CARRÉS ET CUBES

PROPOSITION PREUIÈRE.

Le carré (Tun nombre entier, terminé par un ou par plusieurs zéros, est terminé par un nombre pair de zéros.

Car pour élever au carré un nombre entier, terminé par un ou par plusieurs zéros, il suffit de multiplier ce nombre par lui-méme, abstraction faite des zéros qui le terminent, et d’écrire à la droite du produit autant de zéros qu’il y en a à la droite des deux facteurs (liv. 1, pr.5, cor.), ou deux fois autant qu’il y en a à la droite du nombre proposé.

Ainsi le carré de 900 s’obtient en formant le carré 81 de 9 et en écrivant quatre zéros à la droite de 81, ce qui donne 810000.

Remarque. On prouverait de même que le cube d'un nombre entier, terminé par un ou par plusieurs zéros, est terminé par un nombre de zéros multiple de 3, et que , en général , la m^'^ puissance d’un nombre entier, terminé par un ou par plusieurs zéros, est terminée par un nombre de zéros multiple de m.

PROPOSITION II

Le carré d’un nombre décimal est terminé par un nombre pair de chiffres décimaux.

Gar, pour élever un nombre décimal au carré, il suffit de multiplier ce nombre par lui-même, abstraction faite de la

^ ^2 ARITHMÉTIQDE.

virgule, et de séparer sur la droite du produit autant de chiffres décimaux qu’il y en a dans les deux facteurs (liv. 3, pr. 25 ) , ou deux fois autant qu’il y en a dans le nombre proposé.

Ainsi le carré de 0,09 s’obtient en formant le carré 81 de 9 , et en séparant quatre chiffres décimaux sur 1a droite de 81, ce qui donne 0,0081.

Remarque. On prouverait de môme que le cube d'un nombre décimal est terminé par un nombre de chiffres décimaux multiple de 3 , et que , en général , la m^ puissance d’un nombre décimal est terminée par un nombre de chiffres décimaux multiple de m.

PROPOSITION III

Pour élever une fraction y au carré ou ati cube , il suffit d’élever ses deux termes au carré ou au cube.

1" Car le carré de y est égal à une fraction qui a pour numérateur le produit (Iiv.3, pr.9) ou 4-* et, pour dénominateur, le produit Tx”? ou 7*.

2" Car le cube de i est égal à une fraction qui a pour numérateur le produit 4x4x4 (liv. 3, pr.lO) ou 4’ et, pour dénominateur, le produit 7x7 x7 ou 7®.

Remarque. On prouverait de même que, en général, pour élever une fraction à la m^”^ puissance, il suffit d'élever ses deux termes à la puissance.

PROPOSITION IV

La fraction qu’on obtient, en élevant au carré ou an cube et, en général, à la puissance les deux termes d'une fraction y irréductible, est elle-même une fraction irréductible.

Soit proposé , par exemple , de prouver que -Ç- est une fraction irréductible.

MTRE IV.

La fraction j étant irréductible, 4 est premier avec 7 (liv. 3, pr. 16) ; donc 4“ est premier avec 7’ (liv.2, pr. 19, cor. 2); donc est une fraction irréductible (liv. 3, pr. 16).

(kjRoi,i,AiRE. Tout carré entier est le carré d'un nombre entier; tout cube entier est le cube d'un nombre entier et, en général, toute m^”'^ puissance entière est la puissance Æun nombre entier.

PROPOSITION V

Lorsqu’une fraction irréductible y est un carré, ses deux termes sont des carrés.

La fraction irréductible | n’étant pas égale au carré d’un nombre entier, soit y une fraction dont le carré est égal à

En supposant y irréductible , son carré y est aussi une fraction irréductible (pr.4); or i =y, donc 4 = a“ et 9 = 6“ (liv. 3, pr. 16, cor.), donc 4 et 9 sont dos carrés.

ItEMAKQLE. On prouverait de même que, lorsqu'une fraction irréductible est un cube, ses deux termes sont des cubes, et que, en général , lorsqu'une fraction irréductible est une puissance, ses deux termes sont des puissances,

PROPOSITION VI

Le carré de la somme de deux nombres se compose du carré du premier nombre, du double produit du premier par le second, cl du carré du second.

On a, par exemple,

En effet, pour élever (4,7 + 6) au carré, il suffit de multiplier (4,7 + 6) successivement par 4,7 et par 6, puis de faire la somme des produits ainsi obtenus ; or

ABTTHMÉTIQDK,

(4,7 + 6) X 4,7 = 4,7 X 4,7 + 6 X 4 ,7 = (4,7)» + 4,7 X 6 , et (4,7+6)x6 = 4,7x6+6x6 = 4,7x6+6»; donc (4,7+6)»=(4,7)»+4,7x6x2+6».

Corollaire 1. On a de même

donc le carré d'un nombre entier, décomposé en dizaines et unités, se compose du carré des dizaines, du double produit des dizaines par les unités et du carré des unités.

Corollaire 2. On a aussi

38»=(37 + 1)» = 37» + 37x1x2 + 1»=37» + 37x2+1, et, par suite, 38»— 37» = 37x2 + 1 ; donc la différence des carrés des deux nombres entiers consécutifs est égale au double du plus petit de ces deux nombres, plus une unité.

PROPOSITION VII

Le cube de la somme de deux nombres se compose du cube du premier nombre , de [rois fois le produit du carré du premier par le second, de trois fois le produit du premier par le carré du second et du cube du second.

On a, par exemple,

En effet, le carré de (4,7+6) est égal à

(4,7)» + 4,7 X 6x2+ 6» (pr.6);

et, pour en déduire le cube de (4,7+6), il suffit de multiplier ce carré par 4,7 et par 6, puis de faire la somme des produits ainsi obtenus. Or

UVHE IV. ^45

[(4,7)»+4,7xGx2 + G-^Jx4,7=(4,7)^+(4,7)^xCx2 + 4,7x62;et

[(4,7)> + 4,7 X G X 2 + 6= ] X 6 = (4,7) ^ X 6 + 4,7 X 6* X2 + 6 ■ ; donc, en observant que

(4,7)* X 6 X 2 + (4,7)* X 6 = (4,7)* x 6 X 3 , et que 4,7xG*+4,7xG*x2 = 4,7x6*x3,

on a (4,7 + G)* = (4,7)* + (4,7)* x 6 x 3 + 4,7 x 6* x 3 + G*. CoKOLLAiHE 1. On a de môme 3G7* = (360 + 7)* = 3G0* + 3G0* X 7 X 3 + 3G0 X 7* X 3 + 7 ' ; donc le cube d'un nombre entier, décomposé en dizaines et unités, se compose du cube des dizaines, du triple produit du carré des dizaines par les unités , du triple produit des dizaines par le carré des unités et du cube des unités. Corollaire 2. On a aussi

38*=(37 + l)*=37* + 37*xIx3 + 37xl*x3 + l*

et, par suite, 38*-37*=37*x3 + 37x3 + l ; donc la différence des cubes de deux nombres entiers consécutifs est égalé à trois fois le carré du plus petit de ces deux nombres, plus trois fois ce plus petit nombre, plus une unité.

PROPOSITION VIII

Le carré ou le cube d'un produit 4, 5 x 7 est égal au produit des carrés ou des cubes de ses facteurs.

t“ Pour multiplier 4,5x7 par le produit 4,5x7, il suffit de multiplier 4,5 x 7 par 4,5 et le produit obtenu par 7 (liv. 3, pr. ll,cor. 1), ce qui revient à multiplier le facteur 4,5 par 4,5 et le facteur 7 par 7 ( liv. 3, pr. 11 , cor. 2 ) ; donc

AHITIIMKTIQHE.

2° Pour élever au cube le produit 4,5x7, il suffit de multiplier le carré (4,5)“x7“ de ce produit par 4,5x7, ce qui revient, comme précédemment, à multiplier le facteur (4,5)^ par 4,5 et le facteur 7^ par 7 ; donc

Remarque 1. On prouverait de môme que la quatrième puissance d’un produit est égale au produit des quatrièmes puissances de ses facteurs, et ainsi de suite; donc/a»i'™* puissance d’un produit est égale au produit des ni‘’^ puissances de ses facteurs.

Remarque 2. On a (liv. 1, pr. 4) 7^ X7^ = 7*X7 X7 = 7’** = 7® ; donc le produit de plusieurs nombres, égaux et affectés chacun d’un exposant , est égal à l’un de ces nombres élevé à une puissance dont le degré est la somme des exposants de tous les facteurs.

Remarque 3, On en déduit (7’)“ ou 7^X7’ =7'^^= 7''''“ =7® ; donc pour élever à une puissance un nombre affecté d’un exposant, il suffit de multiplier cet exposant par le degré de la puissance.

PROPOSITION IX

Lorsqu’un nombre entier 129600 est un carré, les e.vposants de ses facteurs premiers sont des nombres pairs.

Tout carré entier étant le carré d’un nombre entier (pr. 4, cor.), soit 360 le nombre dont le carré est égal à 129600. En décomposant 360 en facteurs premiers, on a 360=2^x3'X5; or, pour élever ce produit au carré, il suffit d’élever chaque facteur au carré (pr. 8), ce qui revient à doubler l’exposant de chaque facteur (pr. 8, rem. 3); donc 360^ ou 129600 = 2'’x3*x5“;

donc les exposants des facteurs premiers 2, 3, 5 du nombre proposé 129600 sont des nombres pairs.

i.niiE IV,

Rf.marqce. On prouverait de même que lorsqu’un nombrr. entier est un cube, les exposants de ses facteurs premierssont (les multiples de 3, et que, en général, lorsqu’un nombre entier est une puissance, les exposants de ses facteurs premiers sont des multiples de m.

PROPOSITION X

Faire la preuve par 9 de l'élévation d’un nombre entier au carré.

En appliquant la règle indiquée (liv. pr. 8) pour faire la preuve par9 de la multiplication des nombres entiers au cas particulier où le multiplicateur est égal au multiplicande, on voit que, pour faire la preuve par 9 de V élévation d'un nombre entier au carré, il suffit de chercher le reste de ta division du nombre proposé par 9, d'élever ce reste au carré, et de vérifier si te reste delà division de ce carré par 9 est égal au reste de la division par 9 du carré du nombre proposé.

Remarque. La preuve par 9 ou par 11 de l’élévation d’un nombre au cube et, en général, à la m™'e puissance, s’effectue d’une manière analogue.