HA:A»:A»:...:A
croissent plus rapidement que les termes de la progression arithmétique
or ces deux progressions ont leurs premiers termes égaux ;
donc le terme A”* de la première est plus grand que le terme (l + »i«) de la seconde ; donc toute valeur entière de m, qui rendra l + »wa>B, donnera à plus forte raison A”’>B. Mais la relation 1 + ?««>B donne
ou
donc toute valeur entière de m , plus grande que - — 7 , rendra A»i>B.
Corollaire. Lorsque la raison q de la progression géomé- Irigue (déf. 1) est plus grande que t unité ,
1° Les termes successifs q , q’, q’... sont de plus en plus grands; et on peut prendre un terme assez éloigné du terme 1 pour que sa valeur excède un nombre donné aussi grand qu’on voudra ;
2“ Les termes successifs q’ , q"*, q~^... ou -y, y, y...
sont de plus en plus petits, et on peut prendre un terme assez éloigné du terme 1 pour que sa valeur soit moindre qu'un nombre positif aussi petit qu’on voudra.
PROPOSITION II
Les puissances successives d’un nombre a , moindre que l'unité, sont de pins en plus petites ; et on peut prendre l’exposant ni assez grand pour qu’on ait la relation a'"<b , b étant un nombre positif aussi petit qu'on voudra.
1“ En posant a = l— *, on a a”*+'=a'''x (1 — *) = a»*— oa”' ; donc
2° L’inégalité a "*<6 peut s’écrire (^-^^”'>-|-;mais, a étant moindre que l’unité , est plus grand que l’unité ; donc
THÉORIE DES LOOARITHMES.
toute valeur entière de m , plus grande que
, rendra
Corollaire. Lorsque la raison q de la progression géométrique (déf. 1) est moindre que l'unité,
1° Les termes q, q’, q^ . sont de plus en plus petits; et on peut prendre un terme assez éloigné du terme 1 pour que sa valeur soit moindrequ'un nombre positif aussi petit qu' on voudra ;
2“ Les termes q"' , q** , q**... ou sont de
plus en plus grands; et on peut prendre un terme assez éloigné de l' unité pour que sa valeur exeède un nombre donné aussi grand qu'on voudra.
Remarque. La somme des termes d'une progression géométrique'^.a :aq:aq* : aq^... indéfiniment décroissante a une limite qui est égale au premier terme & de la progression, divisé par l'excès de F unité sur la raison. Car on a généralement s = ^P^ (liv.5,pr.35,rem.2) ou «== ou
enQn ^ ^ = jîr X 9" ; or q étant moindre que
l’unité , on peut prendre n assez grand pour que q" et, par
suite , ^ X 9 * soit moindre qu’un nombre positif aussi
petit qu’on voudra , donc est la limite de 5 ( liv. 3 , déf. 20).
On peut faire usage de ce principe pour trouver la fraction génératrice -y d’un nombre décimal périodique 0,368368368...; car cette fraction étant la limite de la somme variable 0,368 + 0,000368 + 0,000000368. . . des termes d’une progression géométrique dont la raison est 0,001 (liv. 3, pr. 30, rem. 1), on a
TIIEUItIK DIS LUUAnnilMES.
PROPOSITION III
Les racines successives d’un nombre A , plus grand que l’unilé , sont de plus en plus petites et on peut prendre l’indice m assez grand pour qu'on ait la rela-
tion l^A<1 + ^, ^ étant un nombre positif aussi petit qu'on voudra.
1" En posant A = * et 1/ A =^, on a a™ = A, 3 "'+* = A
et, par suite, = =g"'xP; or P, étant la racine
+ d’un nombre A>1, est elle-même plus grande que l’unité, donc d’où l’on déduit a>P ou
tn m+l
\ÿ~\ > Kâ7
2® L’inégalité 1/ A <1 +5 peut s’écrire (1 + î)“> A ; or
1 + S est un nombre plus grand que l’unité, donc toute va-
leur entière de »i, plus grande que — ^ , rendra (1 + S)”‘>A
(pr. 1 ) ou
Corollaire. Lorsque la raison q de la progression géométrique (déf. 1 ) est plus grande que C unité, on peut insérer entre deux termes ronsficuti/s q”‘ et q'^+i un assez grand nombre n de moyens géométriques, pour que la différence de deux termes consécutifs quelconques, dans la progression qui en résulte, soit moindre qu’un nombre positif aussi petit qu'on voudra. En effet, la raison q' de la progression résul-
tante est égale à V q (liv. 5,pr.28), et on vient de voir
qu’on peut prendre n ou n + 1 assez grand pour que V q diffère de l’unité aussi peu qu’on voudra; or la différence de deux termes consécutifs q"> et 7 '''+' est égale à q"> 1 );
le facteur q'—\ est aussi petit qu’on voudra , tandis que le facteur 7 '* est moindre que ç'"*'; donc le jiroduil q"’ [q'—\)
peut être supposé moindre qu’un nombre positif aussi petit qu’on voudra.
PROPOSITION IV
Les racines successives d’un nombre a moindre que l’unité sont de plus en plus grandes; et on peut prendre l’indice m assez grand pour qu’on ait la relation
étant un nombre positif aussi petit
qu’on voudra.
m ffi+4
1” En posant V a =a etp^ a =p, on aa’*=a, p"*+< = a et, par suite, a'» = p»'+' =|5™x?; or p, étant la racine (m + l)^d’un nombre a<1, est elle-même moindre que l’unité, donc d’où l’on déduit «<P ou
2° L’inégalité V o>l — S peut s’écrire (1— S)“<o; or 1— S est un nombre plus petit que l’unité , donc toute valeurentière de m, plus grande que
ffl
rendra (1— S)"*<a (pr. 2) oub^ a>l— S.
Corollaire. Lorsque la raison q de la progression géométrique (déf. 1) est moindre que l'unité, on peut insérer entre deux termes consécutif s al” et un assez grand nombre
n de moyens géométriques pour que la différence de deux termes consécutifs quelconques, dans la progression qui en résulte, soit moindre qu'un nombre positif aussi petit qu’on voudra. En effet , la raison q' de la progression résultante »+j
est égale à K y (liv. 5, pr. 28), et on vient de voir qu’on peut
prendre n ou n + 1 assez grand pour que \/ q diffère de
THKOKIK PKS I.UGAIUTHMES. 2.47
l’unité aussi peu qu'on voudra ; or la différence de deux termes consécutifs y'* et ÿ'*+' est égale à q'’' ( 1 — 9 '); le facteur 1 — 9 ' est aussi petit qu’on voudra, tandis que le facteur 9 '* est au plus égal à q<” ; donc le produit q'^ ( 1 — 9 ') peut être supposé moindre qu’un nombre positif aussi petit qu’on voudra.
PROPOSITION V
Dans tout systhne de logarithmes, un nombre positif P a un logarithme ; et réciproquement , tout nombre L , positif ou négatif, est le logarithme d’xm nombre positif.
1° Concevons que l’on insère un nombre n de moyens géométriques entre d(‘ux termes consécutifs quelconques (liv.5, pr. 28) de la progression géométrique (déf.l), elle même nombre n de moyens arithmétiques entre deux termes consécutifs quelconques (liv. 5, pr. 27) de la progression arithmétique ; chaque terme de la nouvelle progression arithmétique sera le logarithme du terme qui lui correspondra dans la nouvelle progression géométrique. Cela étant , supposons qu’on fasse successivement n — i ,2,3, k, 5... ; si le nombre donné P est un des termes de la première progression géométrique ou de l’une des progressions résultantes , il aura pour logarithme le terme qui lui correspondra, soit dans la première progression arithmétique, soit dans l’une des progressions résultantes. Mais, si P n’est un terme d’aucune de ces progressions géométriques, P sera compris entre, deux termes consécutifs A et B de la première progression géométrique (pr. 1 et 2 , cor.), entre deux termes consécutifs et de la progression géométrique correspondante à w = I , entre deux termes consécutifs de la progression géométrique correspondante à n—2, et ainsi de suite indériniment ; de plus, si l’on désigne par
THKOlUb DES LOGAHITH.MES.
r, r,, r,, r^... les raisons de la première progression arithmétique et des progressions arithmétiques correspondantes aux valeurs 1,2, 3... du nombre n , par a et b les logarithmes de A et B, par a, et 6, ceux de et , par a, et
b, ceux de A^et B^, etc., on aura 6 — a=r, ô.— «,=r,= y’ 6^a. = r, = -f,63-«,=r3 = -f, etc. (liv.5,pr.27); doue les différences è,— a,, b^—a^, 63—03... ont des valeurs absolues de plus en plus petites, et on peut prendre n assez grand pour que la valeur absolue de (6^ — o J ou ^ soit aussi petite qu’on voudra; donc les logarithmes o^ et b^ des
nombres variables A^^et B^, entre lesquels est constamment compris le nombre donné P , ont une limite commune qui est le logarithme de P.
2" Concevons qu’on insère, comme précédemment, un même nombre n de moyens proportionnels entre deux termes consécutifs quelconques de chaque progression ; si le nombre donné L est un des termes de la première progression arithmétique ou de l’une des progressions qui en résultent, il sera le logarithme du terme qui lui correspondra dans l’une des progressions géométriques ; mais si L n’est un terme d'aucune de ces progressions arithmétiques, il sera compris entre deux termes consécutifs a et 6 de la première progression arithmétique, entre deux termes consécutifs «, et 6, de la progression arithmétique correspondante à n = 1 , et ainsi de suite indéfiniment ; de plus , si l’on désigne par A et B les termes dont a et 6 sont les logarithmes, par A| et B^ ceux dont a, et 6, sont les logarithmes et, en général, par A^ et B^ ceux dont et b^ sont les logarithmes , on pourra prendre n assez grand pour que la différence entre A^ et B^ soit moindre qu’un nombre positif aussi petit qu'on voudra (pr. 4, cor.) ; donc les nombres variables et B^^ correspondants aux logarithmes et b^, entre lesquels est constamment compris le nombre donné L, ont une limite commune dont L est le logarithme.
THÉUIIIE DES LOUAKITHMES. 249
DÉFINITION
2. La base d’un système de logarithmes est le nombre dont le logarithme est égal à l’unité.
Ainsi 10 est la base du système de logarithmes formé des deux progressions
PROPOSITION VI
Le logarithme cTun produit de deux facteurs Ae< B est égal à la somme des logarithmes de ces facteurs .
1° Supposons que A et B soient des termes de la progression géométrique (déf.l) ou de celles qui en résultent (pr.5), et qu’on ait A= 9 ™, B = 5 '" (déf.l, rem. 3*). On en déduit AB = 9 "'+» et logAB = logg'’”+'*; or (déf. l,rem.4°) logg'’»+’* =r X (»w + n) = rxwi + rxn = logÿ"‘ + logç»; donc logAB = logA+logB.
2° Supposons que A et B ne soient des termes ni de la première progression géométrique (déf.l), ni de celles qu’on obtient en insérant un même nombre n de moyens entre deux termes consécutifs quelconques de chaque progression, et désignons par A', B' des termes variables avec n et qui différent de A et B aussi peu qu’on voudra. Nous aurons, par ce qui précède, logA'B' = logA' + logB'; cette relation, ayant lieu quel que soit n, existera encore si l’on y remplace A' et B' par leurs limites A et B; donc logAB = logA + logB.
Corollaire 1. Le togari/hme d’un produit de tant de facteurs qu'on voudra est égal à la somme des logariihrnes de ces facteurs. Car on a log ABC = log AB + log C ='log A +
THEORIE OES LOGARITHMES
log R + logC ; log ABCD = log ABC + logD = log + Iog B + log C + iog 1), et ainsi de suite.
Corollaire 2. Le logarithme d'un, quotient est égal au logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur.
Car le dividende étant égal au produit du quotient par le diviseur, le logarithme du dividende est égal à la somme des logarithmes du quotient et du diviseur.
Corollaire 3. Le logarithme S une fraction est égal au logarithme du numérateur moins le logarithme du dénominateur. Car toute fraction peut être considérée comme le quotient de la division de son numérateur par son dénominateur (liv.3,pr. 1).
Corollaire 4. Le logarithme d'un rapport géométrique est égal au rapport arithmétique qui a pour antécédent le logarithme de l'antécédent du premier rapport, et pour consé~ quent le logarithme de son conséquent. Car le rapport géométrique de deux nombres est égal au quotient de la division du premier par le second, et le rapport arithmétique de deux nombres est égal au premier moins le second.
Corollaire 5. Le logarithme de la m^^ puissance d'un nombre A est égal à va fois le logarithme de ce nombre. Car, la m“'>“> puissance de A étant un produit de m facteurs égaux à A, on a (cor. 1) logA"> =logA-l- log A + ... =?«logA.
Corollaire 6. Le logarithme de la racine m^”^ d'un nombre A est égal à la m^ partie du logarithme de ce nombre.
Car A étant égal à la m^“® puissance de sa racine m^“«, on a
ni m
log A = OT log k' A et, par suite, log k A =
Corollaire 7, Dans tout système de logarithmes, le logarithme d'une puissance de la base est égal au degré de cette puissarice. Car on a log b”*— m log ô = m (cor. 5).
Remarque. En démontrant ce principe fondamental le logarithme d'un produit de deux facteurs est égal à la somme des logarithmes de ces fadeurs , on a supposé que les deux progressions dont l’ensemble forme un système de loga- f
rithmes remplissent les trois conditions suivantes : 1” l'un <
Digilized by Googlq,
TIIEÜHIE UES LOtiVlUTHMES. 2S1
des termes de la progression géométrique est égal à l'unité; 2° l’un des termes de la progressai a\ ithmétique est égal à zéro ; 3° le terme 0 de la progression ari thmétique correspond au terme 1 de la progression géométrique (déf. 1). On va voir que ces conditions suffisantes sont nécessaires.
PROPOSITION VII
Pour que le produit AxB de deux termes d’une progression géométrique , indéfinie dans les deux sens, soit égal à un terme de cette progression , il est nécessaire que l'un des termes soit égal à runité.
En désignant par q la raison de la progression , on a B=Aq”‘, m étant un nombre entier positif, nul ou négatif (liv.5, pr.26). On en déduit x B=A“ç"*; mais pour que ce produit soit égal à un terme de la même progression , il faut qu’il puisse être mis sous la forme Kq", n étant un nombre entier positif, nul ou négatif (liv.5, pr.26) ; donc A*y’”=Aç" et, par suite, A = 9"-”“, donc le terme A est égal à la raison élevée à une puissance dont le degré n—m est un nombre entier positif, nul ou négatif. Cela étant, si l’on a, par exemple, A—q^, les termes précédents seront 9*, 9’, 1... ; et si l’on a A = 9“^, les termes suivants seront 9"’, 9'\ 1... ; donc, dans tous les cas, il est nécessaire que l’un des termes de la progression soit égal à l’unité.
PROPOSITION VIII
Pour que la somme a + b de deux termes d'une progression arilMnétique , indéfinie dans les deux sens , soit égale à un terme de cette progression, il est nécessaire que l’un des termes soit égal à zéro.
En désignant par r la raison de la progression , on a
THEORIK DES LOUAKITHMES.
b = a + rm, m étant un nombre entier positif, nul ou négatif (liv.5, pr.25). On en déduit a+b = 2a+rm; mais pour que cette somme soit égale à un terme de la même progression, il faut qu’elle puisse être mise sous la forme a+rn; donc 2a+rm = a + m et, par suite, « = ;•{»—»«); donc le terme a est égal à la raison multipliée par un nombre entier n—m positif, nul ou négatif. Cela étant, si l’on a, par exemple, 0 = 3r, les termes précédents seront 2r, r, 0... et, si l’on a a = — 3r, les termes suivants seront — 2r, — r, 0... ; donc, dans tous les cas , il est nécessaire que l’un dés termes de la progression soit égal à zéro.
PROPOSITION IX
Lorsqu'on a deux progressions indéfinies dans les deux sens , f une géométrique dont l'un des termes est l'unité, l'autre arithmétique dont l'un des termes est zéro , pour que le produit de deux termes de la progression géométrique et la somme des deux termes correspondants de la progression arithmétique se correspondent dans les deux progressions , il est nécessaire que le terme 0 de la progression arithmétique corresponde au terme 1 de la progression géométrique.
Désignons par q la raison de la progression géométrique, par r celle de la progression arithmétique et par a le terme de la seconde progression correspondaaÉOi.| 0 rnie 1 de la première, les deux progressions auront la forme
Cela étant , considérons deux termes 1 et g”' de la progression géométrique; les termes correspondants de la progression arithmétique seront a et a + mr; on voit de même
que le terme coiTespondant au produit 1 x q'“ ou 9’" est a + wir; donc pour que la somme (a+a + tnr) ou 2a + »nr corresponde au produit 1 x 9'" , il faut qu’on ait 2a + mr = a + »ir, ce qui exige que a = 0; donc il est nécessaire que le terme 0 de la progression arithmétique corresponde au terme 1 de la progression géométrique.
PROPOSITION X
Lorsque des nombres sont en proportion géométrique, leurs logarithmes sont en proportion arithmétique ; et réciproquement.
1“ Supposons qu’on ait la proportion a-.b::c-.d. I.e rapport 0:6 étant égal au rapport c:d, le logarithme (loga .logô) du premier rapport (pr. 6, cor.4) est égal au logarithme (logc.logrf) du second rapport; donc on a la proportion log a . log 6 : loge . log d.
2" Supposons qu’on ait la proportion loga. log 6 .-loge .logd. Le rapport logo. logé étant égal au rapport loge .logrf, le nombre axb correspondant au premier rapport (pr. 6, cor. 4) est égal au nombre e : d correspondant au second rapport ; donc on a la proportion a:b::c:d.
Corollaire. Dans toute proportion géométrique , 1° te logarithme dC un extrême est égal à la somme des logarithmes des moyens moins le logarithme de t autre extrême; 2° le logarithme d'un moyen est égal à la somme des logarithmes des extrêmes moins le logarithme de t autre moyen (liv.5, pr.9).
PROPOSITION XI
Lorsque plusieurs nombres sont en progression géométrique, leurs logarithmes sont en progression arithmétique’, et réciproquement.
1“ Supposons qu’on ait la progression '^.a:b:c:d:e. Los rapports géométriques b: a, c:b, d:c, e:c/ étant égaux, leurs logarithmes logô.loga, logc.log 6, loge?. loge, log e . log rf (pr. 6, cor. /i-) sont aussi égaux entre eux ; donc on a la progression vloga. logé, log e. log. rf. loge,
2" Supposons qu'on ait la progression f log a .logé, loge .loge?, loge. Les rapports arithmétiques log/;. log a, loge .log/», loge/. loge, loge. loge/ étant égaux, les nombres b:a, c:b, d:c, e:d, dont ils sont les logarithmes (pr. 6, cor. 4), sont aussi égaux entre eux; donc on a la progression r^.a:b:c\d:e.
PUOPOSITION XII.
Toute racine d'une puissance de la base b d'un système de logarithmes a un logarithme commensurable ; et réciproquement , tout nombre qui a un logarithme commensurable est une racine d'une puissance de la base.
1° Soit A= V' />’", m étant un nombre entier positif, nul ou négatif. On a (pr. 6, cor. 6) log A =-^ logé"»; orlog/»’“=w (pr. 6, cor. 7), donc log A =
2° Soit log .4 = n étant un nombre entier positif et
m un nombre entier positif, nul ou négatif. On en déduit nlogA = m ou log A* = log /»’" (pr. 6,cor. 5 et 7); donc A» = gm et , par suite ,
CoROLL.URE. Pour qu'un nombre ait un logarithme commensurable, il faut et il suffit que ce nombre soit égal à une racine de la base élevée à une puissance dont le degré est un nombre entier positif, nul ou négatif.
THÉOniE UES LOOASmiMF.S.
PROPOSITION XIII
Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un nombre A, entier ou fractionnaire, ait un logarithme commensurable dans un système dont la base b est un nombre entier.
1° Supposons d’abord que A soit un nombre entier. L’égalité logA= ^ conduit, comme précédemment (pr. 12, 2"), à A* = é®*, relation qui exige que m soit un nombre positif et que tout nombre premier, diviseur de A , soit aussi diviseur de b et réciproquement (liv. 2, pr. 18, cor.) ; donc, en posant b = ct<j^ , c et d étant des nombres premiers inégaux et plus grands que l’unité, on aura A = cf et, par suite ,
d"^ = ; donc n-f—nri, tiS'=mS et, par suite,
yr-f î :: ; n ; donc, pour qu'un nombre entier A ait un
logarithme commensurable , dans un système dont la base b est un nombre entier, il faut que A e# b soient composés des mêmes facteurs premiers, et que les exposants de ces facteurs soient proportionnels.
Ces conditions nécessaires sont suffisantes. Car, en supposant 6= c'^^d^, A = c'^d^’ et on a =c"^ ({^^' ,
b"! =c^'d^‘'f' et = Sy (liv. 5, pr.8) ; donc At= Jt', 7 log A =yiog6 = 7' et, par suite, logA=
2° Lorsque A est fractionnaire, la relation A«=6“ exige que m soit un nombre négatif : alors on a A* = b-P =
P étant un nombre positif; donc A est égal à une fraction de la forme , et on a ou a"=bP, d’où l’on conclut,
comme précédemment, que a et é sont composés des mêmes facteurs premiers, et que les exposants de ces facteurs sont proportionnels; on prouverait de même que ces conditions nécessaires sont suffisantes; donc, pour qu’un nombre frac-
25fi
THÉURIE nES LOGARITHMES.
tionnaire A ait un logarithme commensurable dans un système dont la base b est un nombre entier, il faut et il suffit que A soit égal à l’unité divisée par un nombre entier a composé des mêmes facteurs premiers que la base b , et que les exposants de ces facteurs soient proportionnels.
Corollaire. Lorsque^ = 10, onac = 2 ,d =5 et-y=S=l; donc k' = ^ ' et le nombre entier A =2''^ x 51^ = (2 x 5)lf =10'!'.
Lorsque A est fractionnaire , on a A = —77 ; donc, dans le
système de logarithmes dont la base est 10 , 1° les seuls nombres entiers dont les logarithmes soient commensurables sont les puissances 10®, 10', 10®, 10®... de la base du système; 2" les seuls nombres fractionnaires dont les logarithmes soient commensurables sont les puissances (0,1 )', (0,1 )®, (0,1)®... de l’inverse 0,1 de la base du système.
PROPOSITION XIV
Trouver le nombre correspondant à un logarithme commensurable dans le système dont la base est b.
1“ En supposant que le logarithme donné soit un nombre entier m, positif, nul ou négatif, et désignant para; le nombre dontm est le logarithme, on aura logx=w/=log6"‘ et, par suite, x = b”'; donc le nombre correspondant à un logarithme entier, positif, nul ou négatif, est égal à la base du système, élevée à une puissance dont le degré est ce logarithme.
Ainsi, les nombres correspondants aux logarithmes 3 et —i, dans le système dont la base est 10, sont 10® ou 1000 et 10'® ou 0,0001.
2® Soit loga: = n étant un nombre entier positif et m un nombre entier, positif ou négatif. On en déduit n logx= »/i ,
rUKOUIE DES LOdAiUTHMFS.
loga:" = logt™, a:*=b'“ et a:=l^ 6”'; donc le nombre correspondant à un logarithme fractionnaire, positif ou négatif, s'obtient en élevant la base à une puissance (Tun degré égal au numérateur , positif ou négatif, de la fraction proposée, et en extrayant de cette puissance une racine dont le degré est égal au dénominateur positif de cette fraction.
Ainsi , les nombres correspondants aux logarithmes y
— 7 "T’ système dont la base est 10, sont
K 10* et 1/10-3 . ouK 100 et 1/ 0,001.
Remarque. Lorsque le logarithme donné est incommensurable , on lui substitue, dans le calcul précédent, deux valeurs approchées, l’une par défaut et l’autre par excès, ce qui conduit à deux valeurs du nombre correspondant à ce logarithme, aussi approchées qu’on voudra.
PROPOSITION XV
Les logarithmes 1 et 1' d'un même nombre A, dans deux systèmes dont les bases sont b e< b' , sont en raison inverse des logarithmes de ces bases , pris dans un système quelconque.
Soit l =^,n étant un nombre entier positif et m un nombre entier positif, nul ou négatif; soit pareillement V = Y- La relation log A= <lonne n log A = m , log A* = logé™, A’‘= é™. Prenant les logarithmes de A» et 6”* dans un système quelconque, on a nlogA = wlogé et ou I = on trouvera de même ^ ou <' = -j^ ; donc l : V : ; logé': log 6,
Remarque. Ce principe , étant démontré pour des logarithmes commensurables quelconques , est aussi applicable à des logarithmes incommensurables.
CoRor.i.AiRE. I..a proportion l\V :: logé': logé donne
IT
23K TlltORIE DES LOGARITHMES.
I X -1^ OU l' = ly. en supposant que les logarithmes de b et b' soient pris dans le système dont la base est b; donc, pour passer du logarithme Æun nombre dans le système dont la base est b om logarithme du même nombre dans le système dont la base est b', il suffit de multiplier le premier logarithme par l'inverse du logarithme de la nouvelle base pris dans te premier système. Ainsi, pour passer du logarithme 3 du nombre 1000 dans le système dont la hase est 10 , au logarithme de 1000 dans le système dont la base estl/ 10, on multiplie 3 par l’inverse 2 du logarithme ï de V 10 dans le premier système , de sorte qu’on a log 1000=6 dans le système dont la base est V 10.
PROPOSITION XVI
Étant donné un nombre A et son logarithme, trouver la base 1) du système.
1“ Soit TW = log A, m étant un nombre entier positif. On
a aussi tw = logô"'; donc log6”*= log A, ô"‘= A et 6= t^A.
Ainsi,3étantlelogarithmedel000,labasei=k^ 1000 = 10. • 2“ Soit —m =log a. On en déduit wi = - logA= log-^ ;
on a d’ailleurs »M = log6’'‘; donc log 6*' = log 6’® = -^
et b=^V L.
Ainsi,— 2 étant le logarithme de 0,01, la base 6=1/100=10.
3® Soit =logA, wi et M étant des nombres entière positifs. On en déduit m=n logA, log 6'"=log A®, 6*®=A® et
6 = V'hF.
Ainsi, pétant le logarithme de 25, labase6= V (25)’=125.
THÉORIE DES I.OO \RITHME-i. 259
4* Soit ^ = lügA.*On en déduit
»i= — n log A, logé™ = log (-^)“, 6" = et 6 = 1^
Ainsi, — pétant le logarithme de 27, ona 6=1/
Remarque. Lorsque le logarithme donné est incommensurable , on lui substitue , dans le calcul précédent , deux valeurs approchées, l'une par défaut et l’autre par excès , ce qui conduit à une valeur de la base aussi approchée qu’on voudra.
DÉFINITION
5. La caractéristique d’un logarithme est la partie entière, positive, nulle ou négative, de ce logarithme. Ainsi 3 est la caractéristique du logarithme positif 3,4569864; —6 est la caractéristique du logarithme entièrement négatif -6,8649782 qui est égal à - 6 - 0,8649782 5 est la
caractéristique seule négative du logarithme 5,2689317 qui est égal à —5 + 0,2689317.
Remarque 1. On a - 6,8649782=— 7 + 1- 0,86 't 9782= - 7 + (1 - 0,8649782) = 7,1350218. En général, pour convertir un logarithme entièrement négatif en un logarithme dont la caractéristique soit seule négative , on ajoute — 1 à lu caractéristique et on pi end, pour la partie décimale du logarithme demandé, l'excès de [unité sur la partie décimale du logarithme proposé.
Remarque 2. On a 7,1350218 = — 6 — 1 +0,1350218 = -6 -(1-0,1350218)= -6,8649782. En général, pour convertir un logarithme dont la caractéristique est seule négative eti un logarithme entièrement négatif, on ajoute + 1 à la caractéristique et on prend, pour la partie décimale du logarithme demandé, l'excès de l'unité sur la partie décimale du logarithme proposé.
Remarque 3. L’excès de l’unité sur un nombre décimal
TIIKORIE DES t.OTf ARITIIMES.
peut s’obtenir en retranchant, à partir de la gauche, chaque chiffre décimal de 9 unités de son ordre, à l’exception du dernier chiffre décimal significatif qu’on retranche de 10 unités.
PROPOSITION XVII
Dans le système dont la base esHO, 1° la caractéristique du logarithme d'im nombre plus grand que l’ unité contient autant d’unités moins une qu’il y a de chiffres dans la partie entière de ce nombre ; 2° la caractéristique seule négative du logarithme d’un nombre décimal moindre que l’unité est égale à — 1 multiplié par le nombre qui marque le rang du premier chiffre significatif.
En considérant les deux progressions
relatives au système dont la base est 10, on reconnaît immédiatement que le principe énoncé se vérifie pour chacun des termes de la pi’ogression géométrique; donc il suffit de démontrer qu'il est applicable à tous les nombres intermédiaires.
1° Les logarithmes des nombres 10"-' et 10* étant n —1 et n (pr. 6, cor. 7), tout nombre compris entre 10» ' et 10», ou dont la partie entière se compose de n chiffres, a son logarithme compris entre n— 1 et n, et par conséquent w— 1 pour caractéristique de son logarithme.
Ainsi un nombre , dont la partie entière est composée de 9 chiffres, a 8 unités à la caractéristique de son logarithme.
2" Les logarithmes des nombres 10-»+' et 10-» étant — n + 1 et — n (pr.6,cor.7), tout nombre décimal compris entre 10 »+' et 10-», ou dont le premier chiffre significatif
THKUHIt DES I.ObAHITHMES.
exprime des unités du ordre, a son logarithme compris entre — n + 1 et — n, et par conséquent - « pour caractéristique seule négative de son logarithme.
Ainsi un nombre décimal , dont le premier chiffre significatif exprime des millionièmes , a 6 pour caractéristique seule négative de son logarithme.
PROPOSITION XVIII
Les logarithmes de deux nombres A et B, dont le rapport est égal à mie puissance rfe 1 0 , ont la même partie décimale.
Soit A=BxlO", n étant un nombre entier positif. On a (pr.6) logA = logE-floglO» = logB-i-«,- ce qui montre qu'on obtient logA en ajoutant n unités à la caractéristique de logB; donc logA et logB ont la même partie décimale, en supposant que, si logB est négatif, sa caractéristique soit seule négative (déf. 3, rem. I).
Ainsi les logarithmes des nombres 18517; 18,517; 0,018547; 1851700 ont la même partie décimale, et ils ne diffèrent entre eux que par leurs caractéristiques, qui sont respectivement égales aux nombres 1, 1, 2, 0(pr. 17).
Réciproquemem , lorsque deux logarithmes ne diffèrent entre eux que pur ta caractéristique, le rapport des nombres correspondants à ces logarithmes est égal à une puissance de 10. Car, en supposant log A>log B, on a logA=logB -f n, «étant un nombre entier posilif;orlogB-(-n=logB-l- log lO" =log(Bxl0»); donc log A = log (B x 10") et, par suite, A=BX10".
PROPOSITION XIX
Trouver, dans le système dont la base est 10, /e logarithme d'un nombre à moins d’une fraction — .
1° Supposons d’abord le nombre donné A>1 ou log A>0. On a log A"=«logA et, par suite, log,l= logA"; donc.
en désignant par c la caractéristique de logA» (pr. 17), on aura logA>-^ et logA<^; donc est le logarithme demandé. En général, pour trouver , dans le système dont la base est 10, le logarithme d’un nombre plus grand que l’unité à moins d'une fraction élève ce nombre à la
n^<ne puissance ; on cherche la caractéristique du logarithme de cette puissance (pr. 17), puis on divise cette caractéristique par le nombre n.
Ainsi , pour trouver log 2 à moins de on élève 2 à la lO^iiiû puissance, ce qui donne 102V; on cherche la caractéristique 3 du logarithme de 102V , et on divise 3 par 10, ce qui donne 0,3 pour le logarithme demandé.
2" En supposant le nombre donné a<l ou loga<0, proposons-nous d'obtenir la valeur absolue de log « , à moins
de . On a — log« = 0 — loga = logl— loga = log ; donc log est la valeur absolue de loga, ce qui ramène le problème à la recherche du logarithme d’un nombre plus grand que l’unité ii moins de (1°).
Ainsi, pour obtenir la valeur absolue de log j à moins de ■pj , on cherche la valeur de log 2 à moins de , ce qui donne 0,3 (1°) pour le nombre demandé.
Remarque. La méthode qu’on vient d’indiquer a principalement pour objet de faire concevoir comment, étant donné un nombre quelconque , on peut obtenir une valeur de son logarithme aussi approchée qu’on voudra. Lorsqu’il s’agit en réalité d’elfectuer le calcul pour une valeur de A ou de n un peu considérable, on a recours à des procédés moins élémentaires, mais beaucoup plus expéditifs.
PROPOSITION XX
Former une table de logarithmes, dans le système dont la base est 1 0.
THÉURIK UES LUUAHITIIMES. 263
Le logarithme d’une fraction étant égal au logarithme du numérateur moins le logarithme du dénominateur (pr. 6 , cor. 3), on voit que les logarithmes des nombres entiers feront connaître ceux des nombres fractionnaires. Cela étant, proposons-nous de former une table qui contienne les logarithmes de tous les nombres entiers depuis Tuiiité jusqu’à une limite donnée, 100000 par exemple. Tous les nombres entiers, qui ne sont pas des puissances de 10, ayant des logarithmes incommensurables (pr.l 3, cor.), nous prendrons seulement les valeurs les plus approchées de ces logarithmes en ne conservant que 7 chiffres décimaux (liv. 3 , prob.2) , de sorte qite l’erreur commise sur chaque logarithme soit moindre qu'un demi-dix millionième. Ainsi, par exemple , pour avoir une valeur approchée de log-2 en décimales, on cherche la valeui' 0,30102099 de log 2 à moins d’un cent millionième (pr. 19, rem.), puis ou supprime le huitième chifl're décimal en augmentant le septième d’une unité de son ordre , ce qui donne log 2 = 0,3010300. Cela étant , on écrit dans une première colonne intitulée N les nombres entiers 1, 2, 3, 4, 5... 100000, et dans une deuxième colonne intitulée L, à la droite de chacun des nombres de la première colonne, les sept premières décimales de son logarithme ; on se dispense d’écrire les caractéristiques , parce qu’elles se déduisent immédiatement des nombres correspondants (pr. 17); enfin , dans une troisième colonne intitulée D , on écrit les différences des logarithmes de deux nombres consécutifs à partir de 10000; ces différences servent à calculer les logarithmes des nombres entiers ou décimaux qui , abstraction faite de la virgule, excèdent la limite 100000 de la table.
PROPOSITION XXI
Trouver une valeur approchée du logarithme d’un nombre entier ou décimal, qui, abstraction faite de la virgule, n 'excède pas la limite dos Taldos.
THEORIE DES LUUABITHMES.
Soit proposé de trouver le logarithme de 345,67. La partie entière de ce nombre étant composée de trois chiffres, la caractéristique de son logarithme est égale à 2 (pr. 17) ; de plus , le logarithme de 345,67 a la même partie décimale que celui du nombre 34567 qui en résulte en faisant abstraction de la virgule (pr. 18) ; donc, si l’on cherche 34567 dans la colonne intitulée N, le nombre 5386617, placé à sa droite, formera la partie décimale du logarithme demandé, de sorte qu’on aura log 345,67 = 2,5386617. On trouverait de même log 34567 = 4,5386617 et log 0,0034567
=3,5386617 (pr. 17).
En général , pour trouver une valeur approchée du logarithme d’un nombre entier ou décimal, qui, abstraction faite de la virgule, n'excède pas la limite des tables , on écrit la caractéristique du logarithme demandé, puis, faisant abstraction de la virgule dans le nombre proposé, on cherche le nombre qui en résulte dans la colonne intitulée N (pr. 20), et on trouve à sa droite, dans la colonne intitulée L, la partie décimale du logarithme demandé.
PROPOSITION XXII
Trouver une valeur approchée du logarithme d'un nombre entier ou décimal, qui, abstraction faite de la virgule , excède la limite des Tables.
Soit proposé de trouver le logarithme de 345,6785. La partie entière de ce nombre étant composée de 3 chiffres , la caractéi'istique de son logarithme est égale à 2 (pr. 17) ; de plus, le logarithme de 345,6785 a la même partie décimale que celui du nombre 34567,85 qui en résulte en plaçant la virgule de manière que la partie entière approche le plus possible de la limite des tables sans la surpasser (pr. 18). Pour trouver une valeur approchée de cette partie décimale, cherchons le logarithme tabulaire 5386617 dix millionièmes de 34567 (pr. 21), et l’excès 126 dix millio-
THÉOftIE DES LUUAKITHMES. 265
nièmes du logarithme de 34568 sur celui de 34567. Les relations
donnent log 34567 <log 34567,85 < log34568 ; cela étant, pour déterminer le nombre x de dix millionièmes qu'il faut ajouter au logarithme de 34567 afin d’obtenir celui de 34567,85, on écrira
(34568-3'i567) : (34567,85-34567) ::(log34568-log34567)
: (log 34567,85 -log 34567) ou 1 ; 0,85 :: 126 : .T ,
proportion inexacte, mais qui conduit en général à une valeur de X d’autant plus appi ocbée que les nombres entiers 34567 et 34568 entre lesquels est compris 34567,85 diffèrent moins de la limite des tables. On en déduit .« =126x0,85 = 107,1 = 107 dix millionièmes, en négligeant le chiffre 1 < 5. Cette valeur de x ajoutée à la partie décimale 5386617 dix millionièmes du logarithme de 34567 donne la partie décimale 0,5386724 du logarithme de 34567,85 et , par conséquent , celle du logarithme de 345,6785 ; donc on a log 345,6785 = 2,5386724. On trouverait de même log3456785 = 6,5386724 et log 0,034.56785 = 2,5.386724 (pr.l8).
En général , Tpaur trouver une valeur approchée du logarithme dun nombre entier ou décimal, qui, abstraction faite de la virgule, excède, la limite des tables, on écrit la caractéristique du logarithme demandé , et , pour avoir sa partie décimale, on substitue au nombre proposé celui qu'on obtient en plaçant la virgule de manière que la partie entière approche le plus possible de la limite des tables sans la surpasser; on cherche le logarithme tabulaire correspondant à cette partie ent ière , et on l'augmente du quatrième terme delà proportion : l'unité est à la partie décimale du nombre qu'on a substitué au nombreproposé comme la différence des tables est à X.
Remarque. Dans les tables de Callet, on trouve écrites.
126 au-dessous de chaque différence des tables, les
1 13 valeurs les plus approchées des produits de cette
2 25 différence par les 9 premiers multiples de 0,1 en
3 38 ne conservant que 7 chiffres décimaux (liv. 3,
4 60 prob. 2), ce qui permet d’abréger le calcul de la
5 63 valeur de x. Ainsi, pour obtenir le produit de 126
6 76 dix millionièmes par 0,85, on observe que 126
7 88 X 0,85 = 126 X 0,8 + 126 X 0,5 X:;^; on cherche,
8 101 au-dessous de 126 et à la droite du chiffre 8,
9 113 le produit 101 dix millionièmes de 126 dix millionièmes par 0,8; puis, à la droite du chiffre 5, le produit 63 dix millionièmes de 126 dix millionièmes par 0,5 ; enfin, divisant 63 dix millionièmes par 10, on obtient le quotient 6 dix millionièmes (liv. 3, prob. 2) qui, ajouté à 101 dix millionièmes , donne , comme précédemment, x = 107 dix millionièmes.
PROPOSITION XXIII
Trouver une valeur approchée du nombre correspon-, dant à un logarithme positif ou dont la caractéristique est seule négative.
Soit proposé de trouver une valeur approchée du nombre dont 2,5386724' est le logarithme. La caractéristique 2 montre que la partie entière du nombre demandé se compose de 3 chiffres (pr. 17). Cela étant, supposons que la caractéristique 2 soit remplacée par 4, ce qui revient à multiplier par 100 le nombre correspondant au logarithme proposé (pr. 18, réc.) et cherchons , dans les logarithmes tabulaires correspondants aux nombres de 5 chiffres , celui qui approche le plus de 0,5386724 sans le surpasser; nous trouvons 0,5386617 qui correspond au nombre 34567 et 0,0000126 pour l’excès du logarithme de 34568 sur celui de 34567 ; on a d’ailleurs 0,5386724-0,5386617 = 0,0000107 ; donc, en désignant par x ce qu'il faut ajouter à 34567 pour avoir le nombre correspondant au logarithme 4,5386724, la
THÉUIUË DES LUU.4R1TUMES.
proportion dont on a fait usage pour résoudre le problème précédent (pr.22) donnera 126 ; 107:: 1 : x, d’où l’on déduit X = = 0,85 (liv. 3, prob. 2) ; donc 3i5C7,85 est le nom-
bre correspondant au logarithme 538672V et, par conséquent, 3V5,6785 est le nombre correspondant au logarithme proposé 2, 538672V. On trouverait de même que le nombre correspondant au logarithme 6,538672V est égal à 3V56785 et que le nombre correspondant au logarithme 3,538672V est égal à 0,003V.56785 (pr. 17).
En général, pour trouver une valeur approchée du nombre correspondant à un loyarithme jmsitiJ' ou dont la caractéristique est seule nérjalivc, on cherche dans les logarithmes tubulaires correspondants aux nombres de 5 chiffres , celui qui approche le plus de la partie décimale du logarithme proposé sans la surpasser; on prend le nombre correspondant à ce logarithme, puis la différence des tables et l’excès de la partie décimale du logarithme proposé sur celui qu'on a trouvé dans les tables; on ajoute au nombre entier correspondant au logarithme tabulaire le quatrième terme de la proportion ; la différence des tables est à l'excès de la partie décimale du logarithme proposé sur le logarithme tabulaire, comme l'unité est àx; ensuite on dispose la virgule, dans le nombre décimal qui en résulte, de manière que le premier chiffre significatif exprime des ufiités de l’ordre indiqué par la caractéristique du logarithme proposé.
Remarque 1. En faisant usage des tables de Callet, on 126 abrège le calcul de la valeur de x au moyen des
1 13 produits de la différence des tables par les 9 pre-
2 25 miers multiples de 0,1 (pr.22, rem.). Ainsi, pour
3 38 trouver ce qu’il faut ajouter à 3V.567 afin d’avoir V 50 le nombre correspondant au logarithme V,538672V,
5 63 on cherche le produit 101 dix millionièmes quiap-
6 76 proche le plus de 107dix millionièmes, eton trouve
7 88 à sa gauche le chiffre 8 qui exprimera des dixièmes
8 101 dans le nombre demandé; on soustrait 101 dix
9 i I i 3 millionièmes de 107 dix millionièmes, ce qui donne
ÏHEUHIE DES LUUAKITHMES.
6 dix millionièmes qu'on multiplie par 10 ; on cherche dans la table le produit 63 dix millionièmes qui approche le plus de CO dix millionièmes, et on trouve à sa gauche le chiffre 5 qui exprimera des centièmes dans le nombre demandé ; de sorte que ce nombre est, comme précédemment, 3'»567,85.
KemarqueS. Lorsque le logarithme proposé est entièrement négatif, on lui substitue un logarithme dont la caractéristique soit seule négative (déf. 3, rem. 1).
DÉFINITION
4. Le complément d’un nombre positif est le résultat qu’on obtient en retranchant ce nombre de l’unité suivie d’autant de zéros qu’il y a de chiffres à sa partie entière. Ainsi, le complément du nombre 3i5,6789 est (1000 — 3W,6789) ou 65V,3211.
Remarque. On voit que pour obtenir le complément d’un nombre positif, il suffit de soustraire chaque chiffre, à partir de la gauche , de 9 unités de son ordre à l’exception du dernier chiffre significatif qu’on soustrait de 10 unités.
O. Le complément d’un logarithme positif est le résultat qu’on obtient en retranchant ce logarithme de 10 unités. Ainsi le complément du logarithme 3,5386724. est (10 — 3,5386724) ou 6,4613276.
Remarque 1 . Cette définition suppose que les caractéristiques des logarithmes positifs dont on fait usage n’excèdent pas 9 unités.
Remarque 2. Au lieu de soustraire un logarithme positif, on peut ajouter son complément en diminuant la somme ainsi obtemie de 10 unités. Car o-logô=o-l-(10— logé)— 10 = a-|-CMog6— 10.
PROPOSITION XXIV
Trouver le logarithme d'une fraction ^ moindre giie r unité.
TIIÉOBIR DES LOr.ARITHMES.
2fi9
1" On a logj^ = log2— log567 (pr.6,cor.3) ; or log2 =0,3010300 et log567 =2, 7535831; donc logjlT^^O, 3010300 -2,7535831 = - (2,7535831 -0,3010300) °= - 2,4525531 = 3,5474469 (déf. 3, rem. 1).
2° On a log^ = log2 — log567=log2+C'log567— 10 (déf. 5, rem. 2) ; or log 2 = 0,3010300 et CMog 567 = 7,2464169; donc log^ = 0,3010300 + 7,2464169- 10 = 7,5474469 - 10 = 3,5474469=- 2,4525531 (déf. 3, rem. 2).
Remakqle. En cherchant le nombre correspondant à 3,5474469, on trouve [pr. 23) 0,003527336 qui exprime la valeur de rfr à moins d’un billionième.
PROPOSITION XXV
Trouver une valeur approchée de la racine septième du cube de
OOll
En posant x =
on a(pr. 6 , cor. 6 ) logx = ilog log^; orlog^
= log 18 + C log 569 - 10 = 1,25527^5 + 7,2448877- 10 = 2,5001602 ; donc loga: = 7 (2,5001602 X 3) = 7(5,5004806). Avant d’effectuer la division de 5,5004806 par 7, augmentons la caractéristique —5 du plus petit multiple de 7 qui la rende positive, c’est-à-dire de 7 unités ; nous aurons logx =7 (2,5004806—7) = 0,3572115— 1 = r, 35721 15 et, par suite (pr. 23), x = 0,2276206.
En général, pour obtenir le logarithme de la racine w*™* d’un nombre moindre que l’unité, on ajoute au logarithme de ce nombre le plus petit multiple de va qui le rende positif; on divise la somme ainsi obtenue par m, puis on retranche du quotient autant d’unités qu’on a ajouté de fois le nombre m.
rilEORlE DES I.OCARITHMES.
PROPOSITION XXVI
La valeur d’un capital a placé pendant n années à intérêt composé est égale à A à la fin de la n^ année; r désigne l’intérêt d’un franc placé pendant une année; et on propose, étant données trois quelconques des quantités a , r, n , A , de calculer la quatrième par logarithmes.
La valeur d’un franc au bout de la n^^™' année étant (1+r)», on a la relation
A = (1 + r)" X a (liv. 5, prob. 12).
1“ a, r, n étant données, on détermine A par l’égalité
logA = n log (l + r) + loga;
2* r, n, A étant données , on détermine a par l’égalité log a = log A — « log (1+ r) ;
3° a, n, A étant données , on a
log(l + r) =-L(logA -loga),
relation qui détermine 1 + r et, par suite, r. Connaissant r, on en déduit le taux rxlOO.
4“ a, r, A étant données, on a
log A — logo ” log(l + r)
Lorsque la valeur de n n’est pas un nombre entier, on prend la partie entière n' de cette valeur pour le nombre des années ; ensuite, on obtient le temps pendant lequel a été placé le capital a pour devenir égal à A , en ajoutant à n' années le nombre des Jours pendant lesquels il faut placer (l + r)"' X a pour que ce capital devienne égal à A ( liv. 5, prob. 10).
THÉORIE OES 1.00 \RITHMES,
PROPOSITION XXVIl.
Une personne emprunte un capital A, quelle rembourse ensuite avec l'intérêt composé, au moyen de ii paiements égaux à a, effectués successivement à la fin de chaque année ; r désigne l’intérêt d'un franc placé pendant une année, et on propose de calculer n par logarithmes.
On a (liv.5, prob. 16)
aX[l + (l+r) + (l+r)“ + ... + (l+r)»-’]=A(l+r]» ou (liv. 5, pr . 35) a x = A (1 + r)" ;
d’où l’on déduit (1 +r)“ = — - —
a — Ar
n log (1 + r) = log a + C‘ log (a - Ar) - 10
et ~~ loga+ C'log(g-Ar)-10
Iog(l+r)
PROBLÈMES A RÉSOUDRE
I. Quels sont les nombres correspondants aux logarithmes 5, — 4, —, — —, dans le syst'emc dont la base
THKORIE DES I.OGARITMMES.
