuille prendre les trois cinquièmes de la somme

des trois dénominateurs ; il est clair que l’on obtient les trois cinquièmes de la somme de plusieurs quantités, en prenant les trois cinquièmes de chacune d’elles ; mais les trois cinquièmes de chaque dénominateur, c’est le numérateur correspondant ; on aura donc la somme des numérateurs 9 + 12 + 21 .

Ainsi la somme des numérateurs 9+12 + 21 est égale aux trois cinquièmes de la somme des dénominateurs 15+20+35, donc le rapport

est égal à la fraction {, comme chacun des rapports proposés.

NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES GRANDEURS QUI VARIENT DANS LE MÊME RAPPORT OU DANS UN RAPPORT INVERSE. — SOLUTION, PAR LA MÉTHODE DITE DE RÉDUCTION A L’UNITÉ , DES QUESTIONS LES PLUS SIMPLES DANS LES- QUELLES ON CONSIDÈRE DE TELLES QUANTITÉS. — MET- TRE EN ÉVIDENCE LES RAPPORTS DES QUANTITÉS DE MÊME NATURE QUI ENTRENT DANS LE RÉSULTAT FINAL, ET EN CONCLURE LA RÈGLE GÉNÉRALE A SUIVRE POUR ÉCRIRE IMMÉDIATEMENT LA SOLUTION DEMANDÉE.

111. Dans la plupart des questions de mathématiques, on a à considérer deux quantités qui dépendent l’une de l’autre. Si, quand l’une devient un certain nombre de fois plus grande, l’autre devient le même nombre de fois plus grande , on dit que ces deux quantités varient dans le même rapport ou sont proportionnelles.

Par exemple, le prix d’une certaine quantité de blé dé-

peud de la quantité que l’on a achète. Si l’on achète une quantité deux fois plus grande, la somme à payer deviendra deux fois plus grande. Si l’on achète une quantité trois fois plus grande, la somme à payer deviendra trois fois plus grande. En général, le nombre de mesures de blé et la valeur varient dans le même rapport , ce qu’on exprime en disant que la valeur est proportionnelle à la quantité.

Considérons une locomotive en mouvement uniforme, • c’est-à-dire parcourant le même espace dans le même temps (dans ce cas on appelle vitesse le nombre de mètres parcourus en une seconde) . L’espace parcouru par la locomotive dépend évidemment du temps que l’on considère ; dans un temps deux fois plus grand, elle parcourra un espace deux fois plus grand ; dans un temps trois fois plus grand, un espace trois fois plus grand ; l’espace parcouru et le temps varient donc dans le même rapport , en d’autres termes, l’espace parcouru est proportionnel au temps.

1 9 1 S. Quelquefois , quand l’une des quantités devient un certain nombre de fois plus grande, l’autre devient le même nombre de fois plus petite. Dans ce cas , on dit que les deux quantités varient dam un rapport inverse ou sont inversement proportionnelles.

Par exemple, la quantité de blé que l’on peut acheter avec une somme déterminée dépend du prix de la mesure de blé.

Si lamesure coûte deux fois plus, avec lamême somme d’argeut on ne pourra acheter qu’une quantité deux fois plus petite. Si la mesure coûte trois fois plus, on ne pourra acheter qu’une quantité trois fois plus petite. Ainsi, la quantité de blé que l’on peut acheter avec une même somme d’argent et le prix de la mesure varient dans un rapport inverse.

Considérons le temps employé par une locomotive marchant uniformément pour aller d’une station à une autre.

Ce temps dépend de la vitesse de la locomotive: si la locomotive marche avec une vitesse deux fois plus grande , elle mettra, pour parcourir la même distance, un temps deux

RAPPORTS

fois plus petit ; si elle inarche avec une vitesse trois fois plus grande, elle mettra un temps trois fois plus petit. Ainsi, le temps que met la locomotive à parcourir une certaine distance et la vitesse varient dans un rapport inverse.

1 S9. Souvent une quantité dépend à la fois de plusieurs autres. Par exemple, le poids d’une plaque de fer, d’une certaine épaisseur, dépend de la longueur et de la largeur * de la plaque. Si la longueur devient deux fois plus grande, la largeur restant la même, le poids devient deux fois plus grand. De même, si la largeur devient deux fois plus grande, la longueur ne changeant pas, le poids devient aussi deux fois plus grand. Ainsi le poids varie dans le même rapport que la longueur et la largeur. Le poids de la plaque dépend aussi de son épaisseur ; quand l’épaisseur est deux fois plus grande, la longueur et la largeur restant les mêmes, le poids devient deux fois plus grand. On dira donc que le poids d’une plaque de fer est proportionnel à sa longueur, à sa largeur et à son épaisseur.

La longueur que l’on peut recouvrir sur une route dépend de la quantité de pierres dont on dispose et de l’épaisseur de la couche que l’on veut former. Avec une quantité de pierres double, l’épaisseur restant la même, on peut recouvrir une longueur double. Mais si l’on donne à la couche une épaisseur deux fois plus grande, la même quantité de pierres ne pourra recouvrir qu’une longueur moitié moindre. Ainsi, la longueur recouverte varie dans le même rapport que la quantité de pierres et dans le rapport inverse de l’épaisseur de la couche.

ISO. L es questions, dans lesquelles il entre des quantités qui sont dans le même rapport ou dans un rapport inverse, peuvent être résolues par une méthode très-simple, dite de réduction à l’unité. Quelques exemples feront bien comprendre l’esprit de cette méthode.

Problème I. 6 hectolitres de blé ont coûté 150 francs. Combien coûteront 10 hectolitres ?

Puisque 6 hectolitres coûtent 150 francs, un hectolitre coûte six fois moins, soit ^ ou 25 francs; 10 hectolitres coûteront dix fois

plus, soit 25 X 10 ou 250 francs.

On dispose le raisonnement de la manière suivante : 6 hectolitres coûtent. . 150 fr.

I Id.

10 Id.

= 250 fr.

Dans cette question, on a à considérer la quantité de blé et le prix. t Le prix varie dans le même rapport que la quantité. On connaît le prix de 6 hectolitres et on demande celui de 10 hectolitres. Nous remarquons que pour trouver le prix de la seconde quantité, il suffit de multiplier le prix de la première quantité, 150 francs, par le rap- 10 ,

port g de la seconde quantité à la première.

Problème II. Une locomotive marchant uniformément parcourt 3000 mètres en 5 minutes. Quelle distance parcourt-elle en 7 minutes ?

En 5 minutes la locomotive parcourt ' 000 mètres; en 1 minute, elle parcourt une distance cinq fois plus petite, soit -, - ou 600 mètres . En 7 minutes, elle parcourt une distance sept fois plus grande que la distance parcourue en une minute, soit 600 X 7 ou 4200 mètres. On écrira :

En 5 minutes, la distance est Eu 1

En 7

3000 mares.

Dans cette seconde question, on a à considérer deux sortes de quantités, le temps et le chemin parcouru. La distance parcourue et le temps varient dans le même rapport. Nous remarquons que l'on obtient la distance cherchée en multipliant la distance connue,

3000 mètres, par le rapport g- du second temps au premier.

Problème III. Avec une certaine somme d’argent, on a acheté 1200 hectolitres de blé, le prix de l’hectolitre étant à 9 francs. Quelle quantité de blé ponrra-t-on acheter avec la rnônie somme, le prix de l’ hectolitre s’étant élevé à li francs?

RAPPORTS

Quand l'hectolitre coûte 9 francs, on a acheté 1200 hectolitres de blé pour une certaine somme cT argent. Si l’hectolitre ne coûtait que 1 franc, on aurait une quantité de blé neuf fois plus grande pour la même somme , soit 1200 X9 h . Mais l’hectolitre coûtant 11 francs,

, . , . . 1200X9 nQ , h „

on en aura une quantité onze fois plus petite, soit — - * — = 98l",8,

à un dixième près.

Dans celte question, on a à considérer deux sortes de quantités ; le prix de C hectolitre et la quantité de blé que l’on peut acheter avec une même somme d’argent. La quantité et le prix de l’hectolitre varient dans un rapport inverse. Nous remarquons que Con obtient la quantité de blé cherchée, en multipliant la quantité connue,

1200 h , par le rapport -jj- de l’ancien prix au nouveau.

Proiilème IV. Une locomotive, qui se meut uniformément avec une vitesse de 10 mètres par seconde, a mis 20 minutes pour aller d’une ville à une autre. Quel temps mettrat-elle à parcourir la même distance si elle marche avec une vitesse de 13 mètres par seconde?

La locomotive, marchant avec une vitesse de 10 mètres par seconde, a mis 20 minutes pour aller d’une ville à une autre. Si elle marchait avec une vitesse de 1 mètre par seconde, elle mettrait un temps dix fois plus grand, soit 20X10 minutes. Marchant avec une vitesse de 13 mètres, elle mettra un temps 13 fois plus petit, soit

— minutes, ou 15"23.

Dans cette question, on a à considérer la vitesse de la locomotive et le temps qu'elle met à parcourir une môme distance. Ces deux quantités varient dans un rapport inverse. On obtient le temps cherché en multipliant le temps connu, 20 minutes, par le rapport

13 de l’ancienne vitesse à la nouvelle.

181. Ce qui précède nous permet de formuler une règle générale pour résoudre immédiatement toutes les questions dans lesquelles on n’a à considérer que des quantités qui varient dans le même rapport ou dans un rapport inverse. La question peut être posée en ces termes : Une quantité dépend d’une autre ; on connaît la valeur de la première, qui correspond à une certaine valeur de la seconde ; celle-ci change et prend une autre valeur. Que devient la première

quantité ? Il y a deux cas à distinguer : si les deux quantités varient dans le même rapport, on multiplie la valeur connue de la première quantité par le rapport des deux valeurs de la seconde, rapport de la nouvelle valeur à l’ancienne , et l’on aura ainsi la nouvelle valeur de la première quantité. Si les deux quantités varient dans un rapport inverse, on multipliera encore la valeur connue de la première quantité par le rapport des deux valeurs de la seconde, mais on prendra le rapport en ordre inverse, c’est-à-dire de l’ancienne valeur à la nouvelle.

Ainsi, dans le problème II, l’espace parcouru parla locomotive et le temps varient dans le même rapport ; pouravoir le nouvel espace, on a multiplié l’espace connu par le rapport du temps, rapport du nouveau à l’ancien.

Dans le problème IV, le temps mis par une locomotive à parcourir une certaine distance et la vitesse varient dans un rapport inverse. Pour avoir le temps cherché , ou multiplie le temps connu par le rapport de l’ancienne vitesse à la nouvelle.

Nous allons appliquer cette règle à des exemples plus compliqués.

Problème V. Une plaque de fer de I '",*20 de longueur sur 0'“,43 de largeur, pèse 100 kilogrammes. C.ombien pèsera une plaque de fer de même épaisseur, mais ayant 1"\70 de longueur sur 0 ,n ,G5 de largeur?

Le poids de lu plaque dépend à la fois de sa longueur et de sa largeur. Faisons d’abord varier sa longueur et cherchons ce que pèse une plaque de 1“,70 de longueur sur 0”,à3 de largeur. La largeur restant la même, le poids varie dans le même rapport que la longueur. Il faudra donc multiplier le poids connu 100 k , par le rapport

1,70 de la nouvelle longueur à [ancienne, ce qui donne 1,20

Faisons maintenant varier la largeur et cherchons ce que pèse une

plaque de 1“,70 de longueur sur 0“,65 de largeur. La longueur res-

tant lu même, le poids varie dans le même rapport que la largeur ;

RAPPORTS

il faudra donc multiplier le poids précédent par le rapport J . ,,

Uji|0

de ta nouvelle largeur à Contienne, ce qui donne pour le poids cherché ' *

Problème VI, Une plaque de fer de l m , 20 de longueur sur O n, ,43 de largeur et O”, 025 d’épaisseur, pèse 100 kilogrammes. Combien pèsera une plaque de fer de l m ,70 de longueur, sur 0 ,u ,65de largeur et O”, 018 d’épaisseur?

Le poids de la plaque dépend de la longueur, de la largeur et de l'épaisseur , et il varie dans le même rapport que chacune de ces trois quantités. Il faudra donc multiplier le poids connu par le rapport des longueurs, par celui des largeurs et par celui des épaisseurs, en prenant chaque rapport dans l’ordre direct, c’est-à-dire de la nouvelle valeur à C ancienne. On aura ainsi pour le poids cherché