La racine d’un nombre est le nombre dont la

m«">® puissance est égale au nombre proposé.

Remarque. Les définitions 1,2,3 semblent supposer que tout nombre entier ou fractionnaire est un carré , un cube et, en général , une m'™8 puissance , quoique, en réalité, un nombre entier , compris entre les m*'”®* puissances de deux nombres entiers consécutifs, ne soit la m*!™^ puissance ni d’un nombre entier, ni d’une fraction (pr. 4, cor.) ; mais on ne considère, dans les éléments d’arithmétique , que les racines qui peuvent être exprimées par des nombres entiers ou fractionnaires ; et , lorsqu’un nombre n’est pas une m*""'® puissance, on dit que sa racine m™ est incommensurable.

Ainsi , le nombre 7 , compris entre les carrés 4 cl 9 des nombres entiers 2 et 3, n’étant le carré ni d’un nombre entier, ni d’une fraction (pr. 4, cor.), sa racine carrée est incommensurable.

4. Le degré de la racine d’un nombre est le degré de la puissance à laquelle il faut élever cette racine pour reproduire le nombre proposé.

5. Pour indiquer une racine à extraire, on emploie le signe qu’on nomme radical, en plaçant au-dessous du trait horizontal le nombre dont la racine est à extraire et , entre les deux branches du radical , le degré de la racine. Ce degré, ainsi placé, prend le nom A' indice: on se dispense de récrire, lorsqu’il est égal au nombre 2. D’après ces conventions on a

LIVHE IV. ^

G. La racine carrée d'un nombre à moins d'un autre nombre est le plus grand multiple du second nombre dont le carré soit contenu dans le premier. Ainsi la racine carrée de 2 , à moins d’un dixième , est 1 ,4- , parce que le carré 1,96 de 1,4. est contenu dans 2, tandis que le carré 2,25 de 1,5 excède 2. La racine carrée de 12, à moins d’une unité , est égale à 3, parce que le carré 9 de 3 est contenu dans 12, • tandis que le carré 16 de 4 excède 12. En général , la racine carrée d'un nombre , à moins d'une unité , est égale à la racine carrée du plus grand carré enl ier contenu dans ce nombre.

7. La racine d'un nombre, à moins d’un autre nombre, est le plus grand multiple du second nombre dont la .mcnic puissance soit contenue dans le premier. 11 en résulte que la racine d'un nombre , à moins d’une unité, est égale à la racine m^”^ de la plus grande m^ puissance entière contenue dans ce nombre.

8. La racine m^”^ dun nombre, approchée par excès à moins dun autre nombre, est le plus petit multiple du second nombre , dont la m*^'"« puissance excède le premier. Ainsi la racine carrée de 2, approchée par excès à moins d’un dixième, est 1,5 (déf. 6), et la racine carrée de 12 , approchée par excès à moins d’une unité, est égale à A..

PROPOSITION XI

Déterminer le nombre des chiffres de la racine carrée d’un nombre entier, décimal ou fractionnaire, à moins <f une unité.

On sépare la partie entière du nombre proposé eu tranches de deux chiffres , sauf à ne laisser qu’un seul chiffre à la dernière tranche ; le nombre des tranches, ainsi obtenues, est égal au nombre des chifl’res de la racine. Ainsi, par

AIUTHMKTiyUE.

exemple , la racine carrée du nombre 35627,86 , à moins d’une unité, se compose de trois chiffres.

En effet, les carrés des nombres

• étant respectivement

on reconnaît immédiatement que la règle énoncée est aj)plicable aux nombres 1 , 100 , 10000 , lOOOOOO. . . ; donc il suf6t de démontrer qu’elle s’applique aussi aux nombres intermédiaires.

Tout nombre, compris entre 1 et 100, c’est-à-dire dont la partie entière contient un ou deux chiffres, ou une seule tranche, a sa lacine cairée , à moins d’une unité, comprise entre 1 et 10 et, par conséquent, formée d’un seul chiffre ; tout nombre compris entre 100 et 10000, c’est-à-dire dont la partie entière contient trois ou quatre chiffres ou deux tranches, a sa racine carrée, à moins d’une unité, comprise entre 10 et 100, et par conséquent composée de deux chiffres ; on prouverait de même que tout nombre, dont la partie entière contient cinq ou six chiffres , ou trois tranches, a sa racine carrée, à moins d’une unité, formée de trois chiffres, et ainsi de suite.

PROPOSITION XII

Déterminer le nombre des chiffres de la racine cubûiue d'nn nombre entier, décimal ou fractionnaire, à moins d'une unité.

On sépare la partie entière du nombre proposé en tranches de trois chiffres, sauf à ne laisser qu’un ou deux chiffres

UVKE IV. j5l

à la dernière tranche; le nombre des tranches, aitisi obtenues, est égal au nombre des* chiffres de la racine. Ainsi, par exemple, la racine cubique du nombre 35627,86, à moins d’une unité , se compose de deux chiffres.

En effet , les cubes des nombres

étant respectivement

on voit que la règle énoncée est applicable aux nombres 1, 1000, 1000000...; donc il suffit de démontrer qu’elle s’applique aussi aux nombres intermédiaires.

Tout nombre , compris entre 1 et 1000, c’est-à-dire dont la partie entière contient un, deux ou trois chiffres, ou une seule tranche , a sa racine cubique , à moins d’une unité , comprise entre 1 et 10 et, par conséquent, formée d’un seul chiffre ; tout nombre, compris entre 1000 et 1000000, c’est-à-dire dont la partie entière contient quatre , cinq ou six chiffres, ou deux tranches, a sa racine cubique, à moins d’une unité , comprise entre 10 et 100 et, par conséquent, formée de deux chiffres ; on prouverait de même que tout nombre, dont la partie entière contient sept, huit ou neuf chiffres , ou trois tranches , a sa racine cubique , à moins d’une unité, formée de trois chiffres , et ainsi de suite.

Remauqüe. On démontrerait de la même manière que, en séparant la partie entière d’un nombre en tranches de quatre chiffres , sauf à ne laisser qu’un , deux ou trois chiffres à la dernière tranche, le nombre de tranches, ainsi obtenues, est égal au nombre des chiffres de la racine quatrième du nombre proposé, à moins d’une unité, et ainsi de suite; donc, en général , déterminer le nombre des chiffres de la racine d'un nombre entier , décimal ou fractionnaire , à moins d'une unité, il suffit de séparer la partie entière de ce nombre en franches de in chiffres, sauf

4 52 ARlTHMÉTiyUE.

à ne laisser que 1, 2,3... (m— 1) chiffres à la dernière tranche; le nombre des tranches , ainsi obtenues, est égal au nombre des chiffres de la racine.

PROPOSITION XIII

La racine carrée 6 du plus grand carré entier 36 contenu dans le nombre total 38 des centaines d’un nombre 3859 est égale au nombre total des dizaines de la racine carrée du nombre proposé, à moins d’une imité.

Ln nombre 6 étant la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 38, le carré de 60 est contenu dans 3800 et, à plus forte raison, dans 3859, tandis que le carré de 70 excède 3800 au moins d’une centaine et, par suite, excède 3859 ; donc 6 est le nombre des dizaines de la racine carrée de 3859, à moins d’une unité.

Remauoue. Si la partie entière du nombre proposé 235976,8 avait plus de quatre chiffres , en désignant par a la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 2359, on prouverait, comme précédemment, que le carré de 10 x a est contenu dans 235976,8 , tandis que le carré de 10 X (rt + 1) excède 235976,8; donc a est le nombre tobil des dizaines de la racine carrée de 235976,8 à moins d’une unité.

PROPOSITION XIV

La racine cubique 6 du plus grand cube entier 21 6 contenu dans le nombre total 235 des mille d'un nombre 235976 est égale au nombre total des dizaines de la racine cubique du nombre proposé, à moins d’une unité.

UVItE IV.

Le nombre 6 étant la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans 235 , le cube de 60 est contenu dans 235000 et, à plus forte raison, dans 235976, tandis que le cube de 70 excède 235000 au moins d’un mille et, par suite, excède 235976 ; donc 6 est le nombre des dizaines de la racine cubique de 235976 , à moins d’une unité.

Remaiiqce. Si la partie entière du nombre proposé 84-7235976,04 avait plus de six chiffres, en désignant par a la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans 847235, on prouverait, comme précédemment, que le cube de 10 X a est contenu dans 847235976,04, tandis que le cube de tOx («+ 1) excède 847235976,04; donc a est le nombre total des dizaines de la racine cubique de 847235976,04 à moins d’une unité.

PROPOSITION XV

Extraire la racine carrée d’un nombre c«<ier 289764 à moins d’une unité.

Ce nombre, contenant plus de deux cbilTres, a au moins une dizaine à sa racine (pr. 11), et, pour en déterminer le nombre total, il suffit d’extraire la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 2897 (pr. 13), ce qui conduit à séparer 64 sur la droite du nombre proposé et à ne considérer, pour un instant, que la partie à gauche 2897. Ce nombre, contenant encore plus de deux chiffres, a au moins une dizaine à sa racine , et , pour en déterminer le nombre , on est conduit, comme précédemment, à séparer 97 sur sa droite et à extraire la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans 28. Ce plus grand carré est égal au nombre 25 dont la racine carrée est 5 ; donc 5 est le chiffre des dizaines de la racine carrée du

AiiiTHMEriyiiE.

nombre 2897 , à moins d’une unité ; donc 2897 peut être considéré comme composé de quatre parties qui sont : le carré des 5 dizaines de sa racine, le double produit de 5 dizaines par le chiffre inconnu des unités de cette racine, le carré de cecbiffre (pr.6, cor. 1), et un reste égal à l’excès de 2897 sur le plus grand carré entier contenu dans ce nombre; donc si , du nombre 2897, on retranche le carré 2500 des 5 dizaines de sa racine, le reste 397 ne contiendra plus que trois parties qui sont : deux fois le produit des 5 dizaines de la racine de 2897 par le chiffre inconnu de ses imités , le carré de ce chiffre et le reste; or le double produit de 5 dizaines par le chiffre des unités donne un nombre exact de dizaines qui sont toutes contenues dans les 39 dizaines de 397, ce qui conduit à les séparer du chiffre 7 des unités; d’ailleurs 39 contient, en outre, le nombre des dizaines qui peuvent |)rovenir du carré des unités et du reste, donc la partie entière du quotient de la division de 39 par le double de 5 sera le chiffre des unités ou un nombre trop grand. 1 æ double de 5 est égal à 10 qui est contenu trois fois dans 39 ; donc 3 est le chiffre des unités de la racine de 2897, ou un nombre trop grand. Pour le vérifier, on pourrait l’écrire ù la droite du chiffre 5 des dizaines, former le carré du nombre 53 qui en résulte, et voir si ce carré n’excède pas 2897 ; mais, comme on a déjà retranché de 2897 le carré de 5 dizaines , il suffit de s’assurer si la somme des deux autres parties du carré de 53 n’excède pas le reste 397. Pour former cette somme , on écrit 3 à la droite du nombre 10 , double du chiffre des dizaines, cl on multiplie par 3 le nombre 103

UMIE IV.

^5rj

qui en résulte, ce qui donne le produit 309<397 ; donc 3 est le chiffre des unités de la racine de 2897 et, par suite, 53 est la racine du plus grand carré entier contenu dans 2897 ; donc 53 exprime le nombre total des dizaines de la racine demandée (pr. 13) et le nombre proposé 289764 peut être considéré comme composé de quatre parties qui sont : le carré des 53 dizaines de sa racine, le double produit do 53 dizaines par le chiffre inconnu des unités de cette racine, le carré de ce chiffre et un reste égal à l’excès du nombre proposé sur le carré de sa racine. Cela étant , si , du reste 397 , on reti’anche le produit 309 , le reste 88 sera l’excès de 2897 sur le carré de 53 ; donc, si , à la droite du reste 88, on écrit 64 , le nombre 8864 , qui en résulte , sera I cxcès du nombre proposé 289764 sur le carré des 53 dizaines de sa racine ; donc ce nombre 8864 se compose de trois parties (jui sont ; le double produit des 53 dizaines de la racine demandé(î par le chiffre de ses unités , le carré de ce chiffre, et le reste; mais le double produit de 53 dizaines par le chiffre des unités est un nombre exact de dizaines qui sont toutes contenues dans les 886 dizaines de 8864; d’ailleurs 886 contient, en outre, le nombre des dizaines qui peuvent provenir du carré des unités et du reste; donc la partie entière du quotient de la division de 886 par le double de 53 sera le chiffix; des unités ou un nond)re tiop grand. Le double de 53 est 106 qui est contenu 8 fois dans 886; donc. 8 est le chiffre des unités ou un nombre trop grand. Pour le vérifier, on pourrait l’écrire à la droite de 53, former le carré du nombre 538 qui en résulte , et voir si ce ( arré n’excède pas le nombre proposé; mais, comme on a déjà soustrait de ce nombre le carré des 53 dizaines de sa racine, ce qui a donné le reste 8864 , il suffit de s’assurer si la somme des deux autres parties du carré de .5.38 n'excède pas 8864. Pour former cette somme, on écrit 8 à la droite de 106 et on multiplie par 8 le nombre 1068 qui en résulte, ce qui donne le produit 8544<8864 ; donc 8 est le chiffre des

AIUTHMETIQUE.

unités (l(i la racine demandée 538. Pour avoir le reste égal à l'excès de 289764- sur le carré de 538, il suffit de retrancher 85ii de 8864, ce qui donne 320.

Il en résulte cette règle générale : pour extraire la racine carrée d'un nombre entier à moins d'une unité , on sépare ce nombre en tranches de deux chiffres à partir de la droite, sauf à ne laisser qu'un chiffre à la première tranche à gauche; on extrait la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans cette tranche , ce gui détermine le premier chiffre à gauche de la racine demandée; on soustrait le carré de ce chiffre de la première tranche , ce qui donne un reste à la droite duquel on écrit la deuxième tranche; on sépare un chiffre sur la droite du nombre qui en résulte , et on divise la partie à gauche par le double du chiffre obtenu à la racine; la partie entière de ce quotient détermine le second chiffre de la racine demandée ou un nombre trop grand. Pour le vérifier , on l'écrit à la droite du nombre employé comme diviseur; on multiplie le nombre qui en résulte par ce même chiffre, et on voit si le produit n'excède pas le nombre formé en écrivant la deuxième tranche à la droite du reste précédemment obtenu; dans le cas où le produit est plus grand que ce nombre, on diminue le second chiffre de la racine d'une unité, puis on vérifie le chiffre qui en résulte comme le précédent, et ainsi de suite , jusqu' à ce qu'on ait obtenu un produit qui rC excède pas le nombre auquel on le compare ; alors on soustrait ce produit de ce nombre , ce qui donne un reste à la droite duquel on écrit la troisième tranche du nombre proposé; on sépare un chiffre sur la droite du nombre qui en résulte, et on divise la partie à gauche par le double du nombre formé des deux premiers chiffres delaracine; la partie entière de ce quotient donne le troisième chiffre de la racine ou un nombre trop grand; on le vérifie comme le second chiffre, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait employé la dernière tranche du nombre proposé.

Re.marque. Le reste 320 étant l’excès de 289764 sur le