LIVRE IV

carré de 538 , si l’on ajoute ce reste au carré de la racine , on reproduira le nombre proposé.

PROPOSITION XVI

Extraire la racine cubique d’un nombre entier G44985758 à moins d'une unité.

Ce nombre, contenant plus de trois chiffres, a au moins une dizaine à sa racine (pr. 12)et, pour en déterminer le nombre total, il suffit d'extraire la racine cubique du plus grand cube entier conjlenu dans 6W985 (pr. 14), ce qui conduit à séparer 758 sur la droite du nombre proposé et à ne considérer, pour un instant , que la partie à gauche G44985. Ce nombre, contenant encore plus de trois chiffres, a au moins une dizaine à sa racine et, pour en déterminer le nombre, on est conduit, comme précédemment, à séparer 985 sur sa droite et à extraire la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans 644. Ce plus grand cube est égal au nombre 51-2 dont la racine cubique est 8; donc 8 est le chiffre des dizaines de la racine cubique du nombre 644985 à moins d’une unité; donc 644985 peut être considéré comme composé de cinq parties qui sont : le cube des 8 dizaines de sa racine , le triple produit du carré de 8 dizaines par le chiffre inconnu des unités de sa racine, le triple produit de 8 dizaines par le carré des unités, le cube des unités (pr.7, cor. 1) et un reste égal à l’excès de 644985 sur le plus grand cube entier contenu dans ce nombre ; donc si, du nombre 644985, on retranche le cube 512000 des 8 dizaines de sa racine, le reste 132985 ne contiendra plus que quatre parties qui sont : le triple produit du carré des 8 dizaines de la racine de 644985 par le chiffre inconnu de ses unités, le triple produit de 8 dizaines par le carré des unités , le

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cube des unités et le reste; or le triple produit du carré de 8 dizaines par le chiffre des unités donne un nombre exact de centaines qui sont toutes contenues dans les 1329 centaines de 132985, ce qui conduit à les séparer des deux autres chiffres ; d’ailleurs 1329 contient, en outre, le nombre des centaines qui peuvent provenir du triple produit des dizaines par le carré des unités , du cube des unités et du reste ; donc la partie entière du quotient de la division de 1329 par le triple carré de 8 sera le chiffre des unités ou un nombre trop grand. Le triple carré de 8 est égal à 192 qui est contenu six fois dans 1329; donc 6 est le chiffre des unités de la racine de (>44985 ou un nombre trop grand. Pour le vériûer, on pourrait l’écrire à la droite du chiffre 8 des dizaines, former le cube du nombre 8(5 qui en résulte, et voir si ce cube n’excède pas 644985; mais, comme on a déjà retranché de 644985 le cube de 8 dizaines, il suffit de s’assurer si la somme des trois autres parties du cube de 8G n’excède pas le reste 132985. Pour obtenir cette somme, on observe que , 192 étant le triple carré de 8 , le nombre 19200 x 6 est le triple produit du carré de 8 dizaines par 6 unités; pareillement, 144 étant le triple produit de 8 par 6, le nombre 1440x6 est le triple produit de 8 dizaines par le carré de 6 unités ; enfin 36x6 est égal au cube de 6 unités; donc, en faisant la somme 20676 des trois multiplicandes et multipliant cette somme par le multiplicateur 6, on a le résultat demandé 124056 < 132985; donc 6 est le chiffre des unités de la racine de 644985 et , par suite, 86

LIVIIE IV.

esl la racine du plus grand cube entier contenu dans GVW8.'»; donc 86 exprime le nombre total des dizaines de la racine demandée (pr. 14), et le nombre proposé 644985758 peut être considéré comme composé de cinq parties qui sont : le cube des 86 dizaines de sa racine, le triple produit du carré de 86 dizaines par le chiffre inconnu des unités de cette racine, le triple produit de 86 dizaines parle carré des unités, le cube des unités et un reste égal à l’excès du nombre proposé sur le cube de sa racine. Cela étant, si du reste 132985 on retranche le produit 124056, le reste 8929 sera l’excès de 644985 sur le cube de 86 ; donc si , à la droite du reste 8929 , on écrit 758, le nombre 8929758 qui en résulte sera l’excès du nombre proposé 644985758 sur le cube des 86 dizaines de sa racine ; donc ce nombre 8929758 se compose de quatre parties qui sont : le triple produit du carré des 86 dizaines de la racine demandée par le ebiffn; de ses unités, le triple produit de 86 dizaines parle carré des unités, le cube des unités et le reste; mais le triple produit du carré de 86 dizaines par le chiffre des unités est un nombre exact de centaines qui sont toutes contenues dans les 89297 centaines de 8929758 ; d’ailleurs 89297 contient, en outre, le nombre des centaines qui peuvent provenir du ti iple produit des dizaines par le carré des unités, du cube des unités et du reste ; donc la partie entière du quotient de la division de 89297 par le triple carré de 86 sera le chiffre des unités ou un nombre trop grand. Le triple carré de 86 est 22188 qui est contenu quatre fois dans 89297 ; donc 4 est le chiffre des unités ou un nombre trop grand. Pour le vérifier, on pourrait l’écrire à la droite de 86, former le cube du nombre 864 qui en résulte, et voir si ce cube n’excède pas le nombre proposé; mais, comme on a déjà soustrait de ce nombre le cube des 86 dizaines de sa racine , ce qui a donné le reste 8929758 , il suffit de s’assurer si la somme des trois autres parties du cube de 864 n’excède pas 8929758. En formant cette somme, comme celle des trois dernières parties du cube de 86, on trouve qu elle est égale au nombre 8916544

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<8929758; donc 4 est le diifîre des unités de la racine demandée 864. Pour avoir le reste égal à l’excès de 644985758 sur le cube de 864, il suffit de retrancher 8916544 de 8929758 , ce qui donne 13214.

Il en résulte cette règle générale : your extraire la racine cubique d'un nombre entier à moins d'une unité, on sépare ce nombre en tranches de trois chiffres à partir de la droite, sauf à ne laisser qu’un ou deux chiffres à la première tranche à gauche ; on extrait la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans cette tranche , ce qui détermine le premier chiffre à gauche de la racine demandée; on soustrait le cube de ce chiffre de la première tranche , ce qui donne un reste à la droite duquel on écrit la deuxième tranche; on sépare deux chiffres sur la droite du nombre qui en résulte, et on divise la partie à gauche par le triple carré du chiffre obtenu à la racine; la partie entière de ce quotient détermine le second chiffre de la racine demandée ou un nombre trop grand. Pour le vérifier, on forme les trois dernières parties du cube du nombre composé des deux premiers chiffres de la racine, et on voit si leur som me n'excède pas le nombre formé en écrivant la deuxième tranche à la droite du reste précédemment obtenu ; dans le cas où celte somme est plus grande que ce nombre , on diminue le second chiffre de la racine d'une unité, puis on vérifie le chiffre qui en résulte comme le précédent, et ainsi de suite, jusqu’ à ce qu'on ait obtenu une somme qui n'excède pus le nombre auquel on la compare; alors on soustrait cette somme de ce nombre, ce qui donne un reste à la droite duquel on écrit la troisième tranche; on sépare deux chiffres sur la droite du nombre qui en résulte, et on divise la partie à gauche par le triple carré du nombre formé des deux pretniers chiffres de la racine; la partie entière de ce quotient donne le troisième chiffre de la racine ou un nombre trop grand; on le vérifie comme le second chiffre, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait employé la dernière tranche du nombre proposé.

Remarq[ E. Le reste 1.3214 étant l’excès de 644085758 sur